Calcolo della deformazione di una trave in acciaio e calcestruzzo con effetti di fluage da carichi permanenti

Inizialmente verranno illustrati il modello e i dati di input, compresi i materiali, i carichi e le impostazioni per il ritiro e il creep. Seguirà poi il calcolo dettagliato della deformazione per la combinazione di carico quasi permanente. Infine, verrà mostrato come gli effetti del creep siano inclusi nelle deformazioni delle situazioni di progetto frequenti e caratteristiche.

1. Dati di input

Geometria

Sistema: Trave a campata semplice Luce: l = 3.600 m Larghezza: b = 2.360 m Altezza: h = 0.150 m Altezza utile statica: d = 0.126 m

Materiali

• Calcestruzzo C16/20

Resistenza caratteristica a compressione: f_ck = 16.000 N/mm² Resistenza media a trazione: f_ctm = 1.900 N/mm² Modulo di elasticità: E_cm = 29000.0 N/mm²

• Acciaio per armatura

Soglia di snervamento caratteristica: f_yk = 410.000 N/mm² Modulo di elasticità: E_s = 200000.0 N/mm² Quantità di armatura: 11 barre Area di armatura: A_s,prov = 2210 mm² Grado di armatura: ρ = 0,743 %

Azioni

La trave a campata semplice con una luce di 3,6 m è soggetta ai seguenti carichi distribuiti:

• Carico permanente: g_k = 12.000 kN/m
• Carico variabile: q_k = 24.000 kN/m

Per il calcolo delle deformazioni secondo l'EC2 vengono considerate tre combinazioni di carico caratteristiche:

• Combinazione quasi-permanente:

g_k + ψ₂·q_k = 12.000 + 0.8 × 24.000 = 31.2 kN/m

• Combinazione frequente:

g_k + ψ₁·q_k = 12.000 + 0.9 × 24.000 = 33.6 kN/m

• Combinazione caratteristica:

g_k + q_k = 12.000 + 24.0 = 36.000 kN/m

2. Forze interne

I momenti flettenti nel mezzo del campo si calcolano come:

Caratteristico: M_Ed,char. = 58.320 kNm Frequente: M_Ed,Freq = 54.430 kNm Quasi-permanente: M_Ed,Qs = 50.540 kNm

3. Caratteristiche temporali del calcestruzzo

Per includere l'effetto del creep e del ritiro nel progetto, è necessario attivare questi effetti nelle proprietà del materiale del calcestruzzo.

Affinché i valori di creep e ritiro possano essere inseriti manualmente, è necessario attivare le caratteristiche temporali del calcestruzzo nella sezione della trave. Sulla base dei valori inseriti manualmente per il coefficiente di creep di calcolo φ₀ e della deformazione di ritiro di base ε_cd,0, risulta un coefficiente di creep effettivo di φ_(t|t₀) = 3.2 e una deformazione di ritiro totale risultante di ε_cs(∞) = −0.6 ‰. Questi valori fungono da parametri di input per l'analisi successiva delle deformazioni a lungo termine del calcestruzzo.

4. Requisiti di deformazione

I limiti ammissibili per la deformazione sono assunti come segue:

• Deformazione a lungo termine sotto azione quasi-permanente:

f_lim,qp = l/250 = 3600/250 = 14.4 mm

• Deformazione a breve termine sotto combinazione frequente:

f_lim,freq = l/200 = 3600/200 = 18.0 mm

• Deformazione a breve termine sotto combinazione caratteristica:

f_lim,char = l/100 = 3600/100 = 36.0 mm

La verifica delle deformazioni è di default eseguita solo per la situazione di progetto quasi-permanente. Per eseguire la verifica anche per le situazioni di progetto frequente e caratteristica, è necessario attivare l'opzione Assegnazione personalizzata del tipo di situazione di progetto nella configurazione di servizio. Dopo l'attivazione di questa opzione, devono essere specificati i limiti delle deformazioni ammissibili per ogni situazione di progetto attivata.

5. Riconoscimento degli stati di fessurazione

Il riconoscimento dello stato di fessurazione può essere impostato nella configurazione di servizio. Lo stato di fessurazione influenza il calcolo del coefficiente di distribuzione ζ_d:

• Se l'opzione Stato di fessurazione calcolato da carico correlato è attivata, ζ_d viene calcolato esclusivamente sulla base del carico attuale (combinazione di carico).
• Se l'opzione Stato di fessurazione dalla combinazione di carico della situazione di verifica SLS da carico correlato è attivata, ζ_d viene calcolato come il massimo di tutti i carichi correlati. In questo esempio, questa opzione è selezionata.

6. Verifica della deformazione per la combinazione di carico quasi-permanente

6.1. Curvatura per stato non fessurato

a) Modulo di elasticità e rapporti dei moduli di elasticità

• Modulo di elasticità efficace del calcestruzzo:

\( \mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{cm}}}{1 + \varphi} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{1 + 3.200} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \) Gli effetti del creep sono compensati da una riduzione del modulo di elasticità. L'influenza del creep è incorporata tramite il fattore di creep finale φ.

• Rapporto dei moduli di elasticità per stato non fessurato e fessurato:

\( \mathrm{\alpha_{e,I}} = \mathrm{\alpha_{e,II}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{c,I}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2}} = 28.97 \)

• Momento flettente di progetto per il calcolo delle deformazioni:

\( \mathrm{M_{y,Ed,def}} = \left| \mathrm{M_{y,Ed,def}} \right| = \left| 50.54\,\mathrm{kNm} \right| = 50.54\,\mathrm{kNm} \)

b) Caratteristiche della sezione nello stato I

• Distanza dell'asse baricentrico della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo sotto compressione (determinata per stato non fessurato):

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \dfrac{\mathrm{h}}{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (sopra)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 82.8\,\mathrm{mm} \)

• Area della sezione effettiva in stato non fessurato:

\( \mathrm{A_{I}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.41806\,\mathrm{m^2} \)

• Momento d'inerzia effettivo rispetto all'asse baricentrico della sezione ideale in stato non fessurato:

\( \mathrm{I_{y,I}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (sotto)}} - z_{I} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \cdot \left( z_{I} - \mathrm{d_{def,-z (sopra)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 28.97 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 28.97 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = \mathrm{I_{y,I}} = 0.00080\,\mathrm{m^4} \)

• Eccentricità del centroide della sezione ideale in stato non fessurato:

\( \mathrm{e_{z,I}} = z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,I}} = 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = 7.8\,\mathrm{mm} \)

c) Ritiro - Stato I

• Forza aggiuntiva dovuta al ritiro libero

\( \mathrm{N_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (sopra)}} \right) \)

\( \mathrm{N_{sh}} = -200000.000\,\mathrm{N/mm^2} \cdot -0.600\,\text{‰} \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right) = 265.402\,\mathrm{kN} \)

• Eccentricità della forza di ritiro rispetto al centroide della sezione ideale in stato non fessurato

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (sopra)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}}} - \mathrm{z_{I}} \)

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 82.8\,\mathrm{mm} = 43.2\,\mathrm{mm} \)

• Momento flettente dovuto alla forza normale \(N_{sh}\) per stato non fessurato

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 43.2\,\mathrm{mm} = 11.46\,\mathrm{kNm} \)

• Fattore di curvatura per stato non fessurato

Il fattore di curvatura indica come il momento di ritiro interagisce rispetto alla forza normale e all'eccentricità. Indica come la distribuzione della forza di ritiro e la posizione del baricentro influenzano le deformazioni dell'elemento strutturale. Questo valore è decisivo per descrivere completamente le deformazioni della sezione a causa del ritiro:

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{11.46\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}} = 1.227 \)

La curvatura in stato non fessurato, considerando creep e ritiro, è:

\( \mathrm{\kappa_{y,I}} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.227 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4}} = 11.2\,\mathrm{mrad/m} \)

6.2. Curvatura per stato fessurato

a). Caratteristiche della sezione nello stato II

• Distanza dell'asse baricentrico della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo sotto compressione (determinata per stato fessurato):

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} \cdot \dfrac{\mathrm{x_{II}}}{2} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (sopra)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{59.9\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 59.9\,\mathrm{mm} \)

• Area della sezione effettiva in stato fessurato:

\( \mathrm{A_{II}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 6.90 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.36925\,\mathrm{m^2} \)

• Momento d'inerzia effettivo rispetto all'asse baricentrico della sezione ideale in stato fessurato:

\( \mathrm{I_{y,II}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (sotto)}} - \mathrm{z_{II}} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \mathrm{d_{def,-z (sopra)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 6.90 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 77.1\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 6.90 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00070\,\mathrm{m^4} \)

• Eccentricità del centroide della sezione ideale in stato fessurato:

\( \mathrm{e_{z,II}} = \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,II}} = 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = -15.1\,\mathrm{mm} \)

b) Ritiro - Stato II

• Calcolo della distanza eccentrica in stato II:

\( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (sopra)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (sotto)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (sopra)}}} - \mathrm{z_{II}} \) \( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 59.9\,\mathrm{mm} = 66.1\,\mathrm{mm} \)

• Calcolo del momento flettente M_sh,y,II :

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,II}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 66.1\,\mathrm{mm} = 17.54\,\mathrm{kNm} \)

• Calcolo del fattore di curvatura k_sh,y,II :

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,II}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{17.54\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}} = 1.347 \)

La curvatura in stato fessurato, considerando creep e ritiro, è:

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} =\mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.347 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = 22.0\,\mathrm{mrad/m} \)

6.3. Curvatura effettiva considerando lo stato di fessurazione

• Calcolo della tensione massima σ_max,lt :

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{\mathrm{N_{Ed}} + \mathrm{N_{sh}}}{\mathrm{A_{I}}} + \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \left( \mathrm{z_{I}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right) + \mathrm{M_{sh,y,I}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \cdot \left( \mathrm{h} - \mathrm{z_{I}} \right) \)

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{0.000\,\mathrm{kN} + 265.402\,\mathrm{kN}}{0.41806\,\mathrm{m^2}} + \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right) + 11.46\,\mathrm{kNm}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} \cdot \left( 150.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right) = 5.811\,\mathrm{N/mm^2} \)

• Calcolo del coefficiente di distribuzione ζ_d :

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - \mathrm{\beta} \cdot \left( \frac{\mathrm{f_{ctm}}}{\mathrm{\sigma_{max}}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - 0.500 \cdot \left( \frac{1.900\,\mathrm{N/mm^2}}{5.811\,\mathrm{N/mm^2}} \right)^{2} = 0.947 \)

Il coefficiente di distribuzione viene calcolato anche per le combinazioni di carico (LK1 e LK2) correlate. Il risultato maggiore è determinante. In questo caso, il coefficiente di distribuzione della combinazione di carico quasi-permanente LK3 è il maggiore e quindi determinante: \( \mathrm{\zeta_{d}} = \mathrm{\zeta_{d,max}} = 0.947 \)

• Calcolo della curvatura κ_y,f :

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = \mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{\kappa_{y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{\kappa_{y,I}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = 0.947 \cdot 22.0\,\mathrm{mrad/m} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 11.2\,\mathrm{mrad/m} = 21.4\,\mathrm{mrad/m} \)

6.4. Valori della sezione effettivi

Con la curvatura media e il coefficiente di distribuzione vengono calcolati i valori finali della sezione considerando creep e ritiro:

• Calcolo dell'area della sezione effettiva A_f :

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{\mathrm{A_{I}} \cdot \mathrm{A_{II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{A_{I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{A_{II}}} \)

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{0.41806\,\mathrm{m^2} \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}}{0.947 \cdot 0.41806\,\mathrm{m^2} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}} = 0.21118\,\mathrm{m^2} \)

• Momento d'inerzia effettivo rispetto al centroide della sezione:

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,I}}} \)

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}}{0.947 \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 1.347 + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 1.227} = 0.00034\,\mathrm{m^4} \)

• Eccentricità del centroide e_z,f :

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{e_{z,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot (-15.1)\,\mathrm{mm} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = -14.4\,\mathrm{mm} \)

• Momento d'inerzia effettivo rispetto al centroide geometrico della sezione I_y,0,f :

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = \mathrm{I_{y,f}} + \mathrm{A_{f}} \cdot \left( \mathrm{e_{z,f}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = 0.00034\,\mathrm{m^4} + 0.21118\,\mathrm{m^2} \cdot \left( -14.4\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

6.5. Rigidità effettive

• Rigidità membranale EA_f :

\( \mathrm{EA_{f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{f}} \)

\( \mathrm{EA_{f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.21118\,\mathrm{m^2} = 1458100.00\,\mathrm{kN} \)

• Rigidità tangenziale EI_y,0,f :

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 2665.68\,\mathrm{kNm^2} \)

• Fattore di riduzione delle rigidità al taglio r_z :

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,f}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{0.00034\,\mathrm{m^4}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} = 0.425 \)

• Rigidità al taglio GA_f

\( \mathrm{GA_{y,f}} = \mathrm{G_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{c,y}} \cdot \mathrm{r_{z}} \)

\( \mathrm{GA_{y,f}} = 2876.9\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.29500\,\mathrm{m^2} \cdot 0.425 = 360953.00\,\mathrm{kN} \)

• Rigidità torsionale GI_T,F

\( \mathrm{GI_{T,f}} = \mathrm{GI_{T,I}} = 5865.88\,\mathrm{kNm^2} \)

• Elemento di rigidità eccentrica ES_y

\( \mathrm{ES_{y}} = \mathrm{EA_{f}} \cdot \mathrm{e_{z,f}} \)

\( \mathrm{ES_{y}} = 1458100.000\,\mathrm{kN} \cdot (-14.4)\,\mathrm{mm} = -20991.40\,\mathrm{kNm} \)

6.6. Calcolo della deformazione

Con le rigidità effettive calcolate, RFEM 6 esegue il calcolo delle deformazioni per la combinazione di carico quasi-permanente:

• Deformazione u_z

\( \mathrm{u_{z}} = 30.1\,\mathrm{mm} \)

• Limite di deformazione u_z,lim

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}} \)

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{3.600\,\mathrm{m}}{250.000} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

• Criterio di verifica η

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{\mathrm{u_{z}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}\right| \)

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{30.1\,\mathrm{mm}}{14.4\,\mathrm{mm}}\right| = 2.090 > 1 \)

La deformazione calcolata è il doppio del limite di deformazione ammissibile. La verifica non è quindi soddisfatta nella situazione di progetto quasi-permanente.

7. Verifica della deformazione per la combinazione di carico frequente

Poiché solo i carichi a lungo termine (situazioni di progetto quasi-permanenti) causano creep, gli effetti del creep si ignorano nel calcolo dei valori della sezione per i carichi di breve durata (situazioni di progetto frequenti e caratteristiche). Pertanto, per questi calcoli si utilizza il modulo di elasticità medio del calcestruzzo (E_cm = 29000 N/mm²):

• Rapporto dei moduli di elasticità per stato non fessurato (carico a breve termine):

\( \mathrm{\alpha_{e,I,st}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{cm}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}} = 6.90 \) Il rapporto α_e,I,st descrive il rapporto della rigidezza dell'acciaio rispetto al calcestruzzo sotto carico a breve termine e viene utilizzato per il calcolo dei valori della sezione.

Stato non fessurato
Parametro	Descrizione	Valore	Unità
αe,I	Rapporto dei moduli di elasticità per stato non fessurato	6.90	[-]
My,Ed,def	Momento flettente di progetto per la verifica delle deformazioni	54.43	kNm
zI	Distanza dell'asse baricentrico della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo sotto compressione (non fessurato)	77.1	mm
AI	Area effettiva della sezione in stato non fessurato	3692.53	cm2
Iy,I	Momento d'inerzia effettivo rispetto al centroide della sezione ideale in stato non fessurato	70178.40	cm4
ez,I	Eccentricità del centroide della sezione ideale in stato non fessurato	2.1	mm
κy,I	Curvatura per stato non fessurato	2.7	mrad/m

Stato fessurato
Parametro	Descrizione	Valore	Unità
αe,II	Rapporto dei moduli di elasticità per stato fessurato	6.90	[-]
zII	Distanza dell'asse baricentrico della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo sotto compressione (fessurato)	34.4	mm
AII	Area effettiva della sezione in stato fessurato	964.57	cm2
Iy, II	Momento d'inerzia effettivo rispetto al centroide della sezione ideale in stato fessurato	16000.40	cm4
ez,II	Eccentricità del centroide della sezione ideale in stato fessurato	-40.6	mm
κy,II	Curvatura per stato fessurato	11.7	mrad/m

• Coefficiente di distribuzione ζ_d :

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{54.43 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 5.654 \, \text{N/mm}^2 \)

Per i carichi a breve termine, la durata dell'azione o il coefficiente di ripetizione β secondo DIN EN 1992-1-1, 7.4.3 (3), è 1.0:

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{5.654 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.887 \)

Poiché il coefficiente di distribuzione della combinazione di carico frequente è inferiore, il coefficiente di distribuzione della combinazione di carico quasi-permanente è determinante:

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Con il coefficiente di distribuzione si calcolano la curvatura dallo stato non fessurato e fessurato, i valori finali della sezione e le conseguenti rigidità finali:

Sezioni ed efficienze per la situazione di progetto frequente
Parametro	Descrizione	Valore	Unità
κy,f	Curvatura dallo stato non fessurato e fessurato	11.2	mrad/m
Af	Area effettiva della sezione	1004.23	cm2
Iy,f	Momento d'inerzia effettivo rispetto al centroide della sezione ideale	16689.20	cm⁴
ez,f	Eccentricità del baricentro	-40.0	mm
Iy,0,f	Momento d'inerzia effettivo rispetto al centroide geometrico della sezione	32796.10	cm4
EAf	Rigidezza della membrana	2912260.000	kN
EIy,0,f	Rigidezza tangenziale	9510.86	kNm²
rz	Fattore di riduzione delle rigidità al taglio	0.238
GAf	Rigidità al taglio	847697.000	kN
GIt,f	Rigidità torsionale	24637.30	kNm²
ESy	Elemento di rigidità eccentrica	-116633.00	kNm

Con queste raffinatezze, RFEM calcola la deformazione della combinazione di carico frequente: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

Il calcolo della deformazione totale del componente sotto carichi frequenti richiede di considerare i diversi contributi alla deformazione, che derivano dai diversi tipi di carico e dalle loro rispettive influenze sul componente. Le deformazioni a lungo termine e a breve termine devono essere trattate separatamente per determinare correttamente la deformazione effettiva:

\( u_{z,ges} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,ges,st} - u_{z,QP,st} \right) \)

• Deformazione a lungo termine u_z,QP,lt : Questa deformazione è causata dai carichi che generano creep e considera gli effetti di creep che il componente sperimenterà nel corso del tempo. u_z,QP,lt = 15.6mm (calcolato nella sezione 6).

• Deformazione a breve termine u_z,ges,st : Questa deformazione si verifica immediatamente dopo l'applicazione dei carichi frequenti. u_z,ges,st = 14.4mm.

• Deformazione immediata dovuta al carico che genera creep u_z,QP,st : Questa deformazione si verifica immediatamente dopo l'applicazione dei carichi che generano creep ed è la risposta immediata del componente, prima che il creep si instauri.

La deformazione totale u_z,ges consiste nella deformazione a lungo termine u_z,QP,lt e nella differenza tra la deformazione a breve termine u_z,ges,st e la deformazione immediata dei carichi che generano creep u_z,QP,st. Quest'ultima viene sottratta poiché è già inclusa nella deformazione a breve termine u_z,ges,st. Il seguente diagramma lo rappresenta graficamente, dove le diverse aree mostrano i singoli tipi di deformazione e il loro andamento temporale:

\( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 14.4 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 31.2 \, \text{mm} \)

• Limite di deformazione u_z,lim

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{200.000} = 18.0 \, \text{mm} \)

• Criterio di verifica η

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{31.2 \, \text{mm}}{18.0 \, \text{mm}} \right| = 1.733 \)

La verifica per la situazione di progetto frequente non è soddisfatta.

8. Verifica della deformazione per la combinazione di carico caratteristica

Il calcolo procede come per la combinazione di carico frequente:

Stato non fessurato
Parametro	Descrizione	Valore	Unità
αe,I	Rapporto dei moduli di elasticità per stato non fessurato	6.90	[-]
My,Ed,def	Momento flettente di progetto per la verifica delle deformazioni	58.32	kNm
zI	Distanza dell'asse baricentrico della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo sotto compressione (non fessurato)	77.1	mm
AI	Area effettiva della sezione in stato non fessurato	3692.53	cm2
Iy,I	Momento d'inerzia effettivo rispetto al centroide della sezione ideale in stato non fessurato	70178.40	cm4
ez,I	Eccentricità del centroide della sezione ideale in stato non fessurato	2.1	mm
κy,I	Curvatura per stato non fessurato	2.9	mrad/m

Stato fessurato
Parametro	Descrizione	Valore	Unità
αe,II	Rapporto dei moduli di elasticità per stato fessurato	6.90	[-]
zII	Distanza dell'asse baricentrico della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo sotto compressione (fessurato)	34.4	mm
AII	Area effettiva della sezione in stato fessurato	964.57	cm2
Iy, II	Momento d'inerzia effettivo rispetto al centroide della sezione ideale in stato fessurato	16000.40	cm4
ez,II	Eccentricità del centroide della sezione ideale in stato fessurato	-40.6	mm
κy,II	Curvatura per stato fessurato	12.6	mrad/m

Anche il calcolo del coefficiente di distribuzione avviene analogamente:

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{58.32 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 6.058 \, \text{N/mm}^2 \)

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{6.058 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.902\) > 0.947

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Sezioni ed efficienze per la situazione di progetto frequente
Parametro	Descrizione	Valore	Unità
κy,f	Curvatura dallo stato non fessurato e fessurato	12.0	mrad/m
Af	Area effettiva della sezione	1004.23	cm2
Iy,f	Momento d'inerzia effettivo rispetto al centroide della sezione ideale	16689.20	cm⁴
ez,f	Eccentricità del baricentro	-40.0	mm
Iy,0,f	Momento d'inerzia effettivo rispetto al centroide geometrico della sezione	32796.10	cm4
EAf	Rigidezza membranale	2912260.000	kN
EIy,0,f	Rigidità flessionale	9510.86	kNm²
rz	Fattore di riduzione delle rigidità al taglio	0.238
GAf	Rigidità al taglio	847697.000	kN
GIt,f	Rigidità torsionale	24637.30	kNm²
ESy	Elemento di rigidità eccentrica	-116633.00	kNm

Con queste raffinatezze, RFEM calcola la deformazione della combinazione di carico frequente: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 15.5\,\mathrm{mm} \)

La deformazione totale risulta quindi: \( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 15.5 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 32.3 \, \text{mm} \)

• Limite di deformazione u_z,lim

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{100.000} = 36 \, \text{mm} \)

• Criterio di verifica η

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{32.3 \, \text{mm}}{36.0 \, \text{mm}} \right| = 0.897 \)

La verifica per la situazione di progetto caratteristica è soddisfatta.