Cálculo de deformaciones en viga de hormigón armado con efectos de fluencia por cargas permanentes

Inicialmente, se explicará el modelo y los datos de entrada, incluidos materiales, cargas y configuraciones para fluencia y retracción. A continuación, se sigue con el cálculo detallado de deformaciones para la combinación de carga cuasi-permanente. Finalmente, se mostrará cómo se incorporan los efectos de la fluencia en las deformaciones de las situaciones de diseño frecuente y característica.

1. Datos de entrada

Geometría

Sistema: Viga de un tramo Luz: l = 3.600 m Ancho: b = 2.360 m Altura: h = 0.150 m Altura útil estática: d = 0.126 m

Materiales

• Hormigón C16/20

Resistencia característica a compresión: f_ck = 16.000 N/mm² Resistencia media a tracción: f_ctm = 1.900 N/mm² Módulo de elasticidad: E_cm = 29000.0 N/mm²

• Acero de refuerzo

Límite de fluencia característico: f_yk = 410.000 N/mm² Módulo de elasticidad: E_s = 200000.0 N/mm² Cantidad de refuerzo: 11 barras Área de refuerzo: A_s,prov = 2210 mm² Ratio de refuerzo: ρ = 0,743 %

Cargas

La viga de un tramo, con una luz de 3,6 m, está sometida a las siguientes cargas distribuidas:

• Carga permanente: g_k = 12.000 kN/m
• Carga variable: q_k = 24.000 kN/m

Para el cálculo de deformaciones según EC2, se consideran tres combinaciones de acciones características:

• Combinación cuasi-permanente:

g_k + ψ₂·q_k = 12.000 + 0.8 × 24.000 = 31.2 kN/m

• Combinación frecuente:

g_k + ψ₁·q_k = 12.000 + 0.9 × 24.000 = 33.6 kN/m

• Combinación característica:

g_k + q_k = 12.000 + 24.0 = 36.000 kN/m

2. Fuerzas internas

Los momentos flectores en el centro del vano se calculan como:

Característico: M_Ed,char. = 58.320 kNm Frecuente: M_Ed,Häufig = 54.430 kNm Cuasi-permanente: M_Ed,Qs = 50.540 kNm

3. Propiedades dependientes del tiempo para el hormigón

Para tener en cuenta el efecto de la fluencia y la retracción en el diseño, es necesario activar estas propiedades en las propiedades del material de hormigón.

Para ingresar manualmente los valores de fluencia y retracción, las propiedades dependientes del tiempo del hormigón en la sección transversal de la viga deben ser activadas. Basado en los valores de entrada manuales del factor de fluencia computacional φ₀ y de la contracción básica de secado ε_cd,0, se obtiene un factor de fluencia efectivo de φ_(t|t₀) = 3.2 y una deformación total de contracción residual de ε_cs(∞) = −0.6 ‰. Estos valores sirven como parámetros de entrada para el análisis subsiguiente de las deformaciones a largo plazo del hormigón.

4. Requisito de deflexión

Los valores límite permisibles para la deflexión se asumen como sigue:

• Deflexión a largo plazo bajo carga cuasi-permanente:

f_lim,qp = l/250 = 3600/250 = 14.4 mm

• Deflexión a corto plazo bajo combinación de cargas frecuentes:

f_lim,freq = l/200 = 3600/200 = 18.0 mm

• Deflexión a corto plazo bajo combinación de cargas características:

f_lim,char = l/100 = 3600/100 = 36.0 mm

El cálculo de la deflexión se realiza por defecto solo para la situación de diseño cuasi-permanente. Para que el cálculo también se realice para las situaciones de diseño frecuentes y características, es necesario activar la opción de Asignación personalizada del tipo de situación de diseño en la configuración de servicio. Tras activar esta opción, se deben especificar los valores límite permitidos de deflexión para cada situación de diseño activada.

5. Identificación de estados de fisuración

La identificación del estado de fisuración se puede configurar en la configuración de servicio. El estado de fisuración afecta al cálculo del Coeficiente de Distribución ζ_d:

• Cuando se activa la opción Estado de fisuración calculado a partir de la carga correspondiente, ζ_d se calcula exclusivamente en función de la carga actual (combinación de carga).
• Si se activa la opción Estado de fisuración de la combinación de carga correspondiente de la situación de diseño de servicio a partir de la carga correspondiente, se calcula ζ_d como el máximo de todas las cargas correspondientes. En este ejemplo, se seleccionó esta opción.

6. Verificación de la deflexión para la combinación de carga cuasi-permanente

6.1. Curvatura para el estado no fisurado

a) Módulos E y relaciones de módulo E

• Módulo de elasticidad efectivo del hormigón:

\( \mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{cm}}}{1 + \varphi} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{1 + 3.200} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \) Los efectos de fluencia se consideran mediante una reducción del módulo de elasticidad. El efecto de fluencia se incluye mediante el número final de fluencia φ.

• Relación de los módulos de E para el estado no fisurado y fisurado:

\( \mathrm{\alpha_{e,I}} = \mathrm{\alpha_{e,II}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{c,I}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2}} = 28.97 \)

• Momento de flexión de diseño para el cálculo de deflexión:

\( \mathrm{M_{y,Ed,def}} = \left| \mathrm{M_{y,Ed,def}} \right| = \left| 50.54\,\mathrm{kNm} \right| = 50.54\,\mathrm{kNm} \)

b) Valores de sección en el estado I

• Distancia del centroide de la sección efectiva desde la superficie de hormigón bajo compresión (determinada para el estado no fisurado):

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \dfrac{\mathrm{h}}{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 82.8\,\mathrm{mm} \)

• Área de la sección efectiva en el estado no fisurado:

\( \mathrm{A_{I}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.41806\,\mathrm{m^2} \)

• Momento inercial efectivo respecto al centroide en el estado no fisurado:

\( \mathrm{I_{y,I}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} - z_{I} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \left( z_{I} - \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 28.97 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 28.97 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = \mathrm{I_{y,I}} = 0.00080\,\mathrm{m^4} \)

• Excentricidad del centroide de la sección efectiva en el estado no fisurado:

\( \mathrm{e_{z,I}} = z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,I}} = 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = 7.8\,\mathrm{mm} \)

c) Retracción - Estado I

• Fuerza adicional debido a la retracción libre

\( \mathrm{N_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right) \)

\( \mathrm{N_{sh}} = -200000.000\,\mathrm{N/mm^2} \cdot -0.600\,\text{‰} \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right) = 265.402\,\mathrm{kN} \)

• Excentricidad de la fuerza de retracción al centroide de la sección efectiva en el estado no fisurado

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}}} - \mathrm{z_{I}} \)

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 82.8\,\mathrm{mm} = 43.2\,\mathrm{mm} \)

• Momento de flexión debido a la fuerza normal \(N_{sh}\) para el estado no fisurado

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 43.2\,\mathrm{mm} = 11.46\,\mathrm{kNm} \)

• Factor de curvatura para el estado no fisurado

El factor de curvatura indica cómo actúa el momento de retracción en relación con la fuerza normal y la excentricidad. Muestra cómo la distribución de la fuerza de retracción y la ubicación del centroide afectan las deformaciones del componente. Este valor es crucial para describir completamente las deformaciones de la sección transversal debido a la retracción:

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{11.46\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}} = 1.227 \)

La curvatura en el estado no fisurado considerando fluencia y retracción es:

\( \mathrm{\kappa_{y,I}} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.227 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4}} = 11.2\,\mathrm{mrad/m} \)

6.2. Curvatura para el estado fisurado

a). Valores de sección en el estado II

• Distancia del centroide de la sección efectiva desde la superficie de hormigón bajo compresión (determinada para el estado fisurado):

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} \cdot \dfrac{\mathrm{x_{II}}}{2} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{59.9\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 59.9\,\mathrm{mm} \)

• Área de la sección efectiva en el estado fisurado:

\( \mathrm{A_{II}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 6.90 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.36925\,\mathrm{m^2} \)

• Momento inercial efectivo respecto al centroide en el estado fisurado:

\( \mathrm{I_{y,II}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} - \mathrm{z_{II}} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 6.90 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 77.1\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 6.90 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00070\,\mathrm{m^4} \)

• Excentricidad del centroide en el estado fisurado:

\( \mathrm{e_{z,II}} = \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,II}} = 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = -15.1\,\mathrm{mm} \)

b) Retracción - Estado II

• Cálculo de la distancia excéntrica en el estado II:

\( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}}} - \mathrm{z_{II}} \) \( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 59.9\,\mathrm{mm} = 66.1\,\mathrm{mm} \)

• Cálculo del momento de flexión M_sh,y,II :

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,II}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 66.1\,\mathrm{mm} = 17.54\,\mathrm{kNm} \)

• Cálculo del factor de curvatura k_sh,y,II :

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,II}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{17.54\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}} = 1.347 \)

La curvatura en el estado fisurado considerando fluencia y retracción es:

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} =\mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.347 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = 22.0\,\mathrm{mrad/m} \)

6.3. Curvatura efectiva considerando el estado de fisuración

• Cálculo de la tensión máxima σ_max,lt :

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{\mathrm{N_{Ed}} + \mathrm{N_{sh}}}{\mathrm{A_{I}}} + \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \left( \mathrm{z_{I}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right) + \mathrm{M_{sh,y,I}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \cdot \left( \mathrm{h} - \mathrm{z_{I}} \right) \)

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{0.000\,\mathrm{kN} + 265.402\,\mathrm{kN}}{0.41806\,\mathrm{m^2}} + \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right) + 11.46\,\mathrm{kNm}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} \cdot \left( 150.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right) = 5.811\,\mathrm{N/mm^2} \)

• Cálculo del coeficiente de distribución ζ_d :

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - \mathrm{\beta} \cdot \left( \frac{\mathrm{f_{ctm}}}{\mathrm{\sigma_{max}}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - 0.500 \cdot \left( \frac{1.900\,\mathrm{N/mm^2}}{5.811\,\mathrm{N/mm^2}} \right)^{2} = 0.947 \)

El coeficiente de distribución se calcula también para las correspondientes combinaciones de carga (LC1 y LC2). El mayor resultado es determinante. En este caso, el coeficiente de distribución de la combinación de carga cuasi-permanente LC3 es el mayor y, por lo tanto, determinante: \( \mathrm{\zeta_{d}} = \mathrm{\zeta_{d,max}} = 0.947 \)

• Cálculo de la curvatura κ_y,f :

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = \mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{\kappa_{y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{\kappa_{y,I}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = 0.947 \cdot 22.0\,\mathrm{mrad/m} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 11.2\,\mathrm{mrad/m} = 21.4\,\mathrm{mrad/m} \)

6.4. Valores efectivos de la sección

Con la curvatura media y el coeficiente de distribución, se calculan los valores finales de la sección considerando la fluencia y la retracción:

• Cálculo del área de la sección efectiva A_f :

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{\mathrm{A_{I}} \cdot \mathrm{A_{II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{A_{I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{A_{II}}} \)

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{0.41806\,\mathrm{m^2} \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}}{0.947 \cdot 0.41806\,\mathrm{m^2} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}} = 0.21118\,\mathrm{m^2} \)

• Momento inercial efectivo respecto al centroide de la sección efectiva:

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,I}}} \)

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}}{0.947 \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 1.347 + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 1.227} = 0.00034\,\mathrm{m^4} \)

• Excentricidad del centroide e_z,f :

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{e_{z,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot (-15.1)\,\mathrm{mm} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = -14.4\,\mathrm{mm} \)

• Momento inercial efectivo respecto al centroide geométrico I_y,0,f :

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = \mathrm{I_{y,f}} + \mathrm{A_{f}} \cdot \left( \mathrm{e_{z,f}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = 0.00034\,\mathrm{m^4} + 0.21118\,\mathrm{m^2} \cdot \left( -14.4\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

6.5. Rigideces efectivas

• Rigidez axial EA_f :

\( \mathrm{EA_{f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{f}} \)

\( \mathrm{EA_{f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.21118\,\mathrm{m^2} = 1458100.00\,\mathrm{kN} \)

• Rigidez a flexión tangencial EI_y,0,f :

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 2665.68\,\mathrm{kNm^2} \)

• Factor para la reducción de las rigideces a corte r_z :

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,f}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{0.00034\,\mathrm{m^4}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} = 0.425 \)

• Rigidez a corte GA_f

\( \mathrm{GA_{y,f}} = \mathrm{G_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{c,y}} \cdot \mathrm{r_{z}} \)

\( \mathrm{GA_{y,f}} = 2876.9\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.29500\,\mathrm{m^2} \cdot 0.425 = 360953.00\,\mathrm{kN} \)

• Rigidez a torsión GI_T,F

\( \mathrm{GI_{T,f}} = \mathrm{GI_{T,I}} = 5865.88\,\mathrm{kNm^2} \)

• Elemento de rigidez excéntrica ES_y

\( \mathrm{ES_{y}} = \mathrm{EA_{f}} \cdot \mathrm{e_{z,f}} \)

\( \mathrm{ES_{y}} = 1458100.000\,\mathrm{kN} \cdot (-14.4)\,\mathrm{mm} = -20991.40\,\mathrm{kNm} \)

6.6. Cálculo de la deflexión

Con las rigideces efectivas calculadas, RFEM 6 ejecuta el cálculo de deformaciones para la combinación de carga cuasi-permanente:

• Deflexión u_z

\( \mathrm{u_{z}} = 30.1\,\mathrm{mm} \)

• Deflexión límite u_z,lim

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}} \)

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{3.600\,\mathrm{m}}{250.000} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

• Criterio de verificación η

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{\mathrm{u_{z}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}\right| \)

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{30.1\,\mathrm{mm}}{14.4\,\mathrm{mm}}\right| = 2.090 > 1 \)

La deflexión calculada es el doble de la deflexión límite permisible. Por lo tanto, la verificación no se cumple en la situación de diseño cuasi-permanente.

7. Verificación de la deflexión para la combinación de carga frecuente

Dado que solo las cargas a largo plazo (situaciones de diseño cuasi-permanente) causan fluencia, los efectos de fluencia quedan fuera del cálculo de los valores de la sección para cargas a corto plazo (situaciones de diseño frecuente y características). Por lo tanto, para estos cálculos se utiliza el módulo de elasticidad medio del hormigón (E_cm = 29000 N/mm²):

• Relación de los módulos de E para el estado no fisurado (Carga a corto plazo):

\( \mathrm{\alpha_{e,I,st}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{cm}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}} = 6.90 \) La relación α_e,I,st describe la relación de la rigidez del acero al hormigón bajo carga a corto plazo y se utiliza para los cálculos de los valores de la sección.

Estado no fisurado
Parámetro	Descripción	Valor	Unidad
αe,I	Relación de los módulos de E para el estado no fisurado	6.90	[-]
My,Ed,def	Momento de flexión de diseño para el cálculo de deflexión	54.43	kNm
zI	Distancia del centroide de la sección efectiva desde la superficie de hormigón bajo compresión (no fisurado)	77.1	mm
AI	Área de la sección efectiva en estado no fisurado	3692.53	cm2
Iy,I	Momento inercial efectivo respecto al centroide en estado no fisurado	70178.40	cm4
ez,I	Excentricidad del centroide en estado no fisurado	2.1	mm
κy,I	Curvatura para el estado no fisurado	2.7	mrad/m

Estado fisurado
Parámetro	Descripción	Valor	Unidad
αe,II	Relación de los módulos de E para el estado fisurado	6.90	[-]
zII	Distancia del centroide de la sección efectiva desde la superficie de hormigón bajo compresión (fisurado)	34.4	mm
AII	Área de la sección efectiva en estado fisurado	964.57	cm2
Iy, II	Momento inercial efectivo respecto al centroide en estado fisurado	16000.40	cm4
ez,II	Excentricidad del centroide en estado fisurado	-40.6	mm
κy,II	Curvatura para el estado fisurado	11.7	mrad/m

• Coeficiente de distribución ζ_d :

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{54.43 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 5.654 \, \text{N/mm}^2 \)

Bajo carga a corto plazo, la duración de la carga o el factor de repetición β según DIN EN 1992‑1‑1, 7.4.3 (3), es 1.0:

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{5.654 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.887 \)

Dado que el coeficiente de distribución de la combinación de carga frecuente es menor, el coeficiente de distribución de la combinación de carga cuasi-permanente es determinante:

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Con el coeficiente de distribución se calcula la curvatura de los estados no fisurado y fisurado, los valores finales de la sección y las rigideces resultantes:

Secciones y rigideces efectivas para la situación de diseño frecuente
Parámetro	Descripción	Valor	Unidad
κy,f	Curvatura de los estados no fisurado y fisurado	11.2	mrad/m
Af	Área efectiva de la sección	1004.23	cm2
Iy,f	Momento inercial efectivo respecto al centroide de la sección idealizada	16689.20	cm⁴
ez,f	Excentricidad del centroide	-40.0	mm
Iy,0,f	Momento inercial efectivo respecto al centroide geométrico	32796.10	cm4
EAf	Rigidez de membrana	2912260.000	kN
EIy,0,f	Rigidez a flexión tangencial	9510.86	kNm²
rz	Factor para la reducción de las rigideces a corte	0.238
GAf	Rigidez a corte	847697.000	kN
GIt,f	Rigidez a torsión	24637.30	kNm²
ESy	Elemento de rigidez excéntrica	-116633.00	kNm

Con estas rigideces finales, RFEM calcula la deformación de la combinación de carga frecuente: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

El cálculo de la deflexión total del componente bajo cargas frecuentes requiere la consideración de los diferentes componentes de la deformación que surgen de diferentes tipos de carga y sus respectivos impactos en el componente. Las deformaciones a largo y corto plazo deben tratarse de manera diferenciada para determinar correctamente la deflexión real:

\( u_{z,ges} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,ges,st} - u_{z,QP,st} \right) \)

• Deformación a largo plazo u_z,QP,lt : Esta deformación es causada por cargas que generan fluencia y considera los efectos de fluencia que experimentará el componente a lo largo del tiempo. u_z,QP,lt = 15.6mm (Calculado en la sección 6).

• Deformación a corto plazo u_z,ges,st : Esta deformación ocurre inmediatamente después de la aplicación de la carga frecuente. u_z,ges,st = 14.4mm.

• Deformación instantánea de la carga que genera fluencia u_z,QP,st : Esta deformación surge inmediatamente después de la aplicación de las cargas que generan fluencia y es la respuesta instantánea del componente antes de que comience la fluencia.

La deflexión total u_z,ges se compone de la deformación a largo plazo u_z,QP,lt y la diferencia entre la deformación a corto plazo u_z,ges,st y la deformación instantánea de las cargas que generan fluencia u_z,QP,st. Este último se resta ya que está incluido en la deformación a corto plazo u_z,ges,st. El siguiente diagrama ilustra esto, mostrando las diferentes áreas que representan los distintos tipos de deformaciones y su evolución temporal:

\( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 14.4 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 31.2 \, \text{mm} \)

• Deflexión límite u_z,lim

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{200.000} = 18.0 \, \text{mm} \)

• Criterio de verificación η

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{31.2 \, \text{mm}}{18.0 \, \text{mm}} \right| = 1.733 \)

La verificación no se cumple para la situación de diseño frecuente.

8. Verificación de la deflexión para la combinación de carga característica

El cálculo se realiza como en la combinación de carga frecuente:

Estado no fisurado
Parámetro	Descripción	Valor	Unidad
αe,I	Relación de los módulos de E para el estado no fisurado	6.90	[-]
My,Ed,def	Momento de flexión de diseño para el cálculo de deflexión	58.32	kNm
zI	Distancia del centroide de la sección efectiva desde la superficie de hormigón bajo compresión (no fisurado)	77.1	mm
AI	Área de la sección efectiva en estado no fisurado	3692.53	cm2
Iy,I	Momento inercial efectivo respecto al centroide en estado no fisurado	70178.40	cm4
ez,I	Excentricidad del centroide en estado no fisurado	2.1	mm
κy,I	Curvatura para el estado no fisurado	2.9	mrad/m

Estado fisurado
Parámetro	Descripción	Valor	Unidad
αe,II	Relación de los módulos de E para el estado fisurado	6.90	[-]
zII	Distancia del centroide de la sección efectiva desde la superficie de hormigón bajo compresión (fisurado)	34.4	mm
AII	Área de la sección efectiva en estado fisurado	964.57	cm2
Iy, II	Momento inercial efectivo respecto al centroide en estado fisurado	16000.40	cm4
ez,II	Excentricidad del centroide en estado fisurado	-40.6	mm
κy,II	Curvatura para el estado fisurado	12.6	mrad/m

El cálculo del coeficiente de distribución también se realiza de forma análoga:

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{58.32 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 6.058 \, \text{N/mm}^2 \)

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{6.058 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.902\) > 0.947

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Secciones y rigideces efectivas para la situación de diseño frecuente
Parámetro	Descripción	Valor	Unidad
κy,f	Curvatura de los estados no fisurado y fisurado	12.0	mrad/m
Af	Área efectiva de la sección	1004.23	cm2
Iy,f	Momento inercial efectivo respecto al centroide de la sección idealizada	16689.20	cm⁴
ez,f	Excentricidad del centroide	-40.0	mm
Iy,0,f	Momento inercial efectivo respecto al centroide geométrico	32796.10	cm4
EAf	Rigidez de membrana	2912260.000	kN
EIy,0,f	Rigidez a flexión	9510.86	kNm²
rz	Factor para la reducción de las rigideces a corte	0.238
GAf	Rigidez a corte	847697.000	kN
GIt,f	Rigidez a torsión	24637.30	kNm²
ESy	Elemento de rigidez excéntrica	-116633.00	kNm

Con estas rigideces finales, RFEM calcula la deformación de la combinación de carga frecuente: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 15.5\,\mathrm{mm} \)

La deflexión total es entonces: \( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 15.5 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 32.3 \, \text{mm} \)

• Deflexión límite u_z,lim

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{100.000} = 36 \, \text{mm} \)

• Criterio de verificación η

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{32.3 \, \text{mm}}{36.0 \, \text{mm}} \right| = 0.897 \)

La verificación se cumple para la situación de diseño característica.