Výpočet deformací železobetonového nosníku s vlivy dotvarování od stálého zatížení

Nejprve je vysvětlen model a vstupní data, včetně materiálů, zatížení a nastavení pro dotvarování a smršťování. Poté následuje podrobný výpočet deformace pro kvazi-stálou kombinaci zatížení. Na závěr se ukáže, jak se efekty dotvarování převezmou do deformací častých a charakteristických návrhových situací.

1. Vstupní data

Geometrie

Systém: Jednoduchý nosník Rozpětí: l = 3.600 m Šířka: b = 2.360 m Výška: h = 0.150 m Statická užitná výška: d = 0.126 m

Materiály

• Beton C16/20

Charakteristická pevnost v tlaku: f_ck = 16.000 N/mm² Střední pevnost v tahu: f_ctm = 1.900 N/mm² Modul pružnosti: E_cm = 29000.0 N/mm²

• Výztužná ocel

Charakteristická mez kluzu: f_yk = 410.000 N/mm² Modul pružnosti: E_s = 200000.0 N/mm² Množství výztuže: 11 prutů Plocha výztuže: A_s,prov = 2210 mm² Stupeň vyztužení: ρ = 0,743 %

Zatížení

Jednoduchý nosník s rozpětím 3,6 m je zatížen následujícím spojitým zatížením:

• Stálé zatížení: g_k = 12.000 kN/m
• Proměnné zatížení: q_k = 24.000 kN/m

Pro výpočet deformací podle EN 1992 se uvažují tři charakteristické kombinace zatížení:

• Kvazi-stálá kombinace:

g_k + ψ₂·q_k = 12.000 + 0.8 × 24.000 = 31,2 kN/m

• Častá kombinace:

g_k + ψ₁·q_k = 12.000 + 0.9 × 24.000 = 33,6 kN/m

• Charakteristická kombinace:

g_k + q_k = 12.000 + 24.0 = 36.000 kN/m

2. Vnitřní síly

Ohybové momenty ve středu pole jsou:

Charakteristický: M_Ed,char. = 58.320 kNm Častý: M_Ed,Častý = 54.430 kNm Kvazi-stálý: M_Ed,Ks = 50.540 kNm

3. Časově závislé vlastnosti betonu

Pro zachycení efektu dotvarování a smršťování při návrhu je nutné jejich aktivaci v materiálových vlastnostech betonu.

Pro manuální zadání hodnot dotvarování a smršťování je třeba aktivovat časově závislé vlastnosti betonu v průřezu nosníku. Na základě manuálně zadaných hodnot součinitele dotvarování φ₀ a základního smršťovacího protažení ε_cd,0 vychází efektivní součinitel dotvarování φ_(t|t₀) = 3,2 a výsledné celkové smršťovací hodnocení ε_cs(∞) = −0,6 ‰. Tyto hodnoty slouží jako vstupní parametry pro další analýzu dlouhodobých deformací betonu.

4. Požadavky na průhyb

Přípustné limity pro průhyb jsou určeny následovně:

• Dlouhodobý průhyb pod kvazi-stálým zatížením:

f_lim,qp = l/250 = 3600/250 = 14,4 mm

• Krátkodobý průhyb pod častou kombinací zatížení:

f_lim,freq = l/200 = 3600/200 = 18,0 mm

• Krátkodobý průhyb pod charakteristickou kombinací zatížení:

f_lim,char = l/100 = 3600/100 = 36,0 mm

Pro průhybový důkaz se standardně posuzuje pouze kvazi-stálá návrhová situace. Aby byl [pravě]béžící rovněž do předložky a charakteristické návrhové situace, je třeba aktivovat volbu Uživatelské přiřazení druhu návrhové situace v konfiguraci použitelnosti. Po aktivaci této volby je třeba zadat limity přípustného průhybu pro každou aktivovanou návrhovou situaci.

5. Určení trhlin

Může být nastavení rozpoznání stavu trhlin v konfiguraci použitelnosti. Stav trhlin ovlivňuje výpočet koeficientu rozdělení ζ_d:

• Pokud je aktivována volba stav trhlin vypočten z příslušného zatížení, je ζ_d vypočteno pouze na základě aktuálního zatížení (kombinace zatížení).
• Je-li aktivována volba stav trhlin z příslušné LK GZG návrhové situace z příslušného zatížení, výpočet ζ_d se provede jako maximum ze všech příslušných zatížení. V tomto příkladu je vybrána tato možnost.

6. Ověření průhybu pro kvazi-stálou kombinaci zatížení

6.1. Křivost pro netrhlinový stav

a) Moduly pružnosti a poměry modulů E

• Účinný modul pružnosti betonu:

\( \mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{cm}}}{1 + \varphi} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{1 + 3.200} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \) Vlivy dotvarování jsou zohledněny snížením modulu pružnosti. Vliv dotvarování je zahrnut koncovým součinitelem dotvarování φ.

• Poměr modulů E pro netrhlinový a napjatý stav:

\( \mathrm{\alpha_{e,I}} = \mathrm{\alpha_{e,II}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{c,I}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2}} = 28.97 \)

• Návrhový ohybový moment pro výpočet průhybu:

\( \mathrm{M_{y,Ed,def}} = \left| \mathrm{M_{y,Ed,def}} \right| = \left| 50.54\,\mathrm{kNm} \right| = 50.54\,\mathrm{kNm} \)

b) Průřezové hodnoty ve stavu I

• Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od betonové plochy pod tlakem (určeno pro netrhlinový stav):

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \dfrac{\mathrm{h}}{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (horní)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 82.8\,\mathrm{mm} \)

• Účinná plocha průřezu ve stavu bez trhlin:

\( \mathrm{A_{I}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.41806\,\mathrm{m^2} \)

• Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti ve stavu bez trhlin:

\( \mathrm{I_{y,I}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (spodní)}} - z_{I} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \cdot \left( z_{I} - \mathrm{d_{def,-z (horní)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 28.97 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 28.97 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = \mathrm{I_{y,I}} = 0.00080\,\mathrm{m^4} \)

• Excentrická poloha ideálního těžiště průřezu ve stavu bez trhlin:

\( \mathrm{e_{z,I}} = z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,I}} = 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = 7.8\,\mathrm{mm} \)

c) Smršťování - stav I

• Dodatečná síla z volného smršťování

\( \mathrm{N_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (horní)}} \right) \)

\( \mathrm{N_{sh}} = -200000.000\,\mathrm{N/mm^2} \cdot -0.600\,\text{‰} \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right) = 265.402\,\mathrm{kN} \)

• Excentrická poloha smršťovací síly ke středu ideálního průřezu ve stavu bez trhlin

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (horní)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}}} - \mathrm{z_{I}} \)

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 82.8\,\mathrm{mm} = 43.2\,\mathrm{mm} \)

• Ohybový moment z normálové síly \(N_{sh}\) pro netrhlinový stav

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 43.2\,\mathrm{mm} = 11.46\,\mathrm{kNm} \)

• Ukazatel křivosti pro netrhlinový stav

Ukazatel křivosti vyjadřuje, jaký vliv má smršťovací moment ve vztahu k normálové síle a excentricitě. Ukazuje, jak rozdělení smršťovací síly a poloha těžiště ovlivňují deformace konstrukce. Tato hodnota je klíčová pro úplné popisování deformací průřezu v důsledku smršťování:

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{11.46\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}} = 1.227 \)

Křivost ve stavu bez trhlin při zohlednění dotvarování a smršťování činí:

\( \mathrm{\kappa_{y,I}} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.227 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4}} = 11.2\,\mathrm{mrad/m} \)

6.2. Křivost pro stav s trhlinami

a). Průřezové hodnoty ve stavu II

• Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od betonové plochy pod tlakem (určeno pro stav s trhlinami):

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} \cdot \dfrac{\mathrm{x_{II}}}{2} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (horní)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{59.9\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 59.9\,\mathrm{mm} \)

• Účinná plocha průřezu ve stavu s trhlinami:

\( \mathrm{A_{II}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 6.90 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.36925\,\mathrm{m^2} \)

• Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti ve stavu s trhlinami:

\( \mathrm{I_{y,II}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (spodní)}} - \mathrm{z_{II}} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \mathrm{d_{def,-z (horní)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 6.90 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 77.1\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 6.90 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00070\,\mathrm{m^4} \)

• Excentrická poloha ideálního těžiště průřezu ve stavu s trhlinami:

\( \mathrm{e_{z,II}} = \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,II}} = 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = -15.1\,\mathrm{mm} \)

b) Smršťování - stav II

• Výpočet excentrického posunu ve stavu II:

\( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (horní)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (spodní)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (horní)}}} - \mathrm{z_{II}} \) \( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 59.9\,\mathrm{mm} = 66.1\,\mathrm{mm} \)

• Výpočet ohybového momentu M_sh,y,II :

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,II}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 66.1\,\mathrm{mm} = 17.54\,\mathrm{kNm} \)

• Výpočet krivkové krivosti k_sh,y,II :

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,II}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{17.54\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}} = 1.347 \)

Křivost ve stavu s trhlinami při zohlednění dotvarování a smršťování činí:

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} =\mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.347 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = 22.0\,\mathrm{mrad/m} \)

6.3. Efektivní křivost při zohlednění stavu trhlin

• Výpočet maximálního napětí σ_max,lt :

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{\mathrm{N_{Ed}} + \mathrm{N_{sh}}}{\mathrm{A_{I}}} + \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \left( \mathrm{z_{I}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right) + \mathrm{M_{sh,y,I}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \cdot \left( \mathrm{h} - \mathrm{z_{I}} \right) \)

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{0.000\,\mathrm{kN} + 265.402\,\mathrm{kN}}{0.41806\,\mathrm{m^2}} + \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right) + 11.46\,\mathrm{kNm}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} \cdot \left( 150.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right) = 5.811\,\mathrm{N/mm^2} \)

• Výpočet koeficientu rozdělení ζ_d :

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - \mathrm{\beta} \cdot \left( \frac{\mathrm{f_{ctm}}}{\mathrm{\sigma_{max}}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - 0.500 \cdot \left( \frac{1.900\,\mathrm{N/mm^2}}{5.811\,\mathrm{N/mm^2}} \right)^{2} = 0.947 \)

Koeficient rozdělení se počítá také pro příslušné kombinace zatížení (LK1 a LK2). Největším výsledkem je hlavní. V tomto případě je koeficient pro kvazi-stálou kombinaci LK3 největší a tedy hlavní: \( \mathrm{\zeta_{d}} = \mathrm{\zeta_{d,max}} = 0.947 \)

• Výpočet křivosti κ_y,f :

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = \mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{\kappa_{y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{\kappa_{y,I}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = 0.947 \cdot 22.0\,\mathrm{mrad/m} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 11.2\,\mathrm{mrad/m} = 21.4\,\mathrm{mrad/m} \)

6.4. Efektivní průřezové hodnoty

S průměrnou křivostí a rozdělovacím koeficientem jsou vypočítány koncové průřezové hodnoty při zohlednění dotvarování a smršťování:

• Výpočet efektivní průřezové plochy A_f :

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{\mathrm{A_{I}} \cdot \mathrm{A_{II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{A_{I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{A_{II}}} \)

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{0.41806\,\mathrm{m^2} \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}}{0.947 \cdot 0.41806\,\mathrm{m^2} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}} = 0.21118\,\mathrm{m^2} \)

• Efektivní moment setrvačnosti vůči gravitačnímu středu průřezu:

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,I}}} \)

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}}{0.947 \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 1.347 + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 1.227} = 0.00034\,\mathrm{m^4} \)

• Excentricita těžiště e_z,f :

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{e_{z,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot (-15.1)\,\mathrm{mm} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = -14.4\,\mathrm{mm} \)

• Efektivní setrvačnost vůči geometrickému těžišti průřezu I_y,0,f :

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = \mathrm{I_{y,f}} + \mathrm{A_{f}} \cdot \left( \mathrm{e_{z,f}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = 0.00034\,\mathrm{m^4} + 0.21118\,\mathrm{m^2} \cdot \left( -14.4\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

6.5. Efektivní tuhosti

• Membránová tuhost EA_f :

\( \mathrm{EA_{f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{f}} \)

\( \mathrm{EA_{f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.21118\,\mathrm{m^2} = 1458100.00\,\mathrm{kN} \)

• Torzní tuhost EI_y,0,f :

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 2665.68\,\mathrm{kNm^2} \)

• Faktor pro redukci smykových tuhostí r_z :

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,f}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{0.00034\,\mathrm{m^4}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} = 0.425 \)

• Smyková tuhost GA_f

\( \mathrm{GA_{y,f}} = \mathrm{G_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{c,y}} \cdot \mathrm{r_{z}} \)

\( \mathrm{GA_{y,f}} = 2876.9\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.29500\,\mathrm{m^2} \cdot 0.425 = 360953.00\,\mathrm{kN} \)

• Torzní tuhost GI_T,F

\( \mathrm{GI_{T,f}} = \mathrm{GI_{T,I}} = 5865.88\,\mathrm{kNm^2} \)

• Excentrické tuhostní prvky ES_y

\( \mathrm{ES_{y}} = \mathrm{EA_{f}} \cdot \mathrm{e_{z,f}} \)

\( \mathrm{ES_{y}} = 1458100.000\,\mathrm{kN} \cdot (-14.4)\,\mathrm{mm} = -20991.40\,\mathrm{kNm} \)

6.6. Výpočet průhybu

S vypočtenými efektivními tuhostmi provádí RFEM 6 výpočet deformace pro kvazi-stálou kombinaci zatížení:

• Průhyb u_z

\( \mathrm{u_{z}} = 30.1\,\mathrm{mm} \)

• Hraniční průhyb u_z,lim

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}} \)

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{3.600\,\mathrm{m}}{250.000} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

• Kritérium důkazu η

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{\mathrm{u_{z}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}\right| \)

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{30.1\,\mathrm{mm}}{14.4\,\mathrm{mm}}\right| = 2.090 > 1 \)

Vypočtený průhyb dosahuje dvojnásobek přípustného hraničního průhybu. Důkaz tedy není splněn v kvazi-stálé návrhové situaci.

7. Ověření průhybu pro častou kombinaci zatížení

Protože pouze trvalá zatížení (kvazi-stálé návrhové situace) způsobují dotvarování, zůstávají efekty dotvarování při výpočtu průřezových hodnot pro krátkodobé zatížení (časté a charakteristické návrhové situace) nebrány v potaz. Proto se pro tyto výpočty používá střední modul pružnosti betonu (E_cm = 29000 N/mm²):

• Poměr modulů E pro netrhlinový stav (krátkodobé zatížení):

\( \mathrm{\alpha_{e,I,st}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{cm}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}} = 6.90 \) Poměr α_e,I,st popisuje poměr tuhosti oceli k betonu při krátkodobém zatížení a používá se k výpočtu průřezových hodnot.

Netrhlinový stav
Parametr	Popis	Hodnota	Jednotka
αe,I	Poměr modulů E pro netrhlinový stav	6.90	[-]
My,Ed,def	Návrhový ohybový moment pro výpočet průhybu	54.43	kNm
zI	Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od betonové plochy pod tlakem (netrhlinový stav)	77.1	mm
AI	Účinná průřezová plocha ve stavu bez trhlin	3692.53	cm2
Iy,I	Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti ve stavu bez trhlin	70178.40	cm4
ez,I	Excentrická poloha ideálního těžiště průřezu ve stavu bez trhlin	2.1	mm
κy,I	Křivost pro netrhlinový stav	2.7	mrad/m

Stav s trhlinami
Parametr	Popis	Hodnota	Jednotka
αe,II	Poměr modulů E pro stav s trhlinami	6.90	[-]
zII	Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od betonové plochy pod tlakem (trhliny)	34.4	mm
AII	Účinná průřezová plocha ve stavu s trhlinami	964.57	cm2
Iy, II	Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti ve stavu s trhlinami	16000.40	cm4
ez,II	Excentrická poloha ideálního těžiště průřezu ve stavu s trhlinami	-40.6	mm
κy,II	Křivost ve stavu s trhlinami	11.7	mrad/m

• Koeficient rozdělení ζ_d :

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{54.43 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 5.654 \, \text{N/mm}^2 \)

Pod krátkodobým zatížením činí doba působení zatížení nebo opakovací koeficient β podle DIN EN 1992‑1‑1, 7.4.3 (3), 1.0:

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{5.654 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.887 \)

Protože je koeficient rozdělení časté kombinace menší, je rozhodující pro kvazi-stálou kombinaci:

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Pomocí koeficientu rozdělení se počítá křivost v netrhlém a trhlém stavu, koncové průřezové hodnoty a z toho vyplývající koncové tuhosti:

Efektivní průřezy a tuhosti pro častou návrhovou situaci
Parametr	Popis	Hodnota	Jednotka
κy,f	Křivost z netrhlinového a trhlinového stavu	11.2	mrad/m
Af	Efektivní průřezová plocha	1004.23	cm2
Iy,f	Efektivní moment setrvačnosti k gravitačnímu středu průřezu	16689.20	cm⁴
ez,f	Excentrická poloha těžiště	-40.0	mm
Iy,0,f	Efektivní moment setrvačnosti k geometrickému středu průřezu	32796.10	cm4
EAf	Membránová tuhost	2912260.000	kN
EIy,0,f	Torzní tuhost	9510.86	kNm²
rz	Faktor pro redukci smykových tuhostí	0.238
GAf	Smyková tuhost	847697.000	kN
GIt,f	Torzní tuhost	24637.30	kNm²
ESy	Excentrické tuhostní prvky	-116633.00	kNm

S těmito koncovými tuhostmi RFEM počítá deformaci pro častou kombinaci zatížení: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

Výpočet celkového průhybu konstrukce pod častou zátěží vyžaduje zohlednění různých příspěvků k deformaci, které vznikají vlivem různých typů zatížení a jejich dopad na konstrukci. Dlouhodobé a krátkodobé deformace musí být řešeny odděleně, aby bylo možné přesně stanovit skutečný průhyb:

\( u_{z,ges} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,ges,st} - u_{z,QP,st} \right) \)

• Dlouhodobá deformace u_z,QP,lt : Tato deformace je způsobena zatížením vyvolávajícím dotvarování a zohledňuje efekty dotvarování, které konstrukce zažije po dlouhou dobu. u_z,QP,lt = 15.6mm (vypočteno v oddíle 6).

• Krátkodobá deformace u_z,ges,st : Tato deformace nastává okamžitě po aplikaci časté zátěže. u_z,ges,st = 14.4mm.

• Okamžitá deformace z dotvarovacích zatížení u_z,QP,st : Tato deformace vzniká ihned po aplikaci zatížení vyvolávajícího dotvarování a představuje okamžitou reakci konstrukce před nástupem dotvarování.

Celkový průhyb u_z,ges se skládá z dlouhodobé deformace u_z,QP,lt a rozdílu mezi krátkodobou deformací u_z,ges,st a okamžitou deformací dotvarovacích zatížení u_z,QP,st. Posledně jmenovaná je odečtena, protože je již zahrnuta v krátkodobé deformaci u_z,ges,st. Následující diagram to ukazuje názorně, přičemž různé oblasti představují jednotlivé typy deformací a jejich časový průběh:

\( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 14.4 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 31.2 \, \text{mm} \)

• Hraniční průhyb u_z,lim

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{200.000} = 18.0 \, \text{mm} \)

• Kriterium důkazu η

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{31.2 \, \text{mm}}{18.0 \, \text{mm}} \right| = 1.733 \)

Průkaz pro častou návrhovou situaci není splněn.

8. Ověření průhybu pro charakteristickou kombinaci zatížení

Výpočet probíhá jako u časté kombinace:

Netrhlinový stav
Parametr	Popis	Hodnota	Jednotka
αe,I	Poměr modulů E pro netrhlinový stav	6.90	[-]
My,Ed,def	Návrhový ohybový moment pro výpočet průhybu	58.32	kNm
zI	Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od betonové plochy pod tlakem (netrhlinový stav)	77.1	mm
AI	Účinná průřezová plocha ve stavu bez trhlin	3692.53	cm2
Iy,I	Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti ve stavu bez trhlin	70178.40	cm4
ez,I	Excentrická poloha ideálního těžiště průřezu ve stavu bez trhlin	2.1	mm
κy,I	Křivost pro netrhlinový stav	2.9	mrad/m

Trhlý stav
Parametr	Popis	Hodnota	Jednotka
αe,II	Poměr modulů E pro stav s trhlinami	6.90	[-]
zII	Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od betonové plochy pod tlakem (trhliny)	34.4	mm
AII	Účinná průřezová plocha ve stavu s trhlinami	964.57	cm2
Iy, II	Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti ve stavu s trhlinami	16000.40	cm4
ez,II	Excentrická poloha ideálního těžiště průřezu ve stavu s trhlinami	-40.6	mm
κy,II	Křivost ve stavu s trhlinami	12.6	mrad/m

Výpočet koeficientu rozdělení se také provádí analogicky:

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{58.32 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 6.058 \, \text{N/mm}^2 \)

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{6.058 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.902\) > 0.947

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Efektivní průřezy a tuhosti pro častou návrhovou situaci
Parametr	Popis	Hodnota	Jednotka
κy,f	Křivost z netrhlinového a trhlinového stavu	12.0	mrad/m
Af	Efektivní průřezová plocha	1004.23	cm2
Iy,f	Efektivní moment setrvačnosti k gravitačnímu středu průřezu	16689.20	cm⁴
ez,f	Excentrická poloha těžiště	-40.0	mm
Iy,0,f	Efektivní moment setrvačnosti k geometrickému středu průřezu	32796.10	cm4
EAf	Membránová tuhost	2912260.000	kN
EIy,0,f	Torzní tuhost	9510.86	kNm²
rz	Faktor pro redukci smykových tuhostí	0.238
GAf	Smyková tuhost	847697.000	kN
GIt,f	Torzní tuhost	24637.30	kNm²
ESy	Excentrické tuhostní prvky	-116633.00	kNm

S těmito koncovými tuhostmi RFEM počítá deformaci pro častou kombinaci zatížení: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 15.5\,\mathrm{mm} \)

Celkový průhyb pak činí: \( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 15.5 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 32.3 \, \text{mm} \)

• Hraniční průhyb u_z,lim

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{100.000} = 36 \, \text{mm} \)

• Kriterium důkazu η

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{32.3 \, \text{mm}}{36.0 \, \text{mm}} \right| = 0.897 \)

Průkaz je pro charakteristickou návrhovou situaci splněn.