Analiza odkształceń żelbetowej belki z uwzględnieniem wpływu pełzania od obciążeń stałych

Najpierw są omawiane model i dane wejściowe, w tym materiały, obciążenia oraz ustawienia dla pełzania i skurczu. Następnie następuje szczegółowe obliczanie odkształceń dla kombinacji obciążeń quasi-statycznych. Na końcu pokazano, jak efekty pełzania są uwzględniane w odkształceniach dla częstych i charakterystycznych sytuacji projektowych.

1. Dane wejściowe

Geometria

System: Belka jednoprzęsłowa Przęsło: l = 3.600 m Szerokość: b = 2.360 m Wysokość: h = 0.150 m Wysokość efektywna: d = 0.126 m

Materiały

• Beton C16/20

Charakterystyczna wytrzymałość na ściskanie: f_ck = 16.000 N/mm² Średnia wytrzymałość na rozciąganie: f_ctm = 1.900 N/mm² Moduł sprężystości: E_cm = 29000.0 N/mm²

• Stal zbrojeniowa

Charakterystyczna granica plastyczności: f_yk = 410.000 N/mm² Moduł sprężystości: E_s = 200000.0 N/mm² Liczba prętów: 11 Powierzchnia zbrojenia: A_s,prov = 2210 mm² Stopień zbrojenia: ρ = 0,743 %

Obciążenia

Belka jednoprzęsłowa o rozpiętości 3,6 m jest obciążona następującymi obciążeniami liniowymi:

• Obciążenie stałe: g_k = 12.000 kN/m
• Obciążenie zmienne: q_k = 24.000 kN/m

Do obliczeń odkształceń zgodnie z EC2 rozpatruje się trzy charakterystyczne kombinacje obciążeń:

• Kombinacja quasi-statyczna:

g_k + ψ₂·q_k = 12.000 + 0.8 × 24.000 = 31.2 kN/m

• Kombinacja częsta:

g_k + ψ₁·q_k = 12.000 + 0.9 × 24.000 = 33.6 kN/m

• Kombinacja charakterystyczna:

g_k + q_k = 12.000 + 24.0 = 36.000 kN/m

2. Wielkości przekrojowe

Momenty zginające w środku pola wynoszą:

Charakterystyczna: M_Ed,char. = 58.320 kNm Częsta: M_Ed,Häufig = 54.430 kNm Quasi-statyczna: M_Ed,Qs = 50.540 kNm

3. Wartości czasowe betonu

Aby uwzględnić efekty pełzania i skurczu w projektowaniu, wymagane jest ich aktywowanie w właściwościach materiałowych betonu.

Aby ręcznie wprowadzić wartości pełzania i skurczu, muszą być aktywowane czasowe właściwości betonu w przekroju belki. Na podstawie ręcznie wprowadzonych wartości liczby pełzania φ₀ i podstawowej deformacji skurczu suszenia ε_cd,0 oblicza się efektywną liczbę pełzania φ_(t|t₀) = 3.2 oraz wynikającą całkowitą deformację skurczu ε_cs(∞) = −0.6 ‰. Te wartości służą jako parametry wejściowe do dalszej analizy długoterminowych odkształceń betonu.

4. Wymagania dotyczące ugięcia

Założono następujące dopuszczalne wartości graniczne dla ugięcia:

• Długoterminowe ugięcie pod działaniem quasi-statycznym:

f_lim,qp = l/250 = 3600/250 = 14.4 mm

• Krótkoterminowe ugięcie pod działaniem częstej kombinacji obciążeń:

f_lim,freq = l/200 = 3600/200 = 18.0 mm

• Krótkoterminowe ugięcie pod działaniem charakterystycznej kombinacji obciążeń:

f_lim,char = l/100 = 3600/100 = 36.0 mm

Dowód ugięcia jest prowadzony standardowo tylko dla quasi-statycznej sytuacji projektowej. Aby dowód był również prowadzony dla częstej i charakterystycznej sytuacji projektowej, musi być aktywowana opcja Użytkowe przypisanie typu sytuacji projektowej w konfiguracji użytkowej. Po aktywacji tej opcji dla każdej aktywowanej sytuacji projektowej należy podać wartości graniczne dopuszczalnego ugięcia.

5. Rozpoznanie stanu pęknięcia

Rozpoznanie stanu pęknięcia można ustawić w konfiguracji użytkowej. Stan pęknięcia wpływa na obliczanie współczynnika rozkładu ζ_d:

• Jeśli opcja Stan pęknięcia obliczany na podstawie odpowiadającego obciążenia jest aktywowana, ζ_d jest obliczane wyłącznie na podstawie bieżącego obciążenia (kombinacji obciążeń).
• Jeśli opcja Stan pęknięcia z odpowiedniej LK sytuacji projektowej GZG z odpowiadającego obciążenia jest aktywowana, ζ_d jest obliczane jako maksimum ze wszystkich odpowiednich obciążeń. W tym przykładzie ta opcja jest wybrana.

6. Dowód ugięcia dla quasi-statycznej kombinacji obciążeń

6.1. Krzywizna dla stanu niepękniętego

a) Moduły sprężystości i stosunki modułów sprężystości

• Efektywny moduł sprężystości betonu:

\( \mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{cm}}}{1 + \varphi} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{1 + 3.200} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \) Efekty pełzania są uwzględniane przez zmniejszenie modułu sprężystości. Wpływ pełzania jest włączony za pomocą końcowej liczby pełzania φ.

• Stosunek modułów sprężystości dla stanu niepękniętego i pękniętego:

\( \mathrm{\alpha_{e,I}} = \mathrm{\alpha_{e,II}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{c,I}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2}} = 28.97 \)

• Moment zginający dla obliczenia ugięcia:

\( \mathrm{M_{y,Ed,def}} = \left| \mathrm{M_{y,Ed,def}} \right| = \left| 50.54\,\mathrm{kNm} \right| = 50.54\,\mathrm{kNm} \)

b) Wartości przekroju w stanie I

• Odległość środka ciężkości ideowego przekroju od powierzchni betonu pod ściskaniem (obliczona dla stanu niepękniętego):

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \dfrac{\mathrm{h}}{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 82.8\,\mathrm{mm} \)

• Efektywna powierzchnia przekroju w stanie niepękniętym:

\( \mathrm{A_{I}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.41806\,\mathrm{m^2} \)

• Efektywny moment bezwładności do ideowego środka ciężkości w stanie niepękniętym:

\( \mathrm{I_{y,I}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (unten)}} - z_{I} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \left( z_{I} - \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 28.97 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 28.97 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = \mathrm{I_{y,I}} = 0.00080\,\mathrm{m^4} \)

• Ekscentryczność ideowego środka ciężkości przekroju w stanie niepękniętym:

\( \mathrm{e_{z,I}} = z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,I}} = 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = 7.8\,\mathrm{mm} \)

c) Skurcz - Stan I

• Dodatkowa siła przez swobodny skurcz

\( \mathrm{N_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right) \)

\( \mathrm{N_{sh}} = -200000.000\,\mathrm{N/mm^2} \cdot -0.600\,\text{‰} \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right) = 265.402\,\mathrm{kN} \)

• Ekscentryczność siły skurczowej do środka ciężkości ideowego przekroju w stanie niepękniętym

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}}} - \mathrm{z_{I}} \)

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 82.8\,\mathrm{mm} = 43.2\,\mathrm{mm} \)

• Moment zginający przez siłę normalną \(N_{sh}\) dla stanu niepękniętego

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 43.2\,\mathrm{mm} = 11.46\,\mathrm{kNm} \)

• Parametr krzywizny dla stanu niepękniętego

Parametr krzywizny wskazuje, jak moment skurczu działa w stosunku do siły normalnej i ekscentryczności. Pokazuje, jak rozkład siły skurczowej i położenie środka ciężkości wpływają na odkształcenia elementu. Ta wartość jest kluczowa, aby w pełni opisać odkształcenia przekroju przez skurcz:

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{11.46\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}} = 1.227 \)

Krzywizna w stanie niepękniętym uwzględniając pełzanie i skurcz wynosi:

\( \mathrm{\kappa_{y,I}} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.227 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4}} = 11.2\,\mathrm{mrad/m} \)

6.2. Krzywizna dla stanu pękniętego

a). Wartości przekroju w stanie II

• Odległość środka ciężkości ideowego przekroju od powierzchni betonu pod ściskaniem (obliczona dla stanu pękniętego):

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} \cdot \dfrac{\mathrm{x_{II}}}{2} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{59.9\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 59.9\,\mathrm{mm} \)

• Efektywna powierzchnia przekroju w stanie pękniętym:

\( \mathrm{A_{II}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 6.90 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.36925\,\mathrm{m^2} \)

• Efektywny moment bezwładności do ideowego środkа ciężkości w stanie пękniętym:

\( \mathrm{I_{y,II}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (unten)}} - \mathrm{z_{II}} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 6.90 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 77.1\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 6.90 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00070\,\mathrm{m^4} \)

• Ekscentryczność ideowego środka ciężkości przekroju в stanie пękniętym:

\( \mathrm{e_{z,II}} = \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,II}} = 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = -15.1\,\mathrm{mm} \)

b) Skurcz - Stan II

• Obliczanie ekscentrycznego расстояние в stanie II:

\( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}}} - \mathrm{z_{II}} \) \( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 59.9\,\mathrm{mm} = 66.1\,\mathrm{mm} \)

• Obliczanie momentu zginającego M_sh,y,II :

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,II}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 66.1\,\mathrm{mm} = 17.54\,\mathrm{kNm} \)

• Obliczanie współczynnika krzywizny k_sh,y,II :

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,II}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{17.54\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}} = 1.347 \)

Krzywizna w stanie пękniętym uwzględniając pełzanie i skурcz wynosi:

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} =\mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.347 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = 22.0\,\mathrm{mrad/m} \)

6.3. Efektywna krzywizna uwzględniająca stan pęknięcia

• Obliczanie maksymalnego naprężenia σ_max,lt :

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{\mathrm{N_{Ed}} + \mathrm{N_{sh}}}{\mathrm{A_{I}}} + \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \left( \mathrm{z_{I}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right) + \mathrm{M_{sh,y,I}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \cdot \left( \mathrm{h} - \mathrm{z_{I}} \right) \)

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{0.000\,\mathrm{kN} + 265.402\,\mathrm{kN}}{0.41806\,\mathrm{m^2}} + \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right) + 11.46\,\mathrm{kNm}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} \cdot \left( 150.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right) = 5.811\,\mathrm{N/mm^2} \)

• Obliczanie Współczynnika dystrybucji ζ_d :

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - \mathrm{\beta} \cdot \left( \frac{\mathrm{f_{ctm}}}{\mathrm{\sigma_{max}}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - 0.500 \cdot \left( \frac{1.900\,\mathrm{N/mm^2}}{5.811\,\mathrm{N/mm^2}} \right)^{2} = 0.947 \)

Współczynnik dystrybucji jest również obliczany dla odpowiednich kombinacji obciążeń (LK1 i LK2). Największy wynik jest decydujący. W tym przypadku współczynnik dystrybucji kombinacji obciążeń quasi-statycznej LK3 jest największy i tym samym decydujący: \( \mathrm{\zeta_{d}} = \mathrm{\zeta_{d,max}} = 0.947 \)

• Obliczanie krzywizny κ_y,f :

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = \mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{\kappa_{y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{\kappa_{y,I}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = 0.947 \cdot 22.0\,\mathrm{mrad/m} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 11.2\,\mathrm{mrad/m} = 21.4\,\mathrm{mrad/m} \)

6.4. Efektywne wartości przekroju

Z użyciem średniej krzywizny i współczynnika dystrybucji, końcowe wartości przekroju są obliczane uwzględniając pełzanie i skurcz:

• Obliczanie efektywnej powierzchni przekroju A_f :

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{\mathrm{A_{I}} \cdot \mathrm{A_{II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{A_{I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{A_{II}}} \)

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{0.41806\,\mathrm{m^2} \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}}{0.947 \cdot 0.41806\,\mathrm{m^2} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}} = 0.21118\,\mathrm{m^2} \)

• Efektywna moment bezwładności do środka ciężkości przekroju w stanie неpękniętym:

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,I}}} \)

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}}{0.947 \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 1.347 + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 1.227} = 0.00034\,\mathrm{m^4} \)

• Ekscentryczność środka ciężkości e_z,f :

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{e_{z,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot (-15.1)\,\mathrm{mm} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = -14.4\,\mathrm{mm} \)

• Efektywna moment bezwładności do środka masy przekroju геометрии I_y,0,f :

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = \mathrm{I_{y,f}} + \mathrm{A_{f}} \cdot \left( \mathrm{e_{z,f}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = 0.00034\,\mathrm{m^4} + 0.21118\,\mathrm{m^2} \cdot \left( -14.4\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

6.5. Efektywne sztywności

• Измерение sztywność błonową EA_f :

\( \mathrm{EA_{f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{f}} \)

\( \mathrm{EA_{f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.21118\,\mathrm{m^2} = 1458100.00\,\mathrm{kN} \)

• Tangentenowe bazowanie EI_y,0,f :

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 2665.68\,\mathrm{kNm^2} \)

• Faktor do redukcji sztywności ścinających r_z :

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,f}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{0.00034\,\mathrm{m^4}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} = 0.425 \)

• Sztywność ścinająca GA_f

\( \mathrm{GA_{y,f}} = \mathrm{G_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{c,y}} \cdot \mathrm{r_{z}} \)

\( \mathrm{GA_{y,f}} = 2876.9\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.29500\,\mathrm{m^2} \cdot 0.425 = 360953.00\,\mathrm{kN} \)

• Sztywność skrętna GI_T,F

\( \mathrm{GI_{T,f}} = \mathrm{GI_{T,I}} = 5865.88\,\mathrm{kNm^2} \)

• Ekscentryczne sztywność ESP_y

\( \mathrm{ES_{y}} = \mathrm{EA_{f}} \cdot \mathrm{e_{z,f}} \)

\( \mathrm{ES_{y}} = 1458100.000\,\mathrm{kN} \cdot (-14.4)\,\mathrm{mm} = -20991.40\,\mathrm{kNm} \)

6.6. Obliczanie ugięcia

Z wykorzystaniem obliczonych efektywnych sztywności, RFEM 6 wykonuje obliczenia odkształceń dla quasi-statycznej kombinacji obciążeń:

• Ugięcie u_z

\( \mathrm{u_{z}} = 30.1\,\mathrm{mm} \)

• Graniczne ugięcie u_z,lim

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}} \)

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{3.600\,\mathrm{m}}{250.000} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

• Kryterium dowodu η

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{\mathrm{u_{z}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}\right| \)

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{30.1\,\mathrm{mm}}{14.4\,\mathrm{mm}}\right| = 2.090 > 1 \)

Obliczone ugięcie wynosi dwukrotność dopuszczalnego zakresу ugięcia. Dowód nie jest zatem spełniony w quasi-statycznej sytuacji projektowej.

7. Dowód ugięcia dla częstej kombinacji obciążeń

Ponieważ tylko obciążenia trwałe (sytuacje projektowe quasi-statyczne) powodują pełzanie, efekty pełzania są pominięte przy obliczaniu wartości przekroju dla obciążeń krótkoterminowych (częste i charakterystyczne sytuacje projektowe). Dlatego w tych obliczeniach używany jest średni moduł sprężystości betonu (E_cm = 29000 N/mm²):

• Stosunek modułów sprężystości dla stanu niepękniętego (obciążenie krótkoterminowe):

\( \mathrm{\alpha_{e,I,st}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{cm}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}} = 6.90 \) Stosunek α_e,I,st opisuje stosunek sztywności stali do betonu pod obciążeniem krótkoterminowym i jest używany do obliczania wartości przekroju.

Stan niepęknięty
Parametr	Opis	Wartość	Jednostka
αe,I	Stosunek modułów sprężystości dla stanu niepękniętego	6.90	[-]
My,Ed,def	Moment zginający do obliczenia ugięcia	54.43	kNm
zI	Odległość środka ciężkości ideowego przekroju od powierzchni betonu pod ściskaniem (niepęknięty)	77.1	mm
AI	Efektywna powierzchnia przekroju w stanie niepękniętym	3692.53	cm2
Iy,I	Efektywny moment bezwładności do ideowego środka ciężkości w stanie niepękniętym	70178.40	cm4
ez,I	Ekscentryczność ideowego środka ciężkości przekroju w stanie niepękniętym	2.1	mm
κy,I	Krzywizna dla stanu niepękniętego	2.7	mrad/m

Stan pęknięty
Parametr	Opis	Wartość	Jednostka
αe,II	Stosunek modułów sprężystości для stanu пękniętego	6.90	[-]
zII	Odległość środka ciężkości ideowego przekroju od powierzchni betonu pod ściskaniem (pęknięty)	34.4	mm
AII	Efektywna powierzchnia przekroju w stanie пękniętym	964.57	cm2
Iy, II	Efektywny moment bezwładności do ideowego środka ciężkości w stanie пękniętym	16000.40	cm4
ez,II	Ekscentryczność ideowego środka ciężkości przekroju w stanie пękniętym	-40.6	mm
κy,II	Krzywizna dla stanu пękniętego	11.7	mrad/m

• Współczynnik dystrybucji ζ_d :

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{54.43 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 5.654 \, \text{N/mm}^2 \)

Pod obciążeniem krótkoterminowym czas działania obciążeń lub współczynnik powtarzania β zgodnie z DIN EN 1992‑1‑1, 7.4.3 (3), wynosi 1.0:

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{5.654 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.887 \)

Ponieważ współczynnik dystrybucji dla częstej kombinacji obciążeń jest mniejszy, współczynnik dystrybucji dla kombinacji obciążeń quasi-statycznej jest decydujący:

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Z użyciem współczynnika dystrybucji krzywizna dla stanu неpękniętego и пękniętego, końcowe wartości przekroju oraz wynikające z nich końcowe sztywności są obliczane:

Efektywne przekroje i sztywności dla częstej sytuacji projektowej
Parametr	Opis	Wartość	Jednostka
κy,f	Krzywizna z stanu niepękniętego i pękniętego	11.2	mrad/m
Af	Efektywna powierzchnia przekroju	1004.23	cm2
Iy,f	Efektywny moment bezwładności do ideowego środka ciężkości przekroju	16689.20	cm⁴
ez,f	Ekscentryczność środka ciężkości	-40.0	mm
Iy,0,f	Efektywny moment bezwładności do środka ciężkości przekroju	32796.10	cm4
EAf	Sztywność membranowa	2912260.000	kN
EIy,0,f	Tangencyjna sztywność zginająca	9510.86	kNm²
rz	Faktor do redukcji sztywności ścinających	0.238
GAf	Sztywność ścinająca	847697.000	kN
GIt,f	Sztywność skrętna	24637.30	kNm²
ESy	Ekscentryczne sztywność	-116633.00	kNm

Z użyciem tych końcowych sztywności RFEM oblicza deformację dla częstej kombinacji obciążeń: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

Obliczenie całkowitego ugięcia elementu pod na обciążeniami częstymi wymaga uwzględnienia różnych wkładów deformacji, które są wynikiem różnych rodzajów obciążeń i ich odpowiednich wpływów na element. Długoterminowe i krótkoterminowe odkształcenia muszą być traktowane odrębnie, aby określić rzeczywiste ugięcie correctly:

\( u_{z,ges} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,ges,st} - u_{z,QP,st} \right) \)

• Długoterminowe odkształcenie u_z,QP,lt : To odkształcenie jest wywołane obciążeniami generującymi pełzanie i uwzględnia efekty pełzania, których element doświadcza przez długi czas. u_z,QP,lt = 15.6mm (Obliczone w Sekcji 6).

• krótkoterminowe odkształcenie u_z,ges,st : To deformacja występuje natychmiast po nałożeniu obciążeń częstych. u_z,ges,st = 14.4mm.

• Natychmiastowe deformacja z obciążeń generujących pełzanie u_z,QP,st : To odkształcenie występuje natychmiast po nałożeniu obciążeń generujących pełzanie i jest natychmiastową reakcją elementu przed rozpoczęciem pełzania.

Całkowite ugięcie u_z,ges składa się z długoterminowego odkształcenia u_z,QP,lt i różnicy pomiędzy krótkoterminowym odkształceniem u_z,ges,st i natychmiastowym odkształceniem обszarãw generujących pełzanie u_z,QP,st. To ostatnie zostało odjęte, ponieważ jest уже zawarte w krótkoterminowym odkształceniu u_z,ges,st. Następujący diagram ilustruje to w sposób zrozumiały, pokazując różne obszary odkształceń i ich przebieg w czasie:

\( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 14.4 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 31.2 \, \text{mm} \)

• Graniczne ugięcie u_z,lim

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{200.000} = 18.0 \, \text{mm} \)

• Kryterium dowodu η

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{31.2 \, \text{mm}}{18.0 \, \text{mm}} \right| = 1.733 \)

Jeżeli dowód nie jest spełniony dla częstej sytuacji projektowej.

8. Dowód ugięcia dla charakterystycznej kombinacji obciążeń

Obliczenia odbywają się analogicznie jak dla częstej kombinacji obciążeń:

Stan niepęknięty
Parametr	Opis	Wartość	Jednostka
αe,I	Stosunek modułów sprężystości dla stanu niepękniętego	6.90	[-]
My,Ed,def	Moment zginający do obliczenia ugięcia	58.32	kNm
zI	Odległość środka ciężkości ideowego przekroju od powierzchni betonu pod ściskaniem (niepęknięty)	77.1	mm
AI	Efektywna powierzchnia przekroju w stanie niepękniętym	3692.53	cm2
Iy,I	Efektywny moment bezwładności do ideowego środka ciężkości w stanie niepękniętym	70178.40	cm4
ez,I	Ekscentryczność ideowego środka ciężkości przekroju w stanie неpękniętym	2.1	mm
κy,I	Krzywizna dla stanu niepękniętego	2.9	mrad/m

Stan pęknięty
Parametr	Opis	Wartość	Jednostka
αe,II	Stosunek modułów sprężystości dla stanu пękniętego	6.90	[-]
zII	Odległość środka ciężkości ideowego przekroju od powierzchni betonu pod ściskaniem (pęknięty)	34.4	mm
AII	Efektywna powierzchnia przekroju w stanie пękniętym	964.57	cm2
Iy, II	Efektywny moment bezwładności do ideowego środka ciężkości w stanie пękniętym	16000.40	cm4
ez,II	Ekscentryczność ideowego środka ciężkości прокрою в stanie пękniętym	-40.6	mm
κy,II	Krzywizna для stanu пękniętego	12.6	mrad/m

Облічезnie współczynnika dystrybucji odbywa się również analogicznie:

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{58.32 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 6.058 \, \text{N/mm}^2 \)

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{6.058 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.902\) > 0.947

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Efektywne przekroje i sztywności dla częstej sytuacji projektowej
Parametr	Opis	Wartość	Jednostka
κy,f	Krzywizna z stanu неpękniętego и пękniętego	12.0	mrad/m
Af	Efektywna powierzchnia przekroju	1004.23	cm2
Iy,f	Efektywny moment bezwładności до ideowego środka ciężkości przekroju	16689.20	cm⁴
ez,f	Ekscentryczność środka ciężkości	-40.0	mm
Iy,0,f	Efektywny moment bezwładności do środka ciężkości przekroju	32796.10	cm4
EAf	Sztywność membranowa	2912260.000	kN
EIy,0,f	Sztywność zginająca	9510.86	kNm²
rz	Faktor do redukcji sztywności ścinających	0.238
GAf	Sztywność ścinająca	847697.000	kN
GIt,f	Sztywność skrętna	24637.30	kNm²
ESy	Ekscentryczne sztywność	-116633.00	kNm

Z użyciem tych końcowych sztywności RFEM oblicza deformację dla częstej kombinacji obciążeń: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 15.5\,\mathrm{mm} \)

Całkowite ugięcie wynosi: \( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 15.5 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 32.3 \, \text{mm} \)

• Graniczne ugięcie u_z,lim

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{100.000} = 36 \, \text{mm} \)

• Kryterium dowodu η

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{32.3 \, \text{mm}}{36.0 \, \text{mm}} \right| = 0.897 \)

Dowód jest spełniony w charakterystycznej sytuacji projektowej.