Расчёты пластиковых сечений методом частичных усилий

В стальных конструкциях сечения, которые удовлетворяют определённым критериям, могут проектироваться пластически. В американской практике это касается, в частности, компактных сечений, как определено в AISC 360, которые способны развивать свою полную пластиковую сопротивляемость и достаточную вращательную способность. Это позволяет перераспределять напряжения в сечении за счёт текучести основного материала. В то время как уравнения, представленные в общепринятых американских нормах проектирования стальных конструкций для расчёта пластиковых мощностей сечения, ограничены отдельными формами сечения и специфическими комбинациями внутренних сил, или вообще не предоставляются, метод частичных внутренних сил практически универсально применим. Например, структурные элементы, подверженные осевой силе, изгибу и кручению, включая кручение с короблением, также могут быть эффективно спроектированы с использованием данного подхода. Метод частичных внутренних сил доступен пользователям RFEM 6 и RSTAB 9 в расширенных правилах пластикового проектирования в условиях предельного состояния компонента Steel Design.

Расширенное пластическое проектирование в настройках предельного состояния по несущей способности

Метод частичных внутренних сил (TSV) был разработан Киндманом и Фрикелем в Рурском университете Бохума (Германия) и описан подробно в [1]. В программе реализованы две различные вариации:

1. Метод частичных внутренних сил с перераспределением

Метод перераспределения подходит для 2- и 3-металлических листовых сечений с ортогонально ориентированными частями сечения и таким образом охватывает наиболее важные открытые формы сечений в стальных конструкциях. Дополнительные решения реализованы для прямоугольных и круглых полых сечений, так что следующие типы сечений могут быть спроектированы с использованием данного метода:

• Двойные / одиночные / несимметричные I-сечения
• С- / Т- / Z- / L-сечения
• П-сечения (Тип А)
• Двойные симметричные прямоугольные (RHS) / квадратные (SHS) полые и коробчатые сечения
• Круглые полые сечения (CHS)

Процедура пластикового проектирования с использованием метода частичных внутренних сил с перераспределением следующая:

1. Преобразование внутренних сил из структурного анализа в специальную (ȳ-z̄) систему отсчёта (начало для I-сечений установлено в центре стены, например)
2. Распределение и проектирование внутренних сил, вызывающих касательные напряжения (поперечные силы и моменты кручения) на уровне сечения
3. Распределение и проектирование внутренних сил, вызывающих локальный изгиб в частях сечения, ортогональных к референтной части сечения (например, стенка для I-сечения). Предел текучести уменьшен из-за действующих касательных напряжений, упомянутых в предыдущем пункте.
4. Проектирование остаточной несущей способности сечения для внутренних сил, вызывающих изгиб в частях сечения, параллельных референтной части сечения — например, стенка для I-сечения (с уменьшенным пределом текучести из-за сдвига) плюс осевая сила.

Обратите внимание, что проектирование сопротивления сечения не проводится в полностью пластиковом состоянии сечения. Вместо этого на Шаге 4 используется различение случая для проверки того, находятся ли внутренние силы в указанном диапазоне значений и могут ли быть восприняты сечением. Таким образом, полученное соотношение проектирования проверки сечения не пропорционально нагрузке и лишь предоставляет информацию о его успехе (соотношение проектирования меньше или равно 1) или неудаче (соотношение проектирования больше 1).

2. Метод частичных внутренних сил без перераспределения

Метод частичных внутренних сил без перераспределения [1] обычно подходит для всех тонкостенных типов сечений. Процедура для этого варианта проектирования следующая:

1. Деление сечения на его элементы. Могут быть определены предельные значения отношения длины и ширины. Элементы, превышающие этот предел, учитываются в проектировании.
2. Определение внутренних сил в каждой части сечения, основанное на упругих напряжениях на концах частей сечения
3. Проверка определённых внутренних сил относительно пластиковых предельных значений части сечения

Частичные внутренние силы, таким образом, рассчитываются в зависимости от распределения упругих напряжений в каждой части сечения. Пластиковое перераспределение напряжения учитывается только внутри, а не между частями сечения. Тем не менее, значительно более эффективные результаты могут часто быть достигнуты по сравнению с полностью упругим проектированием.

Чтобы избежать избыточного вывода, в каждом месте проектирования в Steel Design отображается только результат проектирования части сечения с наибольшей степенью использования.

Пример проверки сечения с PIFM

Пример расчёта: Несимметричное двутавровое сечение

Данный пример также описан в [1] в Разделе 10.7.6 и ясно показывает эффективность метода частичных внутренних сил. Даже для несимметричных сечений (здесь IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [дюймы], f_y = 34.8 ksi) с общим напряжением (осевая сила + двойной изгиб + смешанное кручение) возможно выполнение проверки пластикового проектирования сечения:

Оригинальный пример дан в метрических единицах. Для целей этой статьи все значения были напрямую преобразованы в имперские единицы без округления.

1. PIFM с перераспределением

На основании незначительных отклонений в нагрузке и геометрии сечения проектирование изгиба нижнего фланца чуть превышено в Steel Design, в то время как в [1] это приводит к соотношению проектирования в 100%. Чтобы полностью объяснить концепцию проектирования в данный момент, внутренние силы из Таблицы 1 уменьшаются на 2.5% и рассчитываются с коэффициентом нагрузки 97.5%

На первом этапе внутренние силы из (u-v) системы главных осей преобразуются в (ȳ-z̄) систему отсчёта. Система отсчёта имеет начало в центре тяжести стенки и также соответствует ориентации глобальной (Y-Z) системы координат на Изображении 2. Угол наклона главной оси α составляет 35.5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96.9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15.2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

На втором этапе проектируются касательные напряжения в отдельных частях сечения. Для этого соответствующие внутренние силы (поперечные силы и основные и вторичные моменты кручения) в первую очередь распределяются на фланцевые и стеновые пластины (как пример здесь и сокращённо для нижнего фланца):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

где I_T,u / I_T описывает долю жёсткости кручения нижнего фланца относительно жёсткости кручения всего сечения (здесь 37.6%). Затем определяются соответствующие пластиковые сопротивления (V_pl,y,u и M_pl,xp,u) части сечения и оценивается использование.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

На третьем этапе проверяются местные моменты изгиба фланцев. Частичная внутренняя сила составляется из момента изгиба M_z̄ и моментом коробления M_ω̄. Опять же, только нижний фланец рассматривается как пример.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

Проектирование выполняется с уменьшенным пределом текучести из-за касательного напряжения (см. выше) и с учётом параметра эксцентриситета δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0.99

В конце проверяется, может ли эффективная осевая сила N и момент изгиба M_ȳ быть восприняты "оставшимся" сечением. Для этого последнего шага отсутствует замкнутое аналитическое решение. Вместо этого определяется двумерное решение, и выполняется проверка, находится ли действующая комбинация N-M_ȳ внутри или вне предела (= диаграмма взаимодействия) этого пространства решений. Ограничивающая кривая описывается для положительных и отрицательных диапазонов момента с использованием двух линейных и одной параболической уравнений. При различных случаях проверяется, какие участки пограничной кривой актуальны для проектирования для заданной осевой силы. Точные расчётные шаги можно найти в [1] или в деталях результатов стального проектирования. Конечная ограничивающая кривая с различными секциями для примера отображена далее:

Кривая взаимодействия для расчёта центрально-растянутого с изгибом

Изображение 3 показывает ограничивающую кривую и комбинацию N-M_ȳ, действующую в примере (красный ромб). Очевидно, что приложенная нагрузка находится в пределах пространства решений ограничивающей кривой, что означает, что проверка сечения выполнена. Однако неясно, насколько велика оставшаяся "истинная" способность сечения; то есть, какое увеличение приложенной комбинации внутренних сил было бы возможным до достижения предельного состояния. Из-за нелинейных условий (на Шаге 2) пропорциональность между нагрузочным эффектом и коэффициентом использования больше не действует. Фактический коэффициент использования, следовательно, можно определить только итеративно; то есть в нескольких расчётных шагах с изменяемыми уровнями нагрузки.

2. PIFM без перераспределения

Для целей сравнения сечение также проектируется с использованием PIFM без перераспределения. В первую очередь определяются упругие нормальные и касательные напряжения на начальных, средних и конечных узлах в каждой части сечения (каждый тонкостенный элемент рассматривается как отдельная часть сечения). Здесь расчёт (как в Steel Design) представлен только для управляющей части сечения (Элемент 5 на Изображении 2):

Затем пластиковые частичные внутренние силы частей сечения (здесь часть сечения i = 5) рассчитываются из напряжений с учётом размеров:

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179.6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90.5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Затем проектируется касательная способность части сечения:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

Наконец, проверяется взаимодействие осевая сила-момент. Как и в случае PIFM с перераспределением, сопротивления рассчитываются с уменьшенным пределом текучести:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23.39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

На основании первоначальной нагрузки в Таблице 1 проверка сечения не соответствует требованиям. Итерационные расчеты указывают, что проверка может быть выполнена, только если нагрузка снижена до 86%.

3. Упругая проверка сечения

Упругая проверка сечения явно превышена в Элементе 5 при максимальном коэффициенте использования 129%. Соответствующий максимальный коэффициент нагрузки можно получить напрямую как обратное значение этого максимального коэффициента использования, то есть 77.5%.

Заключение

Пластическое проектирование согласно методу частичных внутренних сил (PIFM) позволяет значительно более экономичное проектирование по сравнению с упругой проверкой сечения, если это разрешено. В примере, увеличение предельной нагрузки составляет 11% (PIFM без перераспределения) или 25.8% (PIFM с перераспределением).