Расчёты пластиковых сечений методом частичных усилий

В стальных конструкциях поперечные сечения, удовлетворяющие определённым критериям, могут рассчитываться по пластической схеме. В американской практике это относится, в частности, к компактным поперечным сечениям, как они определены в AISC 360, которые способны развивать полное пластическое сопротивление и достаточную вращательную способность. Это позволяет перераспределять напряжения в поперечном сечении за счёт текучести основного материала. Хотя уравнения, приведённые в широко используемых американских нормах по проектированию стальных конструкций для расчёта пластических несущих способностей сечений, ограничены отдельными формами поперечных сечений и конкретными сочетаниями внутренних усилий либо вообще не приведены, метод частичных внутренних усилий применим практически повсеместно. Например, элементы конструкций, испытывающие осевую силу, изгиб и кручение, включая кручение с депланацией, также можно эффективно рассчитывать с применением этого подхода. Метод частичных внутренних усилий доступен пользователям RFEM 6 и RSTAB 9 в расширенных правилах пластического расчёта в настройках предельного состояния по несущей способности дополнительного модуля Steel Design.

Расширенное пластическое проектирование в настройках предельного состояния по несущей способности

Метод частичных внутренних усилий (TSV) был разработан Киндманном и Фриккелем в Рурском университете Бохума (Германия) и подробно описан в [1]. В программе реализованы два различных варианта:

1. Метод частичных внутренних усилий с перераспределением

Метод перераспределения подходит для 2- и 3-листовых поперечных сечений с ортогонально ориентированными частями сечения и, таким образом, охватывает наиболее важные открытые формы поперечных сечений в стальных конструкциях. Дополнительно реализованы решения для прямоугольных и круглых полых сечений, так что с помощью этого метода можно рассчитывать следующие типы поперечных сечений:

• Двутавровые / односторонние / несимметричные I-сечения
• Швеллерные / тавровые / Z-образные / L-образные сечения
• PI-сечения (тип A)
• Двусторонне-симметричные прямоугольные (RHS) / квадратные (SHS) полые и коробчатые сечения
• Круглые полые сечения (CHS)

Процедура пластического расчёта методом частичных внутренних усилий с перераспределением выглядит следующим образом:

1. Преобразование внутренних усилий из расчётной схемы в специальную систему отсчёта (ȳ-z̄) (например, начало координат для I-сечений задаётся в центре стенки)
2. Распределение и расчёт внутренних усилий, вызывающих касательные напряжения (поперечные силы и крутящие моменты), на уровне поперечного сечения
3. Распределение и расчёт внутренних усилий, вызывающих местный изгиб в частях сечения, ортогональных базовой части сечения (например, стенка для I-сечения). Предел текучести снижается из-за действующих касательных напряжений, упомянутых в предыдущем пункте.
4. Расчёт остаточной несущей способности поперечного сечения для внутренних усилий, вызывающих изгиб в частях сечения, параллельных базовой части сечения — например, стенка для I-сечения (с пониженным пределом текучести из-за сдвига) плюс осевая сила.

Обратите внимание, что расчёт сопротивления поперечного сечения не выполняется по полностью пластическому состоянию сечения. Вместо этого на шаге 4 используется проверка по случаям, чтобы определить, находятся ли внутренние усилия в определённом диапазоне значений и могут ли быть восприняты сечением. Поэтому получаемый коэффициент использования при проверке сечения, как правило, не пропорционален действию и лишь показывает успешность (коэффициент использования меньше или равен 1) или неуспешность (коэффициент использования больше 1) проверок сечения.

2. Метод частичных внутренних усилий без перераспределения

Метод частичных внутренних усилий без перераспределения [1] в общем случае подходит для всех тонкостенных типов поперечных сечений. Процедура для этого варианта расчёта следующая:

1. Разделение поперечного сечения на элементы. Могут быть заданы предельные значения отношения длины к ширине. Элементы, превышающие этот предел, учитываются в расчёте.
2. Определение внутренних усилий в каждой части сечения на основе упругих напряжений в концах частей сечения.
3. Проверка определённых внутренних усилий по пластическим предельным значениям части сечения.

Таким образом, частичные внутренние усилия вычисляются в зависимости от упругого распределения напряжений в каждой части сечения. Пластическое перераспределение напряжений учитывается только внутри частей сечения, но не между ними. Тем не менее, по сравнению с чисто упругим расчётом часто удаётся получить значительно более эффективные результаты.

Чтобы избежать избыточного вывода, в стальном расчёте в каждой расчётной точке отображается только результат проверки части сечения с наибольшим коэффициентом использования.

Пример проверки сечения по PIFM

Пример расчёта: Несимметричное двутавровое сечение

Приведённый пример также описан в [1] в разделе 10.7.6 и наглядно показывает эффективность метода частичных внутренних усилий. Даже для несимметричных поперечных сечений (здесь IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [дюймы], f_y = 34.8 ksi) при общем напряжённом состоянии (осевая сила + двоякий изгиб + смешанное кручение) можно выполнить пластическую проверку сечения:

Исходный пример приведён в метрических единицах. Для целей данной статьи все значения были напрямую переведены в имперские единицы без округления.

1. PIFM с перераспределением

Из-за небольших отклонений в нагрузке и геометрии сечения расчёт изгиба нижнего пояса в стальном расчёте немного превышен, тогда как в [1] получается коэффициент использования 100%. Чтобы полностью пояснить концепцию расчёта на этом этапе, внутренние усилия из Таблицы 1 уменьшаются на 2.5% и рассчитываются с коэффициентом нагрузки 97.5%.

На первом шаге внутренние усилия из системы главных осей (u-v) преобразуются в базовую систему координат (ȳ-z̄). Базовая система имеет начало координат в центре тяжести стенки и также соответствует ориентации глобальной системы координат (Y-Z) на Рисунке 2. Наклон главной оси α составляет 35.5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96.9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15.2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

На втором шаге рассчитываются касательные напряжения в отдельных частях сечения. Для этого соответствующие внутренние усилия (поперечные силы и первичные и вторичные крутящие моменты) сначала распределяются по полкам и стенке (в качестве примера здесь и с уменьшением для нижней полки):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

где I_T,u / I_T описывает долю крутильной жёсткости нижней полки относительно крутильной жёсткости всего поперечного сечения (здесь 37.6%). Затем определяются соответствующие пластические сопротивления (V_pl,y,u и M_pl,xp,u) части сечения и оценивается её использование.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

На третьем шаге проверяются местные изгибающие моменты полок. Частичный внутренний усилие состоит из изгибающего момента M_z̄ и бимомента депланации M_ω̄. Здесь также в качестве примера рассматривается только нижняя полка.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

Расчёт выполняется с пониженным пределом текучести из-за касательных напряжений (см. выше) и с учётом параметра эксцентриситета δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0.99

Наконец, проверяется, могут ли эффективная осевая сила N и изгибающий момент M_ȳ быть восприняты «остаточным» поперечным сечением. Для этого последнего шага закрытого аналитического решения не существует. Вместо этого определяется двумерная область решений и выполняется проверка, находится ли действующее сочетание N-M_ȳ внутри или вне предела (= диаграммы взаимодействия) этой области решений. Предельная кривая описывается для положительного и отрицательного диапазонов моментов с использованием двух линейных и одного параболического уравнения. Разделение по случаям используется для определения, какие участки предельной кривой являются определяющими для расчёта при данной осевой силе. Точные шаги вычисления можно найти в [1] или в подробностях результатов стального расчёта. Полученная предельная кривая с различными участками для примера показана ниже:

Кривая взаимодействия для расчёта центрально-растянутого с изгибом

На Рисунке 3 показаны предельная кривая и сочетание N-M_ȳ, действующее в примере (красный ромб). Сразу видно, что приложенная нагрузка находится в области решений предельной кривой, то есть проверка сечения выполнена. Однако неясно, какова величина оставшейся «истинной» несущей способности сечения; то есть насколько можно было бы увеличить действующее сочетание внутренних усилий до достижения предельного состояния. Из-за нелинейных условий (на шаге 2) пропорциональность между воздействием нагрузки и коэффициентом использования больше не сохраняется. Действительный коэффициент использования, таким образом, может быть определён только итерационно; то есть за несколько расчётных шагов с различными уровнями нагрузки.

2. PIFM без перераспределения

Для сравнения поперечное сечение также рассчитывается с помощью PIFM без перераспределения. Сначала в каждой части сечения определяются упругие нормальные и касательные напряжения в начальной, средней и конечной узловых точках (каждый тонкостенный элемент рассматривается как отдельная часть сечения). Здесь расчёт (как и в стальном расчёте) приведён только для определяющей части сечения (Элемент 5 на Рисунке 2):

Затем пластические частичные внутренние усилия частей сечения (здесь часть сечения i = 5) вычисляются из напряжений с учётом размеров:

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179.6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90.5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Затем проверяется несущая способность части сечения по сдвигу:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

Наконец, выполняется проверка взаимодействия осевой силы и момента. Как и в случае PIFM с перераспределением, сопротивления рассчитываются с пониженным пределом текучести:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23.39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

На основе исходной нагрузки из Таблицы 1 проверка сечения не выполняется. Итерационные расчёты показывают, что проверка едва выполняется, если нагрузка уменьшается до 86%.

3. Проверка упругого сечения

Проверка упругого сечения в Элементе 5 явно превышена, при максимальном коэффициенте использования 129%. Соответствующий максимальный коэффициент нагрузки можно непосредственно получить как обратную величину этого максимального коэффициента использования, то есть 77.5%.

Вывод

Пластический расчёт по методу частичных внутренних усилий (PIFM) позволяет выполнить значительно более экономичное проектирование по сравнению с упругой проверкой поперечного сечения, если это допустимо. В примере можно достичь увеличения предельной нагрузки на 11% (PIFM без перераспределения) или на 25.8% (PIFM с перераспределением).