使用分项内力法进行塑性截面检查

在钢结构中，符合某些准则的截面可按塑性设计。美国规范中，这尤其适用于 AISC 360 所定义的紧凑截面，这类截面能够发展出其全部塑性承载力并具有足够的转动能力。这使得截面内的应力可以通过基材屈服而重新分配。虽然常用美国钢结构设计规范中用于计算塑性截面承载力的公式仅限于某些截面形式及特定的内力组合，或根本未给出，但部分内力法几乎普遍适用。例如，承受轴力、弯矩和扭矩（包括翘曲扭转）的构件也可以通过该方法高效设计。RFEM 6 和 RSTAB 9 用户可在钢结构设计附加模块极限状态设置中的扩展塑性设计规则下使用部分内力法。

承载能力设置中的高级塑性分析

部分内力法（TSV）由德国波鸿鲁尔大学的 Kindmann 和 Frickel 提出，并在 [1] 中有详细说明。程序中实现了两种不同的变体：

1. 带重分配的部分内力法

重分配法适用于 2 板和 3 板截面，其截面板件正交布置，因此涵盖了钢结构中最重要的开口截面形式。程序还实现了矩形和圆形空心截面的附加解，因此可使用该方法设计以下截面类型：

• 双/单/非对称工字形截面
• 槽形 / T 形 / Z 形 / L 形截面
• PI 截面（A 型）
• 双对称矩形（RHS）/方形（SHS）空心及箱形截面
• 圆形空心截面（CHS）

采用带重分配的部分内力法进行塑性设计的步骤如下：

1. 将结构分析得到的内力转换到一个特殊的（ȳ-z̄）参考坐标系中（例如，工字形截面的原点设在腹板中心）
2. 对引起剪应力的内力进行分配和设计（截面层面上的剪力和扭矩）
3. 对垂直于参考截面板件的截面板件中产生局部弯曲的内力进行分配和设计（例如，工字形截面的腹板）。由于前述作用剪应力，屈服强度会降低。
4. 对与参考截面板件平行的截面板件中产生弯曲的内力进行截面的剩余承载力设计——例如，工字形截面的腹板（考虑剪切降低后的屈服强度）加轴力。

请注意，截面承载力设计并不是基于截面的完全塑性状态进行的。相反，在第 4 步中采用分段判断，检查内力是否处于某一范围内并可由截面承受。因此，截面验算所得的设计比通常不与作用成正比，仅用于表明截面验算的通过（设计比小于或等于 1）或不通过（设计比大于 1）。

2. 不带重分配的部分内力法

不带重分配的部分内力法 [1] 一般适用于所有薄壁截面类型。该设计变体的步骤如下：

1. 将截面划分为各组成板件。可定义长宽比的限值。超出该限值的板件将纳入设计。
2. 根据截面板件端部的弹性应力确定各截面板件中的内力。
3. 将确定的内力与该截面板件的塑性极限值进行校核。

因此，部分内力是根据各截面板件中的弹性应力分布计算得到的。塑性应力重分配仅在截面板件内部考虑，而不在不同截面板件之间考虑。尽管如此，与纯弹性设计相比，通常可以获得显著更高效的结果。

为避免输出过多，在钢结构设计中每个设计位置仅显示利用率最高的截面板件的设计结果。

PIFM 截面验算示例

设计示例：不对称工字形截面

该示例也在 [1] 第 10.7.6 节中有描述，并清楚地展示了部分内力法的效率。即使对于非对称截面（此处为 IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [inches]，f_y = 34.8 ksi），在一般应力状态（轴力 + 双向弯曲 + 混合扭转）下，也可以进行塑性截面验算：

原始示例采用公制单位。为便于本文使用，所有数值均直接换算为英制单位，未作四舍五入。

1. 带重分配的 PIFM

由于荷载和截面几何存在轻微偏差，钢结构设计中下翼缘的弯曲设计略有超限，而在 [1] 中则得到 100% 的设计比。为在此处充分说明设计概念，将表 1 中的内力减少 2.5%，并按 97.5% 的荷载系数进行计算。

第一步，将（u-v）主轴坐标系中的内力转换到（ȳ-z̄）参考坐标系。该参考坐标系的原点位于腹板板件的形心处，并且对应于图 2 中全局（Y-Z）坐标系的方向。主轴倾角 α 为 35.5°：

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96.9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15.2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

第二步，对各个截面板件中的剪应力进行设计。为此，首先将相关内力（剪力以及一次和二次扭矩）分配到翼缘板和腹板（此处以并已为下翼缘折减为例）：

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

其中 I_T,u / I_T 表示下翼缘扭转刚度相对于整个截面扭转刚度的比例（此处为 37.6%）。随后，确定该截面板件的相关塑性承载力（V_pl,y,u 和 M_pl,xp,u）并评定利用率。

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

第三步，校核翼缘的局部弯矩。部分内力由弯矩 M_z̄ 和翘曲双矩 M_ω̄ 组成。同样，此处仅以下翼缘为例。

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

设计采用因剪应力而降低的屈服应力（见上），并考虑偏心参数 δ：

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0.99

最后，检查有效轴力 N 和弯矩 M_ȳ 是否可由“剩余”截面承受。对于这最后一步，无法得到封闭的解析解。相反，需要确定一个二维解空间，并检查作用的 N-M_ȳ 组合位于该解空间的界限（即相互作用图）内还是外。对于正、负弯矩范围，界限曲线由两个线性方程和一个抛物线方程描述。通过分类判断可检查在给定轴力下，边界曲线的哪些区段适用于设计。精确的计算步骤可参见 [1] 或钢结构设计结果详情。该示例的不同区段边界曲线如下所示：

轴力-弯曲验算的交互曲线

图 3 显示了边界曲线以及示例中作用的 N-M_ȳ 组合（红色菱形）。可以立即看出，施加的荷载位于边界曲线的解空间内，即截面验算满足要求。然而，尚不清楚截面剩余的“真实”承载能力有多大；也就是说，在达到极限状态之前，所施加的内力组合还可以增加多少。由于第 2 步中的非线性条件，荷载效应与利用率之间不再保持比例关系。因此，实际利用率只能通过迭代确定，即在若干计算步骤中采用不同的荷载水平进行计算。

2. 不带重分配的 PIFM

为便于比较，还采用不带重分配的 PIFM 对该截面进行设计。首先，在每个截面板件中确定初始节点、中间节点和终点处的弹性正应力和剪应力（每个薄壁板件视为一个独立的截面板件）。此处仅对控制截面板件（图 2 中的板件 5）给出计算（与钢结构设计中相同）：

随后，根据应力并考虑尺寸计算截面板件的塑性部分内力：

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179.6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90.5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

然后，对该截面板件的抗剪承载力进行设计：

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

最后，检查轴力-弯矩相互作用。与带重分配的 PIFM 情况一样，承载力按降低后的屈服应力计算：

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23.39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

基于表 1 中的初始荷载，截面验算不满足要求。迭代计算表明，当荷载降低到 86% 时，验算几乎可以满足。

3. 弹性截面验算

在板件 5 中，弹性截面验算明显超限，最大利用率为 129%。相应的最大荷载系数可直接取为该最大利用率的倒数，即 77.5%。

结论

在允许的情况下，按照部分内力法（PIFM）进行塑性设计，与弹性截面验算相比可实现显著更经济的设计。在本示例中，可实现极限荷载提高 11%（不带重分配的 PIFM）或 25.8%（带重分配的 PIFM）。