Verifiche di sezioni plastiche utilizzando il metodo delle forze interne parziali

Nelle strutture in acciaio, le sezioni trasversali che soddisfano determinati criteri possono essere progettate plasticamente. Nella pratica americana, ciò vale in particolare per le sezioni compatte definite in AISC 360, in grado di sviluppare la loro piena resistenza plastica e una sufficiente capacità di rotazione. Ciò consente di ridistribuire le tensioni nella sezione trasversale tramite lo snervamento del materiale di base. Mentre le equazioni fornite nelle norme di progettazione dell’acciaio statunitensi comunemente utilizzate per il calcolo delle capacità plastiche di sezione sono limitate a determinate forme di sezione e a specifiche combinazioni di sollecitazioni interne, oppure non sono affatto fornite, il metodo delle forze interne parziali è applicabile in modo pressoché universale. Ad esempio, anche gli elementi strutturali soggetti ad azione assiale, flessione e torsione, inclusa la torsione con ingobbamento, possono essere progettati in modo efficiente con questo approccio. Il metodo delle forze interne parziali è disponibile per gli utenti di RFEM 6 e RSTAB 9 nelle regole di progettazione plastica estese nelle impostazioni dello stato limite ultimo dell'add-on Steel Design.

Verifiche plastiche avanzate nelle impostazioni della capacità di carico

Il metodo delle forze interne parziali (TSV) è stato sviluppato da Kindmann e Frickel presso la Ruhr-Universität Bochum (Germania) ed è descritto in dettaglio in [1]. Nel programma sono implementate due varianti diverse:

1. Metodo delle Forze Interne Parziali con Ridistribuzione

Il metodo con ridistribuzione è adatto per sezioni trasversali composte da 2 e 3 lamiere con parti di sezione orientate ortogonalmente e copre quindi le più importanti forme di sezione aperte nelle strutture in acciaio. Sono implementate soluzioni aggiuntive per sezioni cave rettangolari e circolari, in modo che con questo metodo possano essere progettati i seguenti tipi di sezione:

• Profili I doppi / singoli / asimmetrici
• Profili a C / T / Z / L
• Profili PI (Tipo A)
• Sezioni cave e scatolari rettangolari doppio-simmetriche (RHS) / quadrate (SHS)
• Sezioni cave circolari (CHS)

La procedura per la progettazione plastica mediante il metodo delle forze interne parziali con ridistribuzione è la seguente:

1. Trasformazione delle forze interne dall'analisi strutturale in un sistema di riferimento speciale (ȳ-z̄) (l'origine per i profili I è posta, ad esempio, nel centro dell'anima)
2. Distribuzione e verifica delle forze interne che generano tensioni tangenziali (forze trasversali e momenti torcenti) a livello di sezione trasversale
3. Distribuzione e verifica delle forze interne che generano flessione locale nelle parti di sezione ortogonali alla parte di sezione di riferimento (ad esempio, un'anima per un profilo I). La tensione di snervamento viene ridotta a causa delle tensioni tangenziali agenti menzionate nel punto precedente.
4. Verifica della capacità portante residua della sezione per le forze interne che causano flessione nelle parti di sezione parallele alla parte di sezione di riferimento, ad esempio un'anima per un profilo I (con tensione di snervamento ridotta a causa del taglio) più azione assiale.

Si noti che la verifica della resistenza della sezione non viene eseguita utilizzando lo stato completamente plastico della sezione. Invece, nel Passo 4, si utilizza una distinzione dei casi per verificare se le forze interne rientrano in un certo intervallo di valori e possono essere assorbite dalla sezione. Il rapporto di verifica risultante del controllo della sezione non è quindi generalmente proporzionale all'azione e fornisce solo informazioni sull'esito positivo (rapporto di verifica minore o uguale a 1) o negativo (rapporto di verifica maggiore di 1) dei controlli della sezione.

2. Metodo delle Forze Interne Parziali Senza Ridistribuzione

Il metodo delle forze interne parziali senza ridistribuzione [1] è generalmente adatto a tutti i tipi di sezioni sottili. La procedura per questa variante di progettazione è la seguente:

1. Suddivisione della sezione nei suoi elementi. Possono essere definiti valori limite per il rapporto tra lunghezza e larghezza. Gli elementi che superano tale limite sono considerati nella verifica.
2. Determinazione delle forze interne in ciascuna parte della sezione, basata sulle tensioni elastiche alle estremità delle parti di sezione.
3. Verifica delle forze interne determinate rispetto ai valori limite plastici della parte di sezione.

Le forze interne parziali vengono quindi calcolate in funzione della distribuzione elastica delle tensioni in ciascuna parte della sezione. Una ridistribuzione plastica delle tensioni viene presa in considerazione solo all'interno delle parti di sezione e non tra di esse. Nonostante ciò, spesso è possibile ottenere risultati significativamente più efficienti rispetto a una progettazione puramente elastica.

Per evitare un output eccessivo, in ogni posizione di verifica nella progettazione in acciaio viene visualizzato solo il risultato di verifica della parte di sezione con il rapporto di utilizzo più elevato.

Esempio di Verifica della Sezione con PIFM

Esempio di verifica: sezione a T

L'esempio fornito è descritto anch'esso in [1] al Capitolo 10.7.6 e mostra chiaramente l'efficienza del metodo delle forze interne parziali. Anche per sezioni asimmetriche (qui IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [pollici], f_y = 34.8 ksi) con sollecitazione generale (forza assiale + doppia flessione + torsione mista), è possibile eseguire una verifica plastica della sezione trasversale:

L'esempio originale è fornito in unità metriche. Ai fini di questo articolo, tutti i valori sono stati convertiti direttamente in unità imperiali senza arrotondamenti.

1. PIFM con Ridistribuzione

In base a lievi differenze nel carico e nella geometria della sezione, la verifica a flessione della flange inferiore risulta leggermente superata nella progettazione in acciaio, mentre in [1], essa produce un rapporto di verifica del 100%. Per spiegare completamente il concetto di progettazione in questo punto, le forze interne della Tabella 1 vengono ridotte del 2,5% e calcolate con un fattore di carico del 97,5%.

Nel primo passo, le forze interne dal sistema di assi principali (u-v) vengono trasformate nel sistema di riferimento (ȳ-z̄). Il sistema di riferimento ha origine nel baricentro della piastra d'anima e corrisponde anche all'orientamento del sistema di coordinate globale (Y-Z) nell'Immagine 2. L'inclinazione dell'asse principale α è pari a 35.5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96.9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15.2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

Nel secondo passo, si verificano le tensioni tangenziali nelle singole parti della sezione. A tal fine, le forze interne rilevanti (forze di taglio e momenti torcenti primari e secondari) vengono prima distribuite sulle flange e sulle piastre d'anima (qui, a titolo di esempio e ridotte per la flange inferiore):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

dove I_T,u / I_T descrive la quota di rigidezza torsionale della flange inferiore rispetto alla rigidezza torsionale dell'intera sezione (qui 37.6%). Successivamente, vengono determinate le resistenze plastiche rilevanti (V_pl,y,u e M_pl,xp,u) della parte di sezione e si valuta l'utilizzazione.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

Nel terzo passo, i momenti flettenti locali delle flange vengono verificati. La forza interna parziale è composta dal momento flettente M_z̄ e dal bimomento di ingobbamento M_ω̄. Anche in questo caso, come esempio, si considera solo la flange inferiore.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

La verifica viene eseguita con una tensione di snervamento ridotta a causa della tensione tangenziale (vedere sopra) e considerando un parametro di eccentricità δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0.99

Infine, si verifica se la forza assiale efficace N e il momento flettente M_ȳ possano essere assorbiti dalla sezione “residua”. Per quest'ultimo passo non è disponibile una soluzione analitica chiusa. Invece, viene determinato uno spazio di soluzione bidimensionale e si verifica se la combinazione agente N-M_ȳ si trovi all'interno o all'esterno del limite (= diagramma di interazione) di questo spazio di soluzione. La curva limite è descritta, per i campi di momento positivi e negativi, mediante due equazioni lineari e una parabolica. La distinzione dei casi viene utilizzata per verificare quali tratti della curva limite siano rilevanti ai fini della progettazione per la forza assiale data. I passaggi di calcolo esatti possono essere trovati in [1] o nei dettagli dei risultati della progettazione in acciaio. La curva limite risultante con le diverse sezioni per l'esempio è mostrata di seguito:

Curva di interazione per Verifica forza assiale-flessione

L'Immagine 3 mostra la curva limite e la combinazione N-M_ȳ agente nell'esempio (rombo rosso). È immediatamente evidente che il carico applicato si trova all'interno dello spazio di soluzione della curva limite, il che significa che la verifica della sezione è soddisfatta. Tuttavia, non è chiaro quanto sia grande la capacità residua “effettiva” della sezione; cioè, di quanto potrebbe aumentare la combinazione di forze interne applicata fino al raggiungimento dello stato limite ultimo. A causa delle condizioni non lineari (nel Passo 2), la proporzionalità tra effetto del carico e rapporto di utilizzo non vale più. Il rapporto di utilizzo effettivo può quindi essere determinato solo iterativamente; cioè, in diversi passaggi di calcolo con livelli di carico variabili.

2. PIFM Senza Ridistribuzione

A fini di confronto, la sezione viene progettata anche mediante il PIFM senza ridistribuzione. Innanzitutto, in ciascuna parte della sezione vengono determinate le tensioni normali e tangenziali elastiche ai nodi iniziale, centrale e finale (ogni elemento a parete sottile è considerato una parte di sezione separata). Qui, il calcolo (come nella progettazione in acciaio) è presentato solo per la parte di sezione governante (Elemento 5 nell'Immagine 2):

Le forze interne parziali plastiche delle parti di sezione (qui, parte di sezione i = 5) vengono quindi calcolate dalle tensioni, tenendo conto delle dimensioni:

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179.6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90.5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Quindi, si verifica la resistenza a taglio della parte di sezione:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

Infine, viene verificata l'interazione forza assiale-momento. Come nel caso del PIFM con ridistribuzione, le resistenze vengono calcolate con una tensione di snervamento ridotta:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23.39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

In base al carico iniziale della Tabella 1, la verifica della sezione non è soddisfatta. I calcoli iterativi indicano che la verifica può essere appena soddisfatta se il carico viene ridotto all'86%.

3. Verifica Elastico della Sezione

La verifica elastica della sezione è chiaramente superata nell'Elemento 5 con un rapporto di utilizzo massimo del 129%. Il corrispondente fattore di carico massimo può essere ottenuto direttamente come reciproco di questo rapporto di utilizzo massimo, ossia il 77.5%.

Conclusione

La progettazione plastica secondo il metodo delle forze interne parziali (PIFM) consente, se ammessa, una progettazione significativamente più economica rispetto alla verifica elastica della sezione. Nell'esempio, è possibile ottenere un aumento del carico limite dell'11% (PIFM senza ridistribuzione) o del 25.8% (PIFM con ridistribuzione).