Verificações de secções plásticas utilizando o método de forças internas parciais

Em estruturas de aço, secções que satisfazem determinados critérios podem ser dimensionadas plasticamente. Na prática americana, isso aplica-se em particular às secções compactas, conforme definidas na AISC 360, que são capazes de desenvolver a sua resistência plástica total e uma capacidade de rotação suficiente. Isso permite que as tensões dentro da secção sejam redistribuídas através do escoamento do material base. Embora as equações fornecidas nas normas de dimensionamento de aço dos EUA comumente utilizadas para o cálculo das resistências plásticas de secção se limitem a formas de secção selecionadas e combinações específicas de esforços internos, ou nem sequer sejam disponibilizadas, o método das forças internas parciais é aplicável de forma quase universal. Por exemplo, elementos estruturais sujeitos a força axial, flexão e torção, incluindo torção com empenamento, também podem ser dimensionados de forma eficiente com esta abordagem. O método das forças internas parciais está disponível aos utilizadores do RFEM 6 e do RSTAB 9 sob as regras alargadas de dimensionamento plástico nas definições do estado limite último do add-on de Dimensionamento de Aço.

Verificações plásticas avançadas nas configurações para estado limite de utilização

O método das forças internas parciais (TSV) foi desenvolvido por Kindmann e Frickel na Ruhr-Universität Bochum (Alemanha) e é descrito em detalhe em [1]. Estão implementadas no programa duas variantes diferentes:

1. Método das Forças Internas Parciais com Redistribuição

O método com redistribuição é adequado para secções de chapa metálica de 2 e 3 partes com partes de secção orientadas ortogonalmente e, assim, abrange as formas de secção aberta mais importantes em estruturas de aço. Foram implementadas soluções adicionais para secções ocas retangulares e circulares, de modo que os seguintes tipos de secção podem ser dimensionados com este método:

• Secções I duplamente simétricas / simples / assimétricas
• Secções U / T / Z / L
• Secções PI (Tipo A)
• Secções ocas e secções-caixa retangulares (RHS) / quadradas (SHS) duplamente simétricas
• Secções ocas circulares (CHS)

O procedimento para o dimensionamento plástico utilizando o método das forças internas parciais com redistribuição é o seguinte:

1. Transformação dos esforços internos da análise estrutural para um sistema de referência especial (ȳ-z̄) (a origem para secções I é definida, por exemplo, no centro da alma)
2. Distribuição e dimensionamento dos esforços internos que causam tensões de corte (forças transversas e momentos torsionais) ao nível da secção
3. Distribuição e dimensionamento dos esforços internos que causam flexão local em partes da secção ortogonais à parte de referência da secção (por exemplo, uma alma para uma secção I). A tensão de cedência é reduzida devido às tensões de corte atuantes referidas no ponto anterior.
4. Dimensionamento da capacidade resistente residual da secção para esforços internos que causam flexão nas partes da secção paralelas à parte de referência da secção — por exemplo, uma alma para uma secção I (com tensão de cedência reduzida devido ao corte) — mais força axial.

Observe-se que o dimensionamento da resistência da secção não é realizado utilizando o estado totalmente plástico da secção. Em vez disso, no Passo 4, é usada uma distinção de casos para verificar se os esforços internos se encontram dentro de uma determinada gama de valores e podem ser absorvidos pela secção. O rácio de dimensionamento resultante da verificação da secção não é, portanto, em geral proporcional à ação e fornece apenas informação sobre o sucesso (rácio de dimensionamento menor ou igual a 1) ou a falha (rácio de dimensionamento maior que 1) das verificações da secção.

2. Método das Forças Internas Parciais sem Redistribuição

O método das forças internas parciais sem redistribuição [1] é, em geral, adequado para todos os tipos de secções de parede fina. O procedimento para esta variante de dimensionamento é o seguinte:

1. Divisão da secção nos seus elementos. Podem ser definidos valores limite para a relação entre comprimento e largura. Os elementos que excedam este limite são considerados no dimensionamento.
2. Determinação das forças internas em cada parte da secção, com base nas tensões elásticas nos extremos das partes da secção.
3. Verificação das forças internas determinadas face aos valores limite plásticos da parte da secção.

As forças internas parciais são, portanto, calculadas em função da distribuição elástica de tensões em cada parte da secção. Uma redistribuição plástica das tensões só é considerada dentro e não entre as partes da secção. Ainda assim, frequentemente podem ser obtidos resultados significativamente mais eficientes em comparação com um dimensionamento puramente elástico.

Para evitar uma saída excessiva, apenas o resultado de dimensionamento da parte da secção com o maior rácio de aproveitamento é apresentado em cada posição de dimensionamento no dimensionamento de aço.

Exemplo de Verificação de Secção com PIFM

Exemplo de dimensionamento: secção em I assimétrica

O exemplo apresentado também é descrito em [1] na Secção 10.7.6 e mostra claramente a eficiência do método das forças internas parciais. Mesmo para secções assimétricas (aqui IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [inches], f_y = 34.8 ksi) com esforço geral (força axial + flexão dupla + torção mista), é possível realizar uma verificação plástica da secção:

O exemplo original é apresentado em unidades métricas. Para efeitos deste artigo, todos os valores foram convertidos diretamente para unidades imperiais sem arredondamento.

1. PIFM com Redistribuição

Com base em pequenas diferenças na carga e na geometria da secção, o dimensionamento à flexão da mesa inferior é ligeiramente excedido no dimensionamento de aço, enquanto em [1] resulta num rácio de dimensionamento de 100%. Para explicar plenamente o conceito de dimensionamento neste ponto, as forças internas da Tabela 1 são reduzidas em 2.5% e calculadas com um fator de carga de 97.5%.

No primeiro passo, as forças internas do sistema de eixos principais (u-v) são transformadas para o sistema de referência (ȳ-z̄). O sistema de referência tem a sua origem no centro de gravidade da chapa da alma e corresponde também à orientação do sistema global de coordenadas (Y-Z) na Imagem 2. A inclinação do eixo principal α é 35.5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96.9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15.2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

No segundo passo, as tensões de corte nas partes separadas da secção são dimensionadas. Para isso, as forças internas relevantes (forças transversais e momentos torsionais primário e secundário) são primeiro distribuídas pelas chapas da mesa e da alma (como exemplo aqui e reduzido para a mesa inferior):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

where I_T,u / I_T describes the proportion of the torsional stiffness of the lower flange relative to the torsional stiffness of the entire cross-section (here 37.6%). Subsequently, the relevant plastic resistances (V_pl,y,u and M_pl,xp,u) of the cross-section part are determined and the utilization is evaluated.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

No terceiro passo, os momentos de flexão locais das mesas são verificados. A força interna parcial é composta pelo momento fletor M_z̄ e pelo bimomento de empenamento M_ω̄. Novamente, apenas a mesa inferior é considerada como exemplo.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

O dimensionamento é realizado com uma tensão de cedência reduzida devido à tensão de corte (ver acima) e considerando um parâmetro de excentricidade δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0.99

Por fim, verifica-se se a força axial efetiva N e o momento fletor M_ȳ podem ser absorvidos pela secção “remanescente”. Não existe uma solução analítica fechada para este último passo. Em vez disso, é determinado um espaço de solução bidimensional e é feita uma verificação para saber se a combinação N-M_ȳ atuante se encontra dentro ou fora do limite (= diagrama de interação) deste espaço de solução. A curva limite é descrita para os intervalos de momentos positivos e negativos usando duas equações lineares e uma equação parabólica. A distinção de casos é utilizada para verificar quais os trechos da curva limite relevantes para o dimensionamento para a força axial dada. Os passos de cálculo exatos podem ser encontrados em [1] ou nos detalhes dos resultados do dimensionamento de aço. A curva limite resultante com as diferentes secções para o exemplo é apresentada a seguir:

Curva de interação para verificação de força axial–flexão

A Imagem 3 mostra a curva limite e a combinação N-M_ȳ atuante no exemplo (losango vermelho). É imediatamente evidente que a carga aplicada se encontra dentro do espaço de solução da curva limite, o que significa que a verificação da secção é satisfeita. No entanto, não é claro quão grande é a capacidade “real” remanescente da secção; isto é, qual o aumento possível da combinação de forças internas aplicada até ser atingido o estado limite último. Devido às condições não lineares (no Passo 2), a proporcionalidade entre o efeito da carga e o rácio de aproveitamento já não se mantém. O rácio de aproveitamento real só pode, portanto, ser determinado iterativamente; isto é, em vários passos de cálculo com níveis de carga variáveis.

2. PIFM sem Redistribuição

Para efeitos de comparação, a secção é também dimensionada utilizando o PIFM sem redistribuição. Primeiro, são determinadas as tensões normais e de corte elásticas nos nós inicial, intermédio e final em cada parte da secção (cada elemento de parede fina é considerado como uma parte separada da secção). Aqui, o cálculo (tal como no dimensionamento de aço) é apresentado apenas para a parte da secção governante (Elemento 5 na Imagem 2):

As forças internas parciais plásticas das partes da secção (aqui, parte da secção i = 5) são então calculadas a partir das tensões, tendo em conta as dimensões:

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179.6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90.5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Depois, é dimensionada a resistência ao corte da parte da secção:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

Por fim, é verificada a interação entre força axial e momento. Tal como no caso do PIFM com redistribuição, as resistências são calculadas com uma tensão de cedência reduzida:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23.39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

Com base na carga inicial da Tabela 1, a verificação da secção não é satisfeita. Cálculos iterativos indicam que a verificação só pode ser satisfeita por pouco se a carga for reduzida para 86%.

3. Verificação Elástica da Secção

A verificação elástica da secção é claramente excedida no Elemento 5, com um rácio de aproveitamento máximo de 129%. O fator de carga máximo correspondente pode ser obtido diretamente como o inverso deste rácio de aproveitamento máximo, ou seja, 77.5%.

Conclusão

O dimensionamento plástico de acordo com o método das forças internas parciais (PIFM) permite um dimensionamento significativamente mais económico em comparação com a verificação elástica da secção, quando permitido. No exemplo, pode ser alcançado um aumento da carga limite de 11% (PIFM sem redistribuição) ou 25.8% (PIFM com redistribuição).