Plastické posouzení průřezu metodou dílčích vnitřních sil

U ocelových konstrukcí mohou být průřezy, které splňují určitá kritéria, navrhovány plasticky. V americké praxi se to týká zejména kompaktních průřezů definovaných v normě AISC 360, které jsou schopny vyvinout plnou plastickou únosnost a dostatečnou rotační kapacitu. To umožňuje přerozdělení napětí v průřezu prostřednictvím tečení základního materiálu. Zatímco rovnice uvedené v běžně používaných amerických návrhových normách pro posouzení ocelových konstrukcí pro výpočet plastické únosnosti průřezů jsou omezeny na vybrané tvary průřezů a specifické kombinace vnitřních sil, nebo nejsou vůbec uvedeny, metoda dílčích vnitřních sil je použitelná téměř univerzálně. Například nosné prvky vystavené normálové síle, ohybu a kroucení, včetně kroucení způsobeného deformací, lze také efektivně navrhovat pomocí tohoto přístupu. Metoda dílčích vnitřních sil je k dispozici uživatelům programů RFEM 6 a RSTAB 9 v rámci rozšířených pravidel plastického návrhu v nastavení mezního stavu únosnosti addonu Posouzení ocelových konstrukcí.

Rozšířené plastické výpočty v nastavení mezního stavu únosnosti

Metoda dílčích vnitřních sil (TSV) byla vyvinuta Kindmannem a Frickelem na Ruhrské univerzitě v Bochumi (Německo) a je podrobně popsána v [1]. V programu jsou implementovány dvě různé varianty:

1. Metoda dílčích vnitřních sil s redistribucí

Metoda redistribuce je vhodná pro průřezy z 2 a 3 kovových plechů s ortogonálně orientovanými částmi průřezu, a zahrnuje tak nejdůležitější tvary otevřených průřezů v ocelových konstrukcích. Pro obdélníkové a kruhové duté průřezy jsou implementována další řešení, takže pomocí této metody lze posuzovat následující typy průřezů:

• Dvojité / jednoduché / nesymetrické I-profily
• U-profily / T-profily / Z-profily / L-profily
• PI-profily (typ A)
• Dvojitě symetrické obdélníkové (RHS) / čtvercové (SHS) duté a uzavřené průřezy
• Kruhové duté průřezy (CHS)

Postup pro plastické posouzení pomocí metody dílčích vnitřních sil s redistribucí je následující:

1. Převod vnitřních sil ze statických výpočtů do speciálního (ȳ-z̄) referenčního systému (původ pro I-profily je nastaven například ve středu stojiny)
2. Průběh vnitřních sil, které způsobují napětí ve smyku (příčné síly a krouticí momenty) na úrovni průřezu
3. Průběh vnitřních sil, které způsobují lokální ohyb v částech průřezu ortogonálních k referenční části průřezu (například stěna pro I-profil). Mez kluzu je snížena v důsledku působících napětí ve smyku zmíněné v předchozím bodu.
4. Posouzení zbytkové únosnosti průřezu pro vnitřní síly, které způsobují ohyb v částech průřezu rovnoběžných s referenční částí průřezu – například stěna pro I-profil (se sníženou mezí prokluzu v důsledku smyku) plus normálová síla.

Upozorňujeme, že posouzení návrhové únosnosti průřezu se neprovádí za použití plně plastického stavu průřezu. Místo toho se v kroku 4 pomocí rozlišení případů kontroluje, zda vnitřní síly leží v určitém rozsahu hodnot a mohou být průřezem absorbovány. Výsledné využití kontroly průřezu proto obecně není úměrné působení a poskytuje pouze informaci o úspěšnosti (využití menší nebo rovno 1) nebo neúčinnosti (využití větší než 1) kontroly průřezu.

2. Metoda dílčích vnitřních sil bez redistribuce

Metoda dílčích vnitřních sil bez redistribuce [1] je obecně vhodná pro všechny typy tenkostěnných průřezů. Postup pro tuto variantu návrhu je následující:

1. Rozdělení průřezu na jeho prvky. Lze zadat mezní hodnoty poměru délky k šířce, nad kterými se má prvek zohlednit při výpočtu.
2. Stanovení vnitřních sil v každé části průřezu na základě elastických napětí na koncích částí průřezu
3. Ověření stanovených vnitřních sil proti mezním plastickým hodnotám části průřezu

Částečné vnitřní síly se proto počítají v závislosti na průběhu napětí v každé části průřezu. Plastické přerozdělení napětí se zohledňuje pouze uvnitř částí průřezu, nikoli mezi nimi. Přesto lze často dosáhnout výrazně efektivnějších výsledků ve srovnání s čistě elastickým návrhem.

Aby se zabránilo předimenzovanému výstupu, zobrazuje se v addonu Posouzení ocelových konstrukcí pouze výsledek posouzení pro část průřezu s nejvyšším využitím v každém návrhovém bodě.

Příklad posouzení průřezu pomocí PIFM

Příklad posouzení: Asymetrický I-profil

Uvedený příklad je popsán také v [1] v kapitole 10.7.6 a jasně ukazuje účinnost metody dílčích vnitřních sil. I u nesymetrických průřezů (zde IU 12,677/0/8,189/9,213/2,913/0,472/0,984/0,748/0/0/0/0 [palce], f_y = 34,8 ksi) s obecným napětím (normálová síla + dvojitý ohyb + smíšené kroucení) je možné provést posouzení plastického průřezu:

Původní příklad je uveden v metrických jednotkách. Pro účely tohoto článku byly všechny hodnoty převedeny přímo na imperiální jednotky bez zaokrouhlování.

1. PIFM s redistribucí

Na základě mírných odchylek v zatížení a geometrii průřezu je v programu Posouzení ocelových konstrukcí mírně překročen ohyb dolní pásnice, zatímco v [1] je výsledkem využití 100 %. Abychom v tomto bodě plně vysvětlili koncepci posouzení, jsou vnitřní síly z tabulky 1 sníženy o 2,5 % a vypočítány se součinitelem zatížení 97,5 %.

V prvním kroku jsou vnitřní síly ze soustavy hlavních os (u-v) převedeny do referenční soustavy (ȳ-z̄). Referenční soustava má svůj počátek v těžišti příložky a odpovídá také orientaci globálního souřadného systému (Y-Z) na obrázku 2. Sklon hlavní osy α je 35,5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96,9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15,2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51 926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146 937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7 623 lb·ft²

Ve druhém kroku jsou navržena smyková napětí v jednotlivých částech průřezu. K tomu jsou příslušné vnitřní síly (příčné síly a primární a sekundární kroucení) nejprve rozděleny na pásnice a webové desky (příklad zde a snížení pro dolní pásnici):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

kde I_T,u / I_T popisuje podíl krouticí tuhosti dolní pásnice vzhledem ke krouticí tuhosti celého průřezu (zde 37.6%). Následně se určují příslušné plastické odolnosti (V_pl,y,u a M_pl,xp,u) části průřezu a vyhodnocuje se využití.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_pl,y,u)²) = 0,64

Ve třetím kroku se ověřují místní ohybové momenty pásnic. Částečná vnitřní síla se skládá z ohybového momentu M_z̄ a plastického bimomentu M_ω̄. Opět se jako příklad uvažuje pouze dolní pásnice.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82 007 lb·ft

Posouzení se provádí se sníženou mezi kluzu v důsledku napětí ve smyku (viz výše) a s ohledem na parametr excentricity δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66 228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0,99

Nakonec se zkontroluje, zda může „zbývající“ průřez absorbovat účinnou normálovou sílu N a ohybový moment M_ȳ. Pro tento poslední krok není k dispozici jednoznačné analytické řešení. Místo toho se určí dvourozměrná oblast řešení a zkontroluje se, zda působící kombinace N-M_ȳ leží uvnitř nebo vně mezní hodnoty (= interakční diagram) této oblasti řešení. Mezní křivka je popsána pro kladný a záporný rozsah momentu pomocí dvou lineárních a jedné parabolické rovnice. Pomocí diferenciace případů se ověřuje, které úseky mezní křivky jsou relevantní pro posouzení pro danou normálovou sílu. Přesné kroky výpočtu lze najít v [1] nebo v detailech výsledků posouzení ocelových konstrukcí. Výsledná mezní křivka s různými částmi pro příklad je zobrazena níže:

Interakční křivka pro posouyení normálové síly a ohybu

Obrázek 3 zobrazuje mezní křivku a kombinaci N-M_ȳ působící v příkladu (červený kosočtverec). Je okamžitě zřejmé, že použité zatížení se nachází v řešení mezní křivky, což znamená, že posouzení průřezu je splněno. Není však jasné, jak velká je zbývající „skutečná“ únosnost průřezu, tj. o kolik by bylo možné zvýšit působící kombinaci vnitřních sil, než by bylo dosaženo mezního stavu únosnosti. Vzhledem k nelineárním podmínkám (v kroku 2) již neplatí proporcionalita mezi účinkem zatížení a koeficientem využití. Skutečný koeficient využití lze proto určit pouze iterativně, tj. v několika výpočetních krocích s různými úrovněmi zatížení.

2. PIFM bez redistribuce

Pro srovnání je průřez posouzen také pomocí PIFM bez redistribuce. Nejprve se určí elastické normálové a napětí ve smyku v počátečním, středním a koncovém uzlu v každé části průřezu (každý tenkostěnný prvek se považuje za samostatnou část průřezu). Zde je výpočet (stejně jako v programu pro posouzení ocelových konstrukcí) uveden pouze pro rozhodující část průřezu (prvek 5 na obrázku 2):

Plastické dílčí vnitřní síly částí průřezu (zde část průřezu i = 5) se poté spočítají z napětí s přihlédnutím k rozměrům:

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179,6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14 031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90,5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Poté se navrhuje smyková únosnost části průřezu:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0,74

Nakonec se zkontroluje interakce normálové síly a momentu. Stejně jako v případě PIFM s redistribucí se únosnost vypočítá se sníženou mezí kluzu:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23,39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1,611

Na základě počátečního zatížení v tabulce 1 není splněna kontrola průřezu. Iterativní výpočty ukazují, že kontrola může být splněna pouze v případě, že zatížení bude sníženo na 86 %.

3. Elastické posouzení průřezu

Posouzení průřezu je v prvku 5 jasně překročeno s maximálním využitím 129 %. Odpovídající maximální součinitel zatížení lze získat přímo jako reciproční hodnotu tohoto maximálního využití, tj. 77,5 %.

Závěr

Plastické posouzení podle metody dílčích vnitřních sil (PIFM) umožňuje výrazně ekonomičtější posouzení ve srovnání s elastickým posouzením průřezu, pokud je to přípustné. V uvedeném příkladu lze dosáhnout zvýšení mezního zatížení o 11 % (PIFM bez redistribuce) nebo 25,8 % (PIFM s redistribucí).