Vérifications plastiques de sections avec la méthode des efforts internes partiels

Dans les structures en acier, les sections qui satisfont certains critères peuvent être dimensionnées plastiquement. Dans la pratique américaine, cela s’applique en particulier aux sections compactes telles que définies dans l’AISC 360, capables de développer leur pleine résistance plastique et une capacité de rotation suffisante. Cela permet de redistribuer les contraintes dans la section par plastification du matériau de base. Alors que les équations fournies dans les normes américaines couramment utilisées pour la construction métallique pour le calcul des capacités plastiques des sections sont limitées à certaines formes de sections et à des combinaisons spécifiques d’efforts internes, ou ne sont pas fournies du tout, la méthode des efforts internes partiels est applicable dans presque tous les cas. Par exemple, les barres soumises à un effort normal, à la flexion et à la torsion, y compris la torsion avec gauchissement, peuvent également être dimensionnées efficacement à l’aide de cette approche. La méthode des efforts internes partiels est disponible pour les utilisateurs de RFEM 6 et RSTAB 9 dans le cadre des règles de dimensionnement plastique étendues dans les paramètres de l’état limite ultime de l’add-on Steel Design.

Vérifications plastiques avancées dans les paramètres de l’ELU

La méthode des efforts internes partiels (TSV) a été développée par Kindmann et Frickel à l’Université de la Ruhr à Bochum (Allemagne) et est décrite en détail dans [1]. Deux variantes différentes sont implémentées dans le programme :

1. Méthode des efforts internes partiels avec redistribution

La méthode de redistribution convient aux sections composées de 2 ou 3 tôles métalliques avec des parties de section orientées orthogonalement et couvre ainsi les formes de sections ouvertes les plus importantes dans les structures en acier. Des solutions supplémentaires sont implémentées pour les sections creuses rectangulaires et circulaires, de sorte que les types de sections suivants peuvent être dimensionnés à l’aide de cette méthode :

• Sections en I doubles / simples / dissymétriques
• Sections en U / T / Z / L
• Sections PI (type A)
• Sections creuses et caissons rectangulaires symétriques doubles (RHS) / carrés (SHS)
• Sections creuses circulaires (CHS)

La procédure de dimensionnement plastique à l’aide de la méthode des efforts internes partiels avec redistribution est la suivante :

1. Transformation des efforts internes issus du calcul de la structure dans un système de référence spécial (ȳ-z̄) (l’origine pour les sections en I est placée, par exemple, au centre de l’âme)
2. Répartition et dimensionnement des efforts internes qui provoquent des contraintes de cisaillement (efforts tranchants et moments de torsion) au niveau de la section
3. Répartition et dimensionnement des efforts internes qui provoquent une flexion locale dans les parties de section orthogonales à la partie de section de référence (par exemple, une âme pour une section en I). La limite d’élasticité est réduite en raison des contraintes de cisaillement agissantes mentionnées au point précédent.
4. Dimensionnement de la capacité portante résiduelle de la section pour les efforts internes qui provoquent la flexion dans les parties de section parallèles à la partie de section de référence — par exemple, une âme pour une section en I (avec limite d’élasticité réduite en raison du cisaillement) — plus l’effort normal.

Veuillez noter que le dimensionnement de la résistance de la section n’est pas effectué en utilisant l’état entièrement plastique de la section. Au lieu de cela, à l’étape 4, une distinction par cas est utilisée pour vérifier si les efforts internes se situent dans une certaine plage de valeurs et peuvent être repris par la section. Le taux de calcul résultant de la vérification de section n’est donc généralement pas proportionnel à l’action et fournit uniquement une information sur la réussite (taux de calcul inférieur ou égal à 1) ou l’échec (taux de calcul supérieur à 1) des vérifications de section.

2. Méthode des efforts internes partiels sans redistribution

La méthode des efforts internes partiels sans redistribution [1] convient en général à tous les types de sections minces. La procédure pour cette variante de dimensionnement est la suivante :

1. Division de la section en ses éléments. Des valeurs limites du rapport longueur/largeur peuvent être définies. Les éléments dépassant cette limite sont pris en compte dans le dimensionnement.
2. Détermination des efforts internes dans chaque partie de section, sur la base des contraintes élastiques aux extrémités des parties de section.
3. Vérification des efforts internes déterminés par rapport aux valeurs limites plastiques de la partie de section.

Les efforts internes partiels sont donc calculés en fonction de la répartition élastique des contraintes dans chaque partie de section. Une redistribution plastique des contraintes n’est prise en compte qu’à l’intérieur des parties de section, et non entre elles. Néanmoins, des résultats nettement plus efficaces peuvent souvent être obtenus par rapport à un dimensionnement purement élastique.

Afin d’éviter une sortie trop volumineuse, seul le résultat de dimensionnement de la partie de section présentant le taux d’utilisation le plus élevé est affiché à chaque position de dimensionnement dans Steel Design.

Exemple de vérification de section avec PIFM

Exemple de Vérification : Section en I asymétrique

L’exemple donné est également décrit dans [1] au chapitre 10.7.6 et montre clairement l’efficacité de la méthode des efforts internes partiels. Même pour des sections dissymétriques (ici IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [pouces], f_y = 34.8 ksi) avec une sollicitation générale (effort normal + flexion double + torsion mixte), il est possible d’effectuer une vérification plastique de la section :

L’exemple original est donné en unités métriques. Aux fins de cet article, toutes les valeurs ont été directement converties en unités impériales sans arrondi.

1. PIFM avec redistribution

Sur la base de légères différences dans la charge et la géométrie de la section, le dimensionnement en flexion de la semelle inférieure est légèrement dépassé dans Steel Design, alors que dans [1], il conduit à un taux de calcul de 100 %. Afin d’expliquer pleinement le concept de dimensionnement à ce stade, les efforts internes du Tableau 1 sont réduits de 2.5 % et calculés avec un coefficient de charge de 97.5 %.

Dans un premier temps, les efforts internes du système d’axes principaux (u-v) sont transformés dans le système de référence (ȳ-z̄). Le système de référence a son origine au centre de gravité de la tôle d’âme et correspond également à l’orientation du système de coordonnées global (Y-Z) dans l’Image 2. L’inclinaison de l’axe principal α est de 35.5° :

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96.9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15.2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

Dans la deuxième étape, les contraintes de cisaillement dans les différentes parties de section sont dimensionnées. Pour ce faire, les efforts internes pertinents (efforts tranchants et moments de torsion primaires et secondaires) sont d’abord répartis entre les semelles et l’âme (à titre d’exemple ici et réduits pour la semelle inférieure) :

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

où I_T,u / I_T décrit la proportion de la rigidité en torsion de la semelle inférieure par rapport à la rigidité en torsion de la section entière (ici 37.6 %). Ensuite, les résistances plastiques pertinentes (V_pl,y,u et M_pl,xp,u) de la partie de section sont déterminées et le taux d’utilisation est évalué.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

Dans la troisième étape, les moments de flexion locaux des semelles sont vérifiés. L’effort interne partiel est composé du moment fléchissant M_z̄ et du bimoment de gauchissement M_ω̄. Là encore, seule la semelle inférieure est considérée à titre d’exemple.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

Le dimensionnement est effectué avec une contrainte de limite d’élasticité réduite en raison de la contrainte de cisaillement (voir ci-dessus) et en tenant compte d’un paramètre d’excentricité δ :

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0.99

Enfin, il est vérifié si l’effort normal effectif N et le moment fléchissant M_ȳ peuvent être repris par la section « restante ». Il n’existe pas de solution analytique fermée pour cette dernière étape. À la place, un espace de solution bidimensionnel est déterminé et il est vérifié si la combinaison N-M_ȳ agissante se situe à l’intérieur ou à l’extérieur de la limite (= diagramme d’interaction) de cet espace de solution. La courbe limite est décrite pour les plages de moments positifs et négatifs à l’aide de deux équations linéaires et d’une équation parabolique. La distinction par cas est utilisée pour vérifier quelles parties de la courbe limite sont pertinentes pour le dimensionnement pour l’effort normal donné. Les étapes de calcul exactes peuvent être trouvées dans [1] ou dans les détails des résultats de Steel Design. La courbe limite résultante avec les différentes sections pour l’exemple est affichée ci-dessous :

Courbe d’interaction pour vérification Effort normal–Moment

L’Image 3 montre la courbe limite et la combinaison N-M_ȳ agissante dans l’exemple (losange rouge). Il est immédiatement apparent que la charge appliquée se situe dans l’espace de solution de la courbe limite, ce qui signifie que la vérification de section est satisfaite. Toutefois, il n’est pas clair quelle est la capacité résiduelle « réelle » de la section ; autrement dit, de quelle augmentation de la combinaison d’efforts internes appliquée serait possible avant d’atteindre l’état limite ultime. En raison des conditions non linéaires (à l’étape 2), la proportionnalité entre l’effet des charges et le taux d’utilisation ne s’applique plus. Le taux d’utilisation réel ne peut donc être déterminé que de manière itérative, c’est-à-dire en plusieurs étapes de calcul avec différents niveaux de charge.

2. PIFM sans redistribution

À des fins de comparaison, la section est également dimensionnée à l’aide du PIFM sans redistribution. Tout d’abord, les contraintes élastiques normales et de cisaillement aux nœuds initial, central et final sont déterminées dans chaque partie de section (chaque élément à paroi mince est considéré comme une partie de section distincte). Ici, le calcul (comme dans Steel Design) n’est présenté que pour la partie de section déterminante (élément 5 dans l’Image 2) :

Les efforts internes partiels plastiques des parties de section (ici, partie de section i = 5) sont ensuite calculés à partir des contraintes, en tenant compte des dimensions :

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179.6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90.5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Ensuite, la résistance au cisaillement de la partie de section est dimensionnée :

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

Enfin, l’interaction effort normal-moment est vérifiée. Comme dans le cas du PIFM avec redistribution, les résistances sont calculées avec une limite d’élasticité réduite :

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23.39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

Sur la base de la charge initiale du Tableau 1, la vérification de section n’est pas satisfaite. Des calculs itératifs indiquent que la vérification peut à peine être satisfaite si la charge est réduite à 86 %.

3. Vérification élastique de section

La vérification élastique de section est clairement dépassée dans l’élément 5 avec un taux d’utilisation maximal de 129 %. Le coefficient de charge maximal correspondant peut être obtenu directement comme l’inverse de ce taux d’utilisation maximal, soit 77.5 %.

Conclusion

Le dimensionnement plastique selon la méthode des efforts internes partiels (PIFM) permet, lorsqu’il est autorisé, un dimensionnement nettement plus économique que la vérification élastique de section. Dans l’exemple, une augmentation de la charge limite de 11 % (PIFM sans redistribution) ou de 25.8 % (PIFM avec redistribution) peut être obtenue.