Vérifications plastiques de sections avec la méthode des efforts internes partiels

Dans les structures en acier, les sections qui satisfont à certains critères peuvent être conçues de manière plastique. Dans les pratiques américaines, cela s'applique en particulier aux sections compactes telles que définies dans l'AISC 360, qui sont capables de développer leur résistance plastique complète et une capacité de rotation suffisante. Cela permet une redistribution des contraintes au sein de la section par le fluage du matériau de base. Bien que les équations fournies dans les normes de conception de l'acier américaines couramment utilisées pour calculer les capacités des sections plastiques soient limitées à des formes de section sélectionnées et à des combinaisons spécifiques de forces internes, ou ne soient pas fournies du tout, la méthode des forces internes partielles est presque universellement applicable. Par exemple, les éléments de structure soumis à des forces axiales, de flexion et de torsion, y compris la torsion avec gauchissement, peuvent également être conçus efficacement en utilisant cette approche. La méthode des forces internes partielles est disponible pour les utilisateurs de RFEM 6 et RSTAB 9 sous les règles de conception plastique étendues dans les paramètres de l'état limite ultime de l'extension Steel Design.

Vérifications plastiques avancées dans les paramètres de l’ELU

La méthode des forces internes partielles (TSV) a été développée par Kindmann et Frickel à l'Université de la Ruhr à Bochum (Allemagne) et est décrite en détail dans [1]. Deux variantes différentes sont implémentées dans le programme :

1. Méthode des Forces Internes Partielles avec Redistribution

La méthode de redistribution est adaptée aux sections en tôle de 2 et 3 métaux avec des parties de section transversale orientées orthogonalement et couvre ainsi les formes de section ouverte les plus importantes dans les structures en acier. Des solutions supplémentaires sont mises en œuvre pour les sections creuses rectangulaires et circulaires, de sorte que les types de section suivants peuvent être conçus en utilisant cette méthode :

• Sections I double /simple / asymétriques
• Sections en U / T / Z / L
• Sections PI (Type A)
• Sections creuses et en boîte rectangulaires (RHS) / carrées (SHS) doublement symétriques
• Sections creuses circulaires (CHS)

La procédure pour la conception plastique en utilisant la méthode des forces internes partielles avec redistribution est la suivante :

1. Transformation des forces internes de l'analyse structurelle dans un système de référence spécial (ȳ-z̄) (l'origine pour les sections I est définie dans le centre de l'âme, par exemple)
2. Distribution et conception des forces internes qui provoquent des contraintes de cisaillement (forces transversales et moments de torsion) au niveau de la section
3. Distribution et conception des forces internes qui provoquent une flexion locale dans les parties de section transversale orthogonales à la partie de référence (par exemple, une âme pour une section I). La limite d'élasticité est réduite en raison des contraintes de cisaillement agissant mentionnées au point précédent.
4. Conception de la capacité résiduelle de la section pour les forces internes provoquant la flexion dans les parties de la section parallèles à la partie de section de référence—par exemple, une âme pour une section I (avec une limite d'élasticité réduite en raison du cisaillement) plus une force axiale.

Veuillez noter que la conception de la résistance de la section transversale ne s'effectue pas à l'aide de l'état totalement plastique de la section. Au lieu de cela, au cours de l’Étape 4, une distinction de cas est utilisée pour vérifier si les forces internes se situent dans une certaine plage de valeurs et peuvent être absorbées par la section. Le rapport de conception résultant du contrôle de la section n'est donc généralement pas proportionnel à l'action et ne fournit que des informations sur le succès (rapport de conception inférieur ou égal à 1) ou l'échec (rapport de conception supérieur à 1) des vérifications de la section.

2. Méthode des Forces Internes Partielles sans Redistribution

La méthode des forces internes partielles sans redistribution [1] est généralement adaptée à tous les types de sections à parois minces. La procédure de cette variante de conception est la suivante :

1. Division de la section en ses éléments. Des valeurs limites pour le rapport longueur-à-largeur peuvent être définies. Les éléments dépassant cette limite sont pris en compte dans la conception.
2. Détermination des forces internes dans chaque partie de section, basée sur les contraintes élastiques aux extrémités des parties de section
3. Vérification des forces internes déterminées par rapport aux valeurs limites plastiques de la partie de section

Les forces internes partielles sont donc calculées en fonction de la distribution des contraintes élastiques dans chaque partie de section. Une redistribution plastique des contraintes n'est prise en compte qu'au sein et non entre les parties de section. Néanmoins, des résultats nettement plus efficaces peuvent souvent être obtenus par rapport à une conception purement élastique.

Pour éviter une sortie excessive, seul le résultat de conception de la partie de section présentant le taux d'utilisation le plus élevé est affiché à chaque emplacement de conception dans Steel Design.

Exemple de Vérification de Section avec la PIFM

Exemple de Vérification : Section en I asymétrique

L'exemple donné est également décrit dans [1] sous la Section 10.7.6 et montre clairement l'efficacité de la méthode des forces internes partielles. Même pour des sections asymétriques (ici IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [pouces], f_y = 34.8 ksi) avec contrainte générale (force axiale + double flexion + torsion mixte), il est possible d'effectuer une vérification de conception plastique de la section :

L'exemple original est donné en unités métriques. Aux fins de cet article, toutes les valeurs ont été converties directement en unités impériales sans arrondi.

1. PIFM avec Redistribution

Sur la base de légères déviations de charge et de géométrie de section, la conception en flexion de la bride inférieure est légèrement dépassée dans Steel Design, tandis que dans [1], elle résulte en un ratio de conception de 100 %. Afin d'expliquer pleinement le concept de conception à ce stade, les forces internes du Tableau 1 sont réduites de 2,5 % et calculées avec un facteur de charge de 97,5 %

Dans la première étape, les forces internes du système d'axe principal (u-v) sont transformées dans le système de référence (ȳ-z̄). Le système de référence a son origine au centre de gravité de la plaque d'âme et correspond également à l'orientation du système de coordonnées global (Y-Z) dans l'Image 2. L'inclinaison de l'axe principal α est de 35.5° :

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96.9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15.2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

Dans la deuxième étape, les contraintes de cisaillement dans les parties séparées de la section transversale sont conçues. Pour ce faire, les forces internes pertinentes (forces de cisaillement et moments de torsion primaire et secondaire) sont d'abord distribuées aux plaques de bride et d'âme (à titre d'exemple et réduit pour la bride inférieure) :

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

où I_T,u / I_T décrit la proportion de la rigidité à la torsion de la bride inférieure par rapport à la rigidité à la torsion de l'ensemble de la section transversale (ici 37.6 %). Ensuite, les résistances plastiques pertinentes (V_pl,y,u et M_pl,xp,u) de la partie de section sont déterminées et l'utilisation est évaluée.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

Dans la troisième étape, les moments de flexion locale des brides sont vérifiés. La force interne partielle est composée du moment de flexion M_z̄ et du moment de gauchissement M_ω̄. Encore une fois, seule la bride inférieure est considérée à titre d'exemple.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

La conception est effectuée avec une contrainte de limite d'élasticité réduite en raison des contraintes de cisaillement (voir ci-dessus) et en considérant un paramètre d'excentricité δ :

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0.99

Enfin, il est vérifié si la force axiale effective N et le moment de flexion M_ȳ peuvent être absorbés par la "section transversale restante". Une solution analytique fermée n'est pas disponible pour cette dernière étape. à la place, un espace de solution à 2 dimensions est déterminé, et une vérification est effectuée pour déterminer si la combinaison N-M_ȳ agissant se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur de la limite (= diagramme d'interaction) de cet espace de solution. La courbe limite est décrite pour les plages de moments positifs et négatifs en utilisant deux équations linéaires et une équation parabolique. La différenciation des cas est utilisée pour vérifier quelles sections de la courbe limite sont pertinentes pour la conception pour la force axiale donnée. Les étapes de calcul exactes peuvent être trouvées dans [1] ou dans les détails des résultats de la conception de l'acier. La courbe limite résultante avec les différentes sections pour l'exemple est affichée dans ce qui suit :

Courbe d’interaction pour vérification Effort normal–Moment

L'image 3 montre la courbe limite et la combinaison N-M_ȳ agissant dans l'exemple (diamant rouge). Il est immédiatement apparent que la charge appliquée se situe dans l'espace de solution de la courbe limite, ce qui signifie que la vérification de la section est remplie. Cependant, il est peu clair combien il reste de "véritable" capacité de la section ; c'est-à-dire quelle augmentation de la combinaison de forces internes appliquées serait possible jusqu'à ce que l'état limite ultime soit atteint. En raison des conditions non linéaires (à l’Étape 2), la proportionnalité entre l'effet de charge et le ratio d'utilisation ne tient plus. Le ratio d'utilisation réel ne peut donc être déterminé qu'itérativement ; c'est-à-dire en plusieurs étapes de calcul avec des niveaux de charge variés.

2. PIFM sans Redistribution

À des fins de comparaison, la section est également conçue en utilisant la PIFM sans redistribution. Tout d'abord, les contraintes normales et de cisaillement élastiques aux nœuds initial, médian et final sont déterminées dans chaque partie de section (chaque élément à parois minces est considéré comme une partie de section distincte). Ici, le calcul (comme dans la conception de l'acier) est seulement présenté pour la partie de section gouvernante (Élément 5 dans l'Image 2) :

Les forces internes partielles plastiques des parties de section (ici, partie de section i = 5) sont ensuite calculées à partir des contraintes, en tenant compte des dimensions :

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179.6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90.5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Ensuite, la capacité de cisaillement de la partie de section est conçue :

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

Enfin, l'interaction force axiale-moment est vérifiée. Comme dans le cas de PIFM avec redistribution, les résistances sont calculées avec une contrainte de limite d'élasticité réduite :

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23.39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

Sur la base de la charge initiale du Tableau 1, la vérification de la section n'est pas remplie. Les calculs itératifs indiquent que la vérification ne peut être remplie que si la charge est réduite à 86%.

3. Vérification élastique de la Section

La vérification élastique de la section est clairement dépassée dans l'Élément 5 avec un taux maximal d'utilisation de 129 %. Le facteur de charge maximal correspondant peut être obtenu directement comme l'inverse de ce taux maximal d'utilisation, soit 77.5%.

Conclusion

La conception plastique selon la méthode des forces internes partielles (PIFM) permet une conception nettement plus économique par rapport à la vérification élastique de la section, si cela est autorisé. Dans l'exemple, une augmentation de charge limite de 11 % (PIFM sans redistribution) ou de 25.8 % (PIFM avec redistribution) peut être atteinte.