Plastische Querschnittsnachweise nach dem Teilschnittgrößenverfahren

Im Stahlbau dürfen Querschnitte, die bestimmte Kriterien erfüllen, plastisch bemessen werden. In der amerikanischen Baupraxis gilt dies insbesondere für kompakte Querschnitte (compact cross-sections) gemäß AISC 360, die in der Lage sind, ihren vollen plastischen Widerstand und eine ausreichende Rotationskapazität zu entwickeln. Dies ermöglicht es, Spannungen innerhalb des Querschnitts durch das Fließen des Grundmaterials umzulagern. Während die Gleichungen in den gängigen US-amerikanischen Stahlbaunormen zur Berechnung plastischer Querschnittstragfähigkeiten auf ausgewählte Querschnittsformen und spezifische Schnittgrößenkombinationen beschränkt oder gar nicht vorhanden sind, ist das Teilschnittgrößenverfahren nahezu universell anwendbar. So lassen sich beispielsweise auch Bauteile, die Beanspruchungen aus Normalkraft, Biegung und Torsion – einschließlich Wölbkrafttorsion – ausgesetzt sind, mit diesem Ansatz effizient bemessen. Das Teilschnittgrößenverfahren steht den Anwendern von RFEM 6 und RSTAB 9 unter den erweiterten plastischen Bemessungsregeln in den Einstellungen für den Tragfähigkeitsnachweis des Add-Ons Stahlbemessung zur Verfügung.

Erweiterte plastische Nachweise in den Tragfähigkeitseinstellungen

Das Teilschnittgrößenverfahren (TSV) wurde von Kindmann und Frickel an der Ruhr-Universität Bochum entwickelt und ist in Literatur [1] ausführlich beschrieben. Im Programm sind zwei verschiedene Varianten implementiert:

1. Teilschnittgrößenverfahren mit Umlagerung

Das Umlagerungsverfahren eignet sich für 2- und 3-Blech-Querschnitte mit orthogonal ausgerichteten Querschnittsteilen und deckt damit die wichtigsten offenen Querschnittsformen im Stahlbau ab. Für Rechteck- und Kreishohlprofile sind zusätzliche Lösungen implementiert, sodass die folgenden Querschnittstypen mit diesem Verfahren bemessen werden können:

• Doppel-, einfach- oder unsymmetrische I-Profile
• U-/T-/Z-/L-Profile
• PI-Profile (Typ A)
• Doppelsymmetrische Rechteck- (RHP) / Quadrat-Hohlprofile (QHP) und Kastenprofile
• Kreishohlprofile (KHP)

Der Ablauf der plastischen Bemessung nach dem Teilschnittgrößenverfahren mit Umlagerung stellt sich wie folgt dar:

1. Transformation der Schnittgrößen aus der Tragwerksanalyse in ein spezielles (ȳ-z̄)-Bezugssystem (der Ursprung wird beispielsweise bei I-Profilen in die Stegmitte gelegt)
2. Verteilung und Bemessung von Schnittgrößen, die Schubspannungen verursachen (Querkräfte und Torsionsmomente), auf Querschnittsebene
3. Verteilung und Bemessung von Schnittgrößen, die eine lokale Biegung in Querschnittsteilen orthogonal zum Bezugs-Querschnittsteil (beispielsweise dem Steg eines I-Profils) verursachen. Aufgrund der im vorherigen Punkt genannten wirkenden Schubspannungen wird die Streckgrenze abgemindert.
4. Bemessung der plastischen Resttragfähigkeit des Querschnitts für Schnittgrößen, die eine Biegung in den Querschnittsteilen parallel zum Bezugs-Querschnittsteil (beispielsweise dem Steg eines I-Profils) verursachen – unter Berücksichtigung der schubspannungsabgeminderten Streckgrenze – zuzüglich der Normalkraft.

Bitte beachten Sie, dass der Querschnittstragfähigkeitsnachweis nicht auf Basis des vollplastischen Zustands des Querschnitts erfolgt. In Schritt 4 wird stattdessen mittels einer Fallunterscheidung geprüft, ob die Schnittgrößen innerhalb eines bestimmten Wertebereichs liegen und vom Querschnitt aufgenommen werden können. Der resultierende Ausnutzungsgrad des Querschnittsnachweises ist daher im Allgemeinen nicht proportional zur Einwirkung. Er gibt lediglich Aufschluss über das Gelingen (Ausnutzungsgrad kleiner oder gleich 1) oder das Versagen (Ausnutzungsgrad größer als 1) des Querschnittsnachweises.

2. Teilschnittgrößenverfahren ohne Umlagerung

Das Teilschnittgrößenverfahren (TSV) ohne Umlagerung eignet sich generell für alle dünnwandigen Querschnittstypen [1]. Der Ablauf für diese Bemessungsvariante stellt sich wie folgt dar:

1. Aufteilung des Querschnitts in seine Elemente. Es können Grenzwerte für das Längen-Breiten-Verhältnis definiert werden. Elemente, die diesen Grenzwert überschreiten, werden bei der Bemessung berücksichtigt.
2. Ermittlung der Schnittgrößen in jedem Querschnittsteil auf Basis der elastischen Spannungen an den Enden der Querschnittsteile.
3. Nachweis der ermittelten Schnittgrößen gegen die plastischen Grenzwerte des Querschnittsteils.

Die Teilschnittgrößen werden daher in Abhängigkeit von der elastischen Spannungsverteilung in jedem Querschnittsteil berechnet. Eine plastische Umlagerung der Spannungen wird nur innerhalb und nicht zwischen den Querschnittsteilen berücksichtigt. Dennoch lassen sich im Vergleich zu einer rein elastischen Bemessung oft deutlich wirtschaftlichere Ergebnisse erzielen.

Um einen übermäßigen Ausgabeumfang zu vermeiden, wird bei der Stahlbemessung an jeder Bemessungsstelle nur das Ergebnis des Querschnittsteils mit dem höchsten Ausnutzungsgrad angezeigt.

Beispiel eines Querschnittsnachweises nach dem Teilschnittgrößenverfahren

Bemessungsbeispiel: Asymmetrisches I-förmiges Profil

Das vorliegende Beispiel ist ebenfalls in Literatur unter Abschnitt 10.7.6 beschrieben und verdeutlicht eindrucksvoll die Wirtschaftlichkeit des Teilschnittgrößenverfahrens. Selbst bei unsymmetrischen Querschnitten (hier IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [Zoll], \(f_{y}\) = 34,8 ksi) mit allgemeinem Spannungszustand (Normalkraft + doppelaxiale Biegung + kombinierte Torsion) ist es möglich, einen plastischen Querschnittsnachweis zu führen:

Das ursprüngliche Beispiel ist in metrischen Einheiten angegeben. Für die Zwecke dieses Artikels wurden alle Werte ohne Rundung direkt in imperiale Einheiten (US-Einheiten) umgerechnet.

1. Teilschnittgrößenverfahren mit Umlagerung

Aufgrund geringfügiger Abweichungen bei der Belastung und der Querschnittsgeometrie wird der Biegenachweis des Unterflansches bei der Stahlbemessung leicht überschritten, während er in Literatur zu einem Ausnutzungsgrad von genau 100 % führt. Um das Bemessungskonzept an dieser Stelle vollständig zu erläutern, werden die Schnittgrößen aus Tabelle 1 um 2,5 % reduziert und mit einem Lastfaktor (Skalierungsfaktor) von 97,5 % berechnet.

Im ersten Schritt werden die Schnittgrößen aus dem (u-v)-Hauptachsensystem in das (ȳ-z̄)-Bezugssystem transformiert. Das Bezugssystem hat seinen Ursprung im Schwerpunkt des Stegblechs und entspricht zudem der Orientierung des globalen (Y-Z)-Koordinatensystems in Abbildung 2. Neigungswinkel der Hauptachsen \(\alpha \) beträgt 35,5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96.9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15.2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

Im zweiten Schritt werden die Schubspannungen in den einzelnen Querschnittsteilen bemessen. Hierzu werden die maßgebenden Schnittgrößen (Querkräfte sowie primäre und sekundäre Torsionsmomente) zunächst auf die Flansch- und Stegbleche verteilt (hier beispielhaft und abgemindert für den Unterflansch):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

wobei I_T,u / I_T den Anteil der Torsionssteifigkeit des Unterflansches im Verhältnis zur Torsionssteifigkeit des Gesamtauerschnitts beschreibt (hier 37,6 %). Anschließend werden die maßgebenden plastischen Tragfähigkeiten (V_pl,y,u und M_pl,xp,u) des Querschnittsteils ermittelt und die Ausnutzung ausgewertet.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

Im dritten Schritt werden die lokalen Biegemomente der Flansche nachgewiesen. Die Teilschnittgröße setzt sich aus dem Biegemoment M_z̄ und dem Wölbbimoment M_ω̄ zusammen. Auch hier wird beispielhaft nur der Unterflansch betrachtet.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

Die Bemessung erfolgt mit einer aufgrund von Schubspannungen abgeminderten Streckgrenze (siehe oben) und unter Berücksichtigung eines Exzentrizitätsparameters δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0.99

Abschließend wird geprüft, ob die wirkende Normalkraft N und das Biegemoment M_({y}) vom verbleibenden Querschnitt aufgenommen werden können. Für diesen letzten Schritt ist keine geschlossene analytische Lösung verfügbar. Stattdessen wird ein zweidimensionaler Lösungsraum ermittelt und geprüft, ob die wirkende N-M_ȳ-Kombination innerhalb oder außerhalb der Grenze (= Interaktionsdiagramm) dieses Lösungsraums liegt. Die Grenzlinie wird für den positiven und negativen Momentenbereich mithilfe von zwei linearen und einer parabolischen Gleichung beschrieben. Mittels einer Fallunterscheidung wird geprüft, welche Abschnitte der Grenzlinie für die Bemessung bei der gegebenen Normalkraft maßgebend sind. Die exakten Berechnungsschritte können der Literatur [1] oder den Ergebnisdetails der Stahlbemessung entnommen werden. Die resultierende Grenzlinie mit den verschiedenen Abschnitten für das Beispiel ist im Folgenden dargestellt:

Interaktionskurve für den Normalkraft-Biegungs-Nachweis

In Abbildung 3 ist die Grenzlinie dargestellt, ebenso die im Beispiel wirkende N-M_ȳ-Kombination (rote Raute). Es ist sofort ersichtlich, dass die aufgebrachte Last innerhalb des Lösungsraums der Grenzlinie liegt. Das bedeutet, dass der Querschnittsnachweis erfüllt ist. Unklar bleibt jedoch, wie groß die verbleibende "tatsächliche" Tragfähigkeit des Querschnitts ist, d. h., um wie viel die einwirkende Schnittgrößenkombination gesteigert werden könnte, bis der Grenzzustand der Tragfähigkeit erreicht wäre. Aufgrund der nichtlinearen Bedingungen (Schritt 2) gilt die Proportionalität zwischen Lasteinwirkung und Ausnutzungsgrad nicht mehr. Der tatsächliche Ausnutzungsgrad kann daher nur iterativ, das heißt in mehreren Berechnungsschritten mit variierenden Laststufen, ermittelt werden.

2. Teilschnittgrößenverfahren ohne Umlagerung

Zu Vergleichszwecken wird der Querschnitt auch nach dem Teilschnittgrößenverfahren ohne Umlagerung bemessen. Zunächst werden die elastischen Normal- und Schubspannungen am Anfangs-, Mittel- und Endknoten in jedem Querschnittsteil ermittelt (jedes dünnwandige Element wird als separater Querschnittsteil betrachtet). Hier wird die Berechnung (wie auch bei der Stahlbemessung) nur für den maßgebenden Querschnittsteil (Element 5 in Abbildung 2) dargestellt:

Aus den Spannungen werden anschließend unter Berücksichtigung der Abmessungen die plastischen Teilschnittgrößen der Querschnittsteile (hier Querschnittsteil i = 5) berechnet:

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179.6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90.5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Anschließend wird die Schubtragfähigkeit des Querschnittsteils nachgewiesen:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

Abschließend wird die Interaktion aus Normalkraft und Biegemoment überprüft. Wie beim Teilschnittgrößenverfahren mit Umlagerung werden die Tragfähigkeiten (Widerstände) mit einer abgeminderten Streckgrenze berechnet:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23.39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

Aufgrund der ursprünglichen Belastung aus Tabelle 1 ist der Querschnittsnachweis nicht erfüllt. Iterative Berechnungen zeigen, dass der Nachweis gerade noch erfüllt werden kann, wenn die Last auf 86 % reduziert wird.

3. Elastischer Querschnittsnachweis

Der elastische Querschnittsnachweis wird in Element 5 mit einem maximalen Ausnutzungsgrad von 129 % deutlich überschritten. Der zugehörige maximale Lastfaktor lässt sich direkt als Kehrwert dieses maximalen Ausnutzungsgrades ermitteln, was 77,5 % entspricht.

Fazit

Die plastische Bemessung nach dem Teilschnittgrößenverfahren ermöglicht eine deutlich wirtschaftlichere Auslegung als der elastische Querschnittsnachweis – sofern zulässig. Im vorliegenden Beispiel kann eine Steigerung der Grenzlast um 11 % (Teilschnittgrößenverfahren ohne Umlagerung) bzw. 25,8 % (Teilschnittgrößenverfahren mit Umlagerung) erreicht werden.