Plastische Querschnittsnachweise nach dem Teilschnittgrößenverfahren

In Stahlkonstruktionen dürfen Querschnitte, die bestimmte Kriterien erfüllen, plastisch bemessen werden. In der amerikanischen Praxis gilt dies insbesondere für kompakte Querschnitte gemäß AISC 360, die in der Lage sind, ihren vollen plastischen Widerstand und eine ausreichende Rotationskapazität zu entwickeln. Dies ermöglicht eine Umlagerung der Spannungen innerhalb des Querschnitts durch Fließen des Grundmaterials. Während die in den gängigen US-Stahlbaunormen enthaltenen Gleichungen zur Berechnung plastischer Querschnittswiderstände auf ausgewählte Querschnittsformen und spezifische Schnittgrößenkombinationen beschränkt sind oder gar nicht erst bereitgestellt werden, ist das Teilschnittgrößenverfahren nahezu universell anwendbar. So können beispielsweise Bauteile unter Normalkraft, Biegung und Torsion, einschließlich Wölbkrafttorsion, mit diesem Ansatz effizient bemessen werden. Das Teilschnittgrößenverfahren steht den Anwendern von RFEM 6 und RSTAB 9 im Rahmen der erweiterten plastischen Bemessungsregeln in den Einstellungen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit des Add-Ons Stahlbemessung zur Verfügung.

Erweiterte plastische Nachweise in den Tragfähigkeitseinstellungen

Das Teilschnittgrößenverfahren (TSV) wurde von Kindmann und Frickel an der Ruhr-Universität Bochum (Deutschland) entwickelt und ist in [1] ausführlich beschrieben. Im Programm sind zwei verschiedene Varianten implementiert:

1. Teilschnittgrößenverfahren mit Spannungsumlagerung

Das Umlagerungsverfahren eignet sich für 2- und 3-Blech-Querschnitte mit orthogonal ausgerichteten Querschnittsteilen und deckt damit die wichtigsten offenen Querschnittsformen im Stahlbau ab. Zusätzliche Lösungen sind für Rechteck- und Kreishohlprofile implementiert, sodass die folgenden Querschnittstypen mit diesem Verfahren bemessen werden können:

• Doppel- / einfach- / unsymmetrische I-Profile
• U- / T- / Z- / L-Profile (Winkelprofile)
• PI-Profile (Typ A)
• Doppelsymmetrische Rechteck- (RRH) / quadratische (QRH) Hohl- und Kastenprofile
• Rundhohlprofile (Rohrprofile)

Der Ablauf für die plastische Bemessung nach dem Teilschnittgrößenverfahren mit Spannungsumlagerung ist wie folgt:

1. Transformation der Schnittgrößen aus der statischen Analyse in ein spezielles (ȳ-z̄)-Bezugssystem (der Ursprung wird bei I-Profilen beispielsweise in die Stegmitte gelegt)
2. Aufteilung und Bemessung von Schnittgrößen, die Schubspannungen verursachen (Querkräfte und Torsionsmomente), auf Querschnittsebene
3. Aufteilung und Bemessung von Schnittgrößen, die lokale Biegung in Querschnittsteilen senkrecht zum Bezugsquerschnittsteil verursachen (beispielsweise der Steg eines I-Profils). Die Streckgrenze wird aufgrund der im vorherigen Punkt genannten wirkenden Schubspannungen abgemindert.
4. Bemessung der Resttragfähigkeit des Querschnitts für Schnittgrößen, die Biegung in den Querschnittsteilen parallel zum Bezugsquerschnittsteil verursachen – beispielsweise der Steg eines I-Profils (mit reduzierter Streckgrenze infolge Schub) zuzüglich der Normalkraft.

Bitte beachten Sie, dass der Querschnittsnachweis nicht auf Grundlage des vollplastischen Zustands des Querschnitts durchgeführt wird. Stattdessen wird in Schritt 4 mittels einer Fallunterscheidung geprüft, ob die Schnittgrößen innerhalb eines bestimmten Wertebereichs liegen und vom Querschnitt aufgenommen werden können. Die resultierende Ausnutzung des Querschnittsnachweises ist daher im Allgemeinen nicht proportional zur Einwirkung und gibt lediglich Aufschluss über Erfolg (Ausnutzungsgrad kleiner oder gleich 1) oder Versagen (Ausnutzungsgrad größer als 1) des Querschnittsnachweises.

2. Teilschnittgrößenverfahren ohne Spannungsumlagerung

Das Teilschnittgrößenverfahren ohne Spannungsumlagerung ist grundsätzlich für alle dünnwandigen Querschnittstypen geeignet. Der Ablauf für diese Bemessungsvariante ist wie folgt:

1. Aufteilung des Querschnitts in seine Elemente. Grenzwerte für das Längen-Breiten-Verhältnis können definiert werden. Elemente, die diesen Grenzwert überschreiten, werden bei der Bemessung berücksichtigt.
2. Ermittlung der Teilquerschnittsgrößen in jedem Querschnittsteil auf Grundlage der elastischen Spannungen an den Enden der Querschnittsteile
3. Überprüfung der ermittelten Teilquerschnittsgrößen gegen die plastischen Grenzwerte der Querschnittsteile

Die Teilschnittgrößen werden daher in Abhängigkeit von der elastischen Spannungsverteilung in jedem Querschnittsteil berechnet. Eine plastische Spannungsumlagerung wird nur innerhalb der einzelnen Querschnittsteile berücksichtigt, nicht jedoch zwischen ihnen. Dennoch lassen sich im Vergleich zu einer rein elastischen Bemessung oft deutlich effizientere Ergebnisse erzielen.

Um eine übermäßige Ausgabe zu vermeiden, wird an jeder Bemessungsstelle in der Stahlbemessung nur das Bemessungsergebnis des Querschnittsteils mit dem höchsten Ausnutzungsgrad angezeigt.

Beispiel einer Querschnittsprüfung mit PIFM

Bemessungsbeispiel: Asymmetrisches I-förmiges Profil

Das angegebene Beispiel wird ebenfalls in [1] unter Abschnitt 10.7.6 beschrieben und verdeutlicht die Effizienz des Teilschnittgrößenverfahrens. Selbst für unsymmetrische Querschnitte (hier IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [inches], f_y = 34.8 ksi) unter allgemeiner Beanspruchung (Normalkraft + doppelte Biegung + kombinierte Torsion) ist es möglich, einen plastischen Querschnittsnachweis durchzuführen:

Das ursprüngliche Beispiel ist in metrischen Einheiten angegeben. Für diesen Artikel wurden alle Werte direkt und ohne Rundung in angloamerikanische Einheiten (Imperial Units) umgerechnet.

1. Teilschnittgrößenverfahren (TSV) mit Spannungsumlagerung

Aufgrund geringfügiger Abweichungen bei der Belastung und der Querschnittsgeometrie wird der Biegenachweis des Unterflansches in Stahlbemessung leicht überschritten, während dieser in [1] zu einem Ausnutzungsgrad von genau 100 % führt. Um das Bemessungskonzept an dieser Stelle vollständig zu erläutern, werden die Schnittgrößen aus Tabelle 1 um 2,5 % reduziert und mit einem Lastfaktor von 97,5 % berechnet.

Im ersten Schritt werden die Schnittgrößen aus dem (u-v)-Hauptachsensystem in das (ȳ-z̄)-Bezugssystem transformiert. Das Bezugssystem hat seinen Ursprung im Schwerpunkt des Stegblechs und entspricht zudem der Orientierung des globalen (Y-Z)-Koordinatensystems in Bild 2. Die Hauptachsenneigung α beträgt 35,5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96,9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15,2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

Im zweiten Schritt erfolgt die Bemessung der Schubspannungen in den einzelnen Querschnittsteilen. Hierzu werden die relevanten Schnittgrößen (Querkräfte sowie primäre und sekundäre Torsionsmomente) zunächst auf die Flansch- und Stegbleche aufgeteilt (hier beispielhaft und reduziert für den Unterflansch dargestellt):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101,7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

wobei I_T,u / I_T den Anteil der Torsionssteifigkeit des unteren Flansches relativ zur Torsionssteifigkeit des gesamten Querschnitts beschreibt (hier 37,6%). Anschließend werden die relevanten plastischen Widerstände (V_pl,y,u und M_pl,xp,u) des Querschnittsteils bestimmt und die Nutzung bewertet.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0,64

Im dritten Schritt werden die lokalen Biegemomente der Flansche nachgewiesen. Die Teilschnittgröße setzt sich aus dem Biegemoment M_z̄ und dem Wölbkrafttorsionsmoment M_ω̄ zusammen. Auch hier wird beispielhaft nur der Unterflansch betrachtet.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

Die Bemessung erfolgt mit einer abgeminderten Streckgrenze infolge von Schubspannungen (siehe oben) und unter Berücksichtigung eines Exzentrizitätsparameters δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0,99

Abschließend wird geprüft, ob die vorhandene Normalkraft N und das Biegemoment M_ȳ

1. vom "verbleibenden" Querschnitt aufgenommen werden können. Für diesen letzten Schritt ist keine geschlossene analytische Lösung verfügbar. Stattdessen wird ein zweidimensionaler Lösungsraum ermittelt und geprüft, ob die wirkende N-M_ȳ-Kombination innerhalb oder außerhalb der Grenze (= Interaktionsdiagramm) dieses Lösungsraums liegt. Die Grenzkurve wird für den positiven und negativen Momentenbereich durch zwei lineare und eine parabolische Gleichung beschrieben. Mittels Fallunterscheidung wird geprüft, welche Abschnitte der Grenzkurve für die gegebene Normalkraft bemessungsrelevant sind. Die genauen Berechnungsschritte sind in [1] oder in den Ergebnisdetails der Stahlbemessung zu finden. Die resultierende Grenzkurve mit den verschiedenen Abschnitten für das Beispiel wird im Folgenden dargestellt:

Interaktionskurve für den Normalkraft-Biegungs-Nachweis

Bild 3 zeigt die Grenzkurve und die im Beispiel wirkende N-M_ȳ-Kombination (rote Raute). Es ist sofort ersichtlich, dass die aufgebrachte Last innerhalb des Lösungsraums der Grenzkurve liegt, was bedeutet, dass der Querschnittsnachweis erfüllt ist. Es bleibt jedoch unklar, wie groß die verbleibende „wahre“ Tragfähigkeit des Querschnitts ist; also welche Steigerung der einwirkenden Schnittgrößenkombination bis zum Erreichen des Grenzzustands der Tragfähigkeit möglich wäre. Aufgrund der nichtlinearen Bedingungen (in Schritt 2) gilt die Proportionalität zwischen Lasteinwirkung und Ausnutzungsgrad nicht mehr. Der tatsächliche Ausnutzungsgrad kann daher nur iterativ ermittelt werden; das heißt, in mehreren Berechnungsschritten mit variierenden Lastniveaus.

2. Teilschnittgrößenverfahren ohne Spannungsumlagerung

Zu Vergleichszwecken wird der Querschnitt auch nach dem TSV ohne Spannungsumlagerung bemessen. Zunächst werden die elastischen Normal- und Schubspannungen an den Anfangs-, Mittel- und Endknoten in jedem Querschnittsteil ermittelt (jedes dünnwandige Element wird dabei als eigenständiger Querschnittsteil betrachtet). Hier wird die Berechnung (wie in der Stahlbemessung) nur für den maßgebenden Querschnittsteil (Element 5 in Bild 2) dargestellt:

Aus den Spannungen werden anschließend unter Berücksichtigung der Abmessungen die plastischen Teilschnittgrößen der Querschnittsteile (hier Querschnittsteil i = 5) berechnet:

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179,6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90,5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Anschließend erfolgt die Bemessung der Schubtragfähigkeit des Querschnittsteils:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0,74

Abschließend wird die Normalkraft-Moment-Interaktion geprüft. Wie beim TSV mit Spannungsumlagerung werden die Widerstände mit einer abgeminderten Streckgrenze berechnet:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23,39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1,611

Auf Grundlage der ursprünglichen Belastung in Tabelle 1 ist der Querschnittsnachweis nicht erfüllt. Iterative Berechnungen zeigen, dass der Nachweis gerade noch erfüllt werden kann, wenn die Last auf 86 % reduziert wird.

3. Elastischer Querschnittsnachweis

Der elastische Querschnittsnachweis wird in Element 5 mit einem maximalen Ausnutzungsgrad von 129 % deutlich überschritten. Der zugehörige maximale Lastfaktor ergibt sich direkt als Kehrwert dieses maximalen Ausnutzungsgrades, d. h. zu 77,5 %.

Fazit

Die plastische Bemessung nach dem Teilschnittgrößenverfahren (TSV) ermöglicht – sofern zulässig – eine deutlich wirtschaftlichere Bemessung im Vergleich zum elastischen Querschnittsnachweis. Im Beispiel kann eine Steigerung der Grenzlast um 11 % (TSV ohne Spannungsumlagerung) bzw. 25,8 % (TSV mit Spannungsumlagerung) erreicht werden.