Kontrola przekrojów plastycznych metodą częściowych sił wewnętrznych

W konstrukcjach stalowych przekroje spełniające określone kryteria mogą być projektowane plastycznie. W praktyce amerykańskiej dotyczy to w szczególności przekrojów kompaktowych, zgodnie z AISC 360, które są zdolne do osiągnięcia pełnej nośności plastycznej oraz wystarczającej zdolności obrotowej. Umożliwia to redystrybucję naprężeń w przekroju poprzez uplastycznienie materiału podstawowego. Podczas gdy równania podane w powszechnie stosowanych amerykańskich normach projektowania stali do obliczania plastycznych nośności przekrojów są ograniczone do wybranych kształtów przekrojów oraz określonych kombinacji sił wewnętrznych albo w ogóle nie są podane, metoda częściowych sił wewnętrznych ma niemal uniwersalne zastosowanie. Na przykład elementy konstrukcyjne poddane działaniu siły osiowej, zginania i skręcania, w tym skręcania z wygięciem, można również efektywnie projektować z użyciem tego podejścia. Metoda częściowych sił wewnętrznych jest dostępna dla użytkowników RFEM 6 i RSTAB 9 w ramach rozszerzonych zasad projektowania plastycznego w ustawieniach stanu granicznego nośności dodatku Steel Design.

Rozszerzone analizy plastyczne w ustawieniach stanu granicznego nośności

Metoda częściowych sił wewnętrznych (TSV) została opracowana przez Kindmanna i Frickela na Uniwersytecie Ruhry w Bochum (Niemcy) i jest szczegółowo opisana w [1]. W programie zaimplementowano dwa różne warianty:

1. Metoda częściowych sił wewnętrznych z redystrybucją

Metoda z redystrybucją jest odpowiednia dla przekrojów 2- i 3-blaszanych o ortogonalnie zorientowanych częściach przekroju i obejmuje tym samym najważniejsze otwarte kształty przekrojów w konstrukcjach stalowych. Dodatkowe rozwiązania zaimplementowano dla prostokątnych i okrągłych przekrojów zamkniętych, tak że za pomocą tej metody można projektować następujące typy przekrojów:

• Przekroje dwuteowe / jednosymetryczne / niesymetryczne
• Przekroje ceowe / teowe / zetowe / kątowniki
• Przekroje PI (typ A)
• Dwusymetryczne prostokątne (RHS) / kwadratowe (SHS) przekroje zamknięte i skrzynkowe
• Okrągłe przekroje zamknięte (CHS)

Procedura projektowania plastycznego z zastosowaniem metody częściowych sił wewnętrznych z redystrybucją przebiega następująco:

1. Przekształcenie sił wewnętrznych z analizy konstrukcji do specjalnego układu odniesienia (ȳ-z̄) (dla przekrojów I początek układu przyjmuje się np. w środku środnika)
2. Rozdział i projektowanie sił wewnętrznych wywołujących naprężenia ścinające (siły poprzeczne i momenty skręcające) na poziomie przekroju
3. Rozdział i projektowanie sił wewnętrznych wywołujących lokalne zginanie w częściach przekroju prostopadłych do referencyjnej części przekroju (na przykład środnik dla przekroju I). Granica plastyczności jest redukowana na skutek działających naprężeń ścinających, o których mowa w poprzednim punkcie.
4. Projektowanie rezerwowej nośności przekroju dla sił wewnętrznych wywołujących zginanie w częściach przekroju równoległych do referencyjnej części przekroju — na przykład środnik dla przekroju I (zredukowana granica plastyczności na skutek ścinania) oraz siła osiowa.

Należy zwrócić uwagę, że projektowanie nośności przekroju nie jest wykonywane z wykorzystaniem w pełni plastycznego stanu przekroju. Zamiast tego w kroku 4 stosuje się rozróżnienie przypadków, aby sprawdzić, czy siły wewnętrzne mieszczą się w określonym zakresie wartości i mogą być przeniesione przez przekrój. W rezultacie współczynnik wykorzystania z tego sprawdzenia przekroju zasadniczo nie jest proporcjonalny do obciążenia i dostarcza jedynie informacji o spełnieniu warunku (współczynnik wykorzystania mniejszy lub równy 1) albo niespełnieniu (współczynnik wykorzystania większy od 1) sprawdzenia przekroju.

2. Metoda częściowych sił wewnętrznych bez redystrybucji

Metoda częściowych sił wewnętrznych bez redystrybucji [1] jest zasadniczo odpowiednia dla wszystkich cienkościennych typów przekrojów. Procedura dla tego wariantu projektowania jest następująca:

1. Podział przekroju na jego elementy. Można zdefiniować wartości graniczne stosunku długości do szerokości. Elementy przekraczające tę granicę są uwzględniane w projektowaniu.
2. Wyznaczenie sił wewnętrznych w każdej części przekroju, na podstawie sprężystych naprężeń na końcach części przekroju.
3. Sprawdzenie wyznaczonych sił wewnętrznych względem plastycznych wartości granicznych danej części przekroju.

Częściowe siły wewnętrzne są zatem obliczane w zależności od sprężystego rozkładu naprężeń w każdej części przekroju. Plastyczna redystrybucja naprężeń jest uwzględniana jedynie wewnątrz części przekroju, a nie pomiędzy nimi. Niemniej jednak często można uzyskać znacznie bardziej efektywne wyniki w porównaniu z projektowaniem czysto sprężystym.

Aby uniknąć nadmiernej ilości wyników, w każdym miejscu projektowym w module steel design wyświetlany jest tylko wynik sprawdzenia części przekroju o najwyższym stopniu wykorzystania.

Przykład sprawdzenia przekroju metodą PIFM

Przykład obliczeń: Asymetryczny przekrój dwuteowy

Podany przykład jest również opisany w [1] w sekcji 10.7.6 i wyraźnie pokazuje skuteczność metody częściowych sił wewnętrznych. Nawet dla niesymetrycznych przekrojów (tutaj IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [cale], f_y = 34.8 ksi) przy ogólnym stanie naprężenia (siła osiowa + podwójne zginanie + skręcanie mieszane) możliwe jest wykonanie plastycznego sprawdzenia przekroju:

Oryginalny przykład podano w jednostkach metrycznych. Na potrzeby tego artykułu wszystkie wartości przeliczono bezpośrednio na jednostki imperialne bez zaokrąglania.

1. PIFM z redystrybucją

Na podstawie niewielkich odchyleń w obciążeniu i geometrii przekroju projekt zginania dolnego pasa w module steel design jest nieznacznie przekroczony, podczas gdy w [1] daje to współczynnik wykorzystania równy 100%. Aby w tym miejscu w pełni wyjaśnić koncepcję projektową, siły wewnętrzne z Tabeli 1 zostają zredukowane o 2.5% i obliczone z współczynnikiem obciążenia 97.5%.

W pierwszym kroku siły wewnętrzne z układu osi głównych (u-v) są przekształcane do układu odniesienia (ȳ-z̄). Układ odniesienia ma początek w środku ciężkości blachy środnika i odpowiada również orientacji globalnego układu współrzędnych (Y-Z) na Rysunku 2. Kąt nachylenia osi głównych α wynosi 35.5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96.9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15.2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

W drugim kroku sprawdzane są naprężenia ścinające w poszczególnych częściach przekroju. W tym celu odpowiednie siły wewnętrzne (siły poprzeczne oraz główne i drugorzędne momenty skręcające) są najpierw rozdzielane na blachy pasa i środnika (jako przykład tutaj i zredukowane dla dolnego pasa):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

gdzie I_T,u / I_T opisuje udział sztywności skrętnej dolnego pasa względem sztywności skrętnej całego przekroju (tutaj 37.6%). Następnie wyznaczane są odpowiednie odporności plastyczne (V_pl,y,u i M_pl,xp,u) części przekroju, a wykorzystanie jest oceniane.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

W trzecim kroku sprawdzane są lokalne momenty zginające pasów. Częściowa siła wewnętrzna składa się z momentu zginającego M_z̄ oraz bimomentu zwichrzeniowego M_ω̄. Ponownie jako przykład rozpatrywany jest tylko dolny pas.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

Projektowanie jest wykonywane ze zredukowaną granicą plastyczności ze względu na naprężenia ścinające (patrz wyżej) oraz z uwzględnieniem parametru mimośrodu δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0.99

Na końcu sprawdza się, czy efektywna siła osiowa N oraz moment zginający M_ȳ mogą zostać przeniesione przez „pozostały” przekrój. Dla tego ostatniego kroku nie jest dostępne zamknięte rozwiązanie analityczne. Zamiast tego wyznacza się dwuwymiarową przestrzeń rozwiązań i sprawdza, czy działająca kombinacja N-M_ȳ leży wewnątrz lub poza granicą (= wykresem interakcji) tej przestrzeni rozwiązań. Krzywa graniczna jest opisana dla dodatnich i ujemnych zakresów momentu za pomocą dwóch równań liniowych i jednego równania parabolicznego. Rozróżnienie przypadków służy do sprawdzenia, które odcinki krzywej granicznej są istotne do projektowania dla danej siły osiowej. Dokładne etapy obliczeń można znaleźć w [1] lub w szczegółach wyników projektu stalowego. Wynikowa krzywa graniczna z różnymi odcinkami dla tego przykładu jest przedstawiona poniżej:

Krzywa interakcji dla sprawdzenia siły osiowej i zginania

Rysunek 3 przedstawia krzywą graniczną oraz działającą w przykładzie kombinację N-M_ȳ (czerwony romb). Natychmiast widać, że przyłożone obciążenie mieści się w przestrzeni rozwiązań krzywej granicznej, co oznacza, że sprawdzenie przekroju jest spełnione. Nie jest jednak jasne, jak duża jest pozostała „rzeczywista” nośność przekroju; tzn. o ile można zwiększyć działającą kombinację sił wewnętrznych, zanim zostanie osiągnięty stan graniczny nośności. Z powodu nieliniowych warunków (w kroku 2) proporcjonalność pomiędzy efektem obciążenia a współczynnikiem wykorzystania przestaje obowiązywać. Rzeczywisty współczynnik wykorzystania można zatem wyznaczyć jedynie iteracyjnie; to znaczy w kilku krokach obliczeniowych z różnymi poziomami obciążenia.

2. PIFM bez redystrybucji

Dla porównania przekrój jest również projektowany metodą PIFM bez redystrybucji. Najpierw w każdej części przekroju wyznaczane są sprężyste naprężenia normalne i ścinające w węzłach początkowym, środkowym i końcowym (każdy cienkościenny element jest traktowany jako oddzielna część przekroju). Tutaj obliczenia (tak jak w module steel design) przedstawiono tylko dla decydującej części przekroju (element 5 na Rysunku 2):

Plastyczne częściowe siły wewnętrzne części przekroju (tu, część przekroju i = 5) są następnie obliczane z naprężeń z uwzględnieniem wymiarów:

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179.6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90.5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Następnie projektowana jest nośność ścinająca części przekroju:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

Na końcu sprawdzana jest interakcja siły osiowej z momentem. Podobnie jak w przypadku PIFM z redystrybucją, odporności są obliczane ze zredukowaną granicą plastyczności:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23.39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

Na podstawie początkowego obciążenia z Tabeli 1 sprawdzenie przekroju nie jest spełnione. Obliczenia iteracyjne wskazują, że sprawdzenie można niemal spełnić, jeśli obciążenie zostanie zredukowane do 86%.

3. Sprężyste sprawdzenie przekroju

Sprężyste sprawdzenie przekroju jest wyraźnie przekroczone w Elemencie 5, gdzie maksymalny współczynnik wykorzystania wynosi 129%. Odpowiadający mu maksymalny współczynnik obciążenia można uzyskać bezpośrednio jako odwrotność tego maksymalnego współczynnika wykorzystania, czyli 77.5%.

Wniosek

Projekt plastyczny zgodnie z metodą częściowych sił wewnętrznych (PIFM) umożliwia znacznie bardziej ekonomiczne projektowanie w porównaniu ze sprężystym sprawdzeniem przekroju, jeśli jest to dopuszczalne. W przykładzie można uzyskać wzrost obciążenia granicznego o 11% (PIFM bez redystrybucji) lub 25.8% (PIFM z redystrybucją).