Kontrola przekrojów plastycznych metodą częściowych sił wewnętrznych

W konstrukcjach stalowych przekroje spełniające określone kryteria mogą być projektowane plastycznie. W praktyce amerykańskiej dotyczy to w szczególności przekrojów kompaktowych, jak zdefiniowano w AISC 360, które są zdolne do rozwinięcia ich pełnej odporności plastycznej oraz wystarczającej zdolności obrotowej. Pozwala to na redystrybucję naprężeń w przekroju poprzez plastyczne uplastycznienie materiału bazowego. Podczas gdy równania dostępne w powszechnie stosowanych amerykańskich normach projektowania stali do obliczania nośności plastycznej przekrojów są ograniczone do wybranych kształtów przekrojów i określonych kombinacji sił wewnętrznych, lub nie są w ogóle podane, metoda częściowych sił wewnętrznych jest niemal uniwersalnie stosowalna. Na przykład, elementy konstrukcyjne poddane działaniu siły osiowej, zginaniu i skręcaniu, w tym skręcaniu z odkształceniami, mogą być również efektywnie projektowane przy użyciu tego podejścia. Metoda częściowych sił wewnętrznych jest dostępna dla użytkowników RFEM 6 i RSTAB 9 w ramach rozszerzonych zasad projektowania plastycznego w ustawieniach stanu granicznego nośności w dodatku Projektowanie Stali.

Rozszerzone analizy plastyczne w ustawieniach stanu granicznego nośności

Metoda częściowych sił wewnętrznych (TSV) została opracowana przez Kindmanna i Frickela na Uniwersytecie Ruhry w Bochum (Niemcy) i jest szczegółowo opisana w [1]. W programie zaimplementowano dwie różne warianty:

1. Metoda Częściowych Sił Wewnętrznych z Redystrybucją

Metoda redystrybucji jest odpowiednia dla przekrojów 2- i 3-bytrych blach z orthogonalnie orientowanymi częściami przekrojów i obejmuje tym samym najważniejsze otwarte kształty przekrojów w konstrukcjach stalowych. Dodatkowe rozwiązania są zaimplementowane dla prostokątnych i okrągłych przekrojów zamkniętych, tak aby przy pomocy tej metody można było zaprojektować następujące typy przekrojów:

• Dwuteowniki symetryczne/pojedyncze/niesymetryczne
• Ceowniki/T-/Z-/L-sekcje
• Sekcje PI (Typ A)
• Podwójnie symetryczne prostokątne (RHS) / kwadratowe (SHS) przekroje zamknięte
• Okrągłe przekroje zamknięte (CHS)

Procedura dla projektowania plastycznego przy użyciu metody częściowych sił wewnętrznych z redystrybucją przebiega następująco:

1. Transformacja sił wewnętrznych z analizy strukturalnej do specjalnego układu odniesienia (ȳ-z̄) (na przykład dla dwuteowników początek jest umieszczony w centrum płaskownika)
2. Dystrybucja i projektowanie sił wewnętrznych powodujących naprężenia ścinające (siły poprzeczne i momenty skręcające) na poziomie przekroju
3. Dystrybucja i projektowanie sił wewnętrznych powodujących lokalne zginanie w częściach przekroju ortogonalnych do części odniesienia przekroju (na przykład płaskownika dla przekroju dwuteowego). Wytrzymałość graniczna jest zmniejszona z powodu działających naprężeń ścinających wspomnianych w poprzednim punkcie.
4. Projektowanie resztkowej nośności przekroju dla sił wewnętrznych powodujących zginanie w częściach przekroju równoległych do części odniesienia przekroju, na przykład płaskownika dla przekroju dwuteowego (z zmniejszoną wytrzymałością graniczną z powodu ścinania) plus siła osiowa.

Należy zauważyć, że projektowanie nośności przekroju nie odbywa się przy użyciu w pełni plastycznego stanu przekroju. Zamiast tego, w Kroku 4, stosowane jest rozróżnienie przypadków, aby sprawdzić, czy siły wewnętrzne mieszczą się w określonym zakresie wartości i mogą być pochłonięte przez przekrój. Wynikający stosunek projektowania przekroju nie jest więc zazwyczaj proporcjonalny do działania i dostarcza informacji jedynie o powodzeniu (stosunek projektowania mniejszy lub równy 1) lub porażce (stosunek projektowania większy niż 1) sprawdzeń przekroju.

2. Metoda Częściowych Sił Wewnętrznych Bez Redystrybucji

Metoda częściowych sił wewnętrznych bez redystrybucji [1] jest ogólnie odpowiednia dla wszystkich typów przekrojów cienkościennych. Procedura dla tej wersji projektowania jest następująca:

1. Podział przekroju na jego elementy. Można zdefiniować wartości graniczne dla stosunku długości do szerokości. Elementy przekraczające ten limit są uwzględniane w projektowaniu.
2. Określenie sił wewnętrznych w każdej części przekroju, bazując na naprężeniach sprężystych na końcach części przekroju
3. Weryfikacja określonych sił wewnętrznych wobec wartości granicznych plastycznych części przekroju

Częściowe siły wewnętrzne są, zatem, obliczane w zależności od sprężystego rozkładu naprężeń w każdej części przekroju. Plastyczna redystrybucja naprężenia jest uwzględniana tylko wewnątrz, a nie między częściami przekroju. Niemniej jednak, często można osiągnąć znacznie bardziej efektywne wyniki w porównaniu z wyłącznie sprężystym projektowaniem.

Aby uniknąć nadmiernego wyjścia, w każdym miejscu projektowania w Steel Design wyświetlany jest jedynie wynik projektowania części przekroju o najwyższym stosunku wykorzystania.

Przykład Sprawdzenia Przekroju z Metodą PIFM

Przykład obliczeń: Asymetryczny przekrój dwuteowy

Podany przykład jest również opisany w [1] w sekcji 10.7.6 i jasno pokazuje efektywność metody częściowych sił wewnętrznych. Nawet dla niesymetrycznych przekrojów (tutaj IU 12.677/0/8.189/9.213/2.913/0.472/0.984/0.748/0/0/0/0 [cale], f_y = 34.8 ksi) z ogólnie działającymi naprężeniami (siła osiowa + podwójne zginanie + skręcanie mieszane) możliwe jest wykonanie plastycznego sprawdzenia projektowania przekroju:

Oryginalny przykład jest podany w jednostkach metrycznych. Na potrzeby tego artykułu wszystkie wartości zostały bezpośrednio przekształcone na jednostki imperialne bez zaokrąglania.

1. PIFM z Redystrybucją

W oparciu o drobne odchylenia obciążenia i geometrie przekroju, projektowanie zginania dolnej stopki jest nieznacznie przekroczone w Steel Design, podczas gdy w [1] skutkuje wskaźnikiem projektowania na poziomie 100%. Aby w pełni wyjaśnić koncepcję projektowania w tym miejscu, siły wewnętrzne z Tabeli 1 są zredukowane o 2,5% i obliczone przy współczynniku obciążenia 97,5%

W pierwszym kroku siły wewnętrzne z układu osi głównych (u-v) są przekształcane w układ odniesienia (ȳ-z̄). Układ odniesienia ma swój początek w środku ciężkości płyty elementu i odpowiada również orientacji globalnego układu współrzędnych (Y-Z) na obrazie 2. Nachylenie osi głównej α wynosi 35.5°:

V_ȳ = V_u * cos(α) - V_v * sin(α) = -96.9 kips

V_z̄ = V_v * cos(α) + V_u * sin(α) = -15.2 kips

M_x̄s = M_xs - V_u * v_M-D + V_v * u_M-D = 51,926 lb·ft

M_ȳ = M_u * cos(α) - M_v * sin(α) + N * z̄_S-D = 160,349 lb·ft

M_z̄ = M_v * cos(α) + M_u * sin(α) - N * ȳ_S-D = 146,937 lb·ft

M_ω̄ = - M_ω + M_u * u_M-D + M_v * v_M-D + N * ω̄_k = 7,623 lb·ft²

W drugim kroku, naprężenia ścinające w oddzielnych częściach przekroju są projektowane. W tym celu, odpowiednie siły wewnętrzne (siły ścinające i pierwotne oraz wtórne momenty skręcające) są najpierw rozdzielane do płyt stopki i płyty środnika (jako przykład tutaj i zredukowane dla dolnej stopki):

V_y,u = - (V_ȳ * z̄_o + M_x̄s) / (z̄_u - z̄_o) = -101.7 kips

M_xp,u = M_xp * I_T,u / I_T = 1,076 lb·ft

gdzie I_T,u / I_T opisuje proporcję sztywności skręcającej dolnej stopki w stosunku do sztywności skręcającej całego przekroju (tutaj 37.6%). Następnie określa się odpowiednie plastyczne opory (V_pl,y,u i M_pl,xp,u) części przekroju i ocenia wykorzystanie.

η_τ,u = |M_xp,u| / (2 * M_pl,xp,u) + √((M_xp,u / (2 * M_pl,xp,u))² + (V_y,u / V_y,u)²) = 0.64

W trzecim kroku, lokalne momenty zginające stopek są weryfikowane. Częściowa siła wewnętrzna składa się z momentu zginającego M_z̄ i momentu nosowego M_ω̄. Ponownie, rozważana jest tylko dolna stopka jako przykład.

M_Sa,z,u = (- M_z̄ * z̄_o + M_ω̄) / (z̄_u - z̄_o) = 82,007 lb·ft

Projektowanie odbywa się z zmniejszoną wytrzymałością na rozciąganie z powodu naprężeń ścinających (patrz powyżej) i uwzględniając parametr ekscentryczności δ:

M_pl,z,u,τ = M_pl,z,u * f_y,d,u * √(1 - (τ_u / τ_u,Rd)²) = 66,228 lb·ft

η_Mz̄ = (|M_Sa,z,u| / M_pl,z,u,τ) / (1 + δ_u²) = 0.99

Na koniec sprawdzane jest, czy efektywna siła osiowa N i moment gięcia M_ȳ mogą być pochłonięte przez „pozostały” przekrój. Dla tego ostatniego kroku nie jest dostępne zamknięte rozwiązanie analityczne. Zamiast tego, określa się 2-wymiarową przestrzeń rozwiązań i sprawdza, czy działająca kombinacja N-M_ȳ leży wewnątrz lub na zewnątrz granicy (= diagram interakcji) tej przestrzeni rozwiązań. Krzywą graniczną opisuje się dla dodatnich i ujemnych zakresów momentów za pomocą dwóch równania liniowych i jednego parabolicznego. Rozróżnienie przypadków służy do sprawdzenia, które sekcje krzywej granicznej są istotne dla projektowania dla danej siły osiowej. Dokładne kroki obliczeń można znaleźć w [1] lub w szczegółach wyników projektu stalowego. Wynikowa krzywa graniczna z różnymi sekcjami dla przykładu jest wyświetlana poniżej:

Krzywa interakcji dla sprawdzenia siły osiowej i zginania

Obraz 3 przedstawia krzywą graniczną i działającą kombinację N-M_ȳ w przykładzie (czerwony diament). Od razu widać, że zastosowane obciążenie znajduje się w przestrzeni rozwiązań limitu, co oznacza, że weryfikacja przekroju zostaje spełniona. Nie jest jednak jasne, jak duża jest pozostała „prawdziwa” nośność przekroju; to znaczy, jaki wzrost dla zastosowanej kombinacji siły wewnętrznej byłby możliwy do osiągnięcia do stanu granicznego nośności. Z powodu nieliniowych warunków (w Kroku 2) proporcjonalność między obciążeniem a stosunkiem wykorzystania już nie obowiązuje. Rzeczywisty stosunek wykorzystania może być zatem określony tylko iteracyjnie; to znaczy w kilku krokach obliczeniowych z różnymi poziomami obciążenia.

2. PIFM Bez Redystrybucji

Dla celów porównawczych, przekrój jest również projektowany przy użyciu PIFM bez redystrybucji. Najpierw, określa się sprężyste naprężenia normalne i ścinające na nodach początkowych, środkowych i końcowych w każdej części przekroju (każdy cienkościenny element jest traktowany jako oddzielna część przekroju). Tutaj, obliczenia (jak w Steel Design) przedstawione są tylko dla głównej częći przekroju (Element 5 na Obrazie 2):

Plastyczne częściowe siły wewnętrzne części przekroju (tutaj, część przekroju i = 5) są następnie obliczane z naprężeń, uwzględniając wymiary:

N₅ = t * l * (σ_x,A + σ_x,E) / 2 = 179.6 kips

M₅ = t * l² * (σ_x,A - σ_x,E) / 12 = 14,031 lb·ft

V₅ = t * l * (τ_A + 4 * τ_M + τ_E) / 6 = 90.5 kips

M_xp,5 = M_xp * I_T,5 / I_T = 814 lb·ft

Następnie, projektowana jest nośność ścinająca części przekroju:

η_τ,5 = |M_xp,5| / (2 * M_pl,xp,5) + √((M_xp,5 / (2 * M_pl,xp,5))² + (V₅ / V_pl,5)²) = 0.74

Na koniec, sprawdzana jest interakcja siła osiowa-moment. Podobnie jak w przypadku PIFM z redystrybucją, opory są obliczane ze zmniejszoną wytrzymałością graniczną:

f_y,5,red = f_y,5 * √(1 - (τ₅ / τ_Rd,5)²) = 23.39 ksi

η_N+M,5 = (N₅ / N_pl,τ,5)² + |M₅| / M_pl,τ,5 = 1.611

Na podstawie początkowego obciążenia z Tabeli 1, weryfikacja przekroju nie jest spełniona. Obliczenia iteracyjne wskazują, że weryfikacja może być spełniona tylko w przypadku redukcji obciążenia do 86%.

3. Elastyczna Weryfikacja Przekroju

Elastyczna weryfikacja przekroju jest wyraźnie przekroczona w Elemencie 5 maxymalnym stosunkiem wykorzystania 129%. Odpowiedni maksymalny współczynnik obciążenia można uzyskać bezpośrednio jako odwrotność tego maksymalnego stosunku wykorzystania, to jest 77.5%.

Wniosek

Projektowanie plastyczne według metody częściowych sił wewnętrznych (PIFM) umożliwia znacznie bardziej ekonomiczne projektowanie w porównaniu z elastycznym sprawdzeniem przekroju, jeśli to dozwolone. W przykładzie, zwiększenie granicy nośności o 11% (PIFM bez redystrybucji) lub 25.8% (PIFM z redystrybucją) można osiągnąć.