Анализ зависимых от времени прогибов железобетонных элементов по ACI 318 с учётом длительных воздействий (полнзий и усадки по ACI 435)

I. Входные данные

1. Геометрия

Система: Балка на один пролет
Пролет: l = 12 футов
Ширина поперечного сечения: b = 93.0 дюймов
Высота поперечного сечения: h = 6.0 дюймов
Эффективная глубина: d = 6 – 0.650 – 0.3125 = 5.0375 дюймов

2. Материалы

• Бетон

Прочность бетона на сжатие: f’c = 3,000 ksi
Модуль упругости: E = 3,122.019 ksi

Для учета ползучести и усадки необходимо активировать зависящие от времени свойства бетона:

Эти свойства теперь заданы для всех элементов и поверхностей, которым присвоен этот материал. Однако, можно изменить эти свойства для конкретного элемента, изменив их в параметрах поперечного сечения этого элемента:

• Арматурная сталь

Указанная граница текучести: fy = 40,000 ksi
Модуль упругости: Es = 29,000.0 ksi
Количество арматур: 11 стержней диаметром 0.625 дюймов
Площадь арматуры: As,prov = 3.37 дюйм²
Коэффициент арматуры: ρ = 0.60%

3. Конфигурация эксплуатационной пригодности

Для учета зависящих от времени деформаций можно рассматривать ползучесть и усадку двумя различными подходами:

• Зависимый от времени фактор согласно Таблице 24.2.4.1.3
• Зависимые от времени свойства материала (ползучесть и усадка) согласно ACI 435

В этом примере используется второй подход, поэтому он выбран в конфигурации эксплуатационной пригодности:

4. Нагрузочные случаи и комбинации

Категории действий в нагрузочном случае определяются в соответствии с ASCE 7.

• Нагрузочный случай 1 (LC1)

Категория действия: Постоянная нагрузка (D)
Нагрузочный случай 1 включает собственный вес элемента и дополнительную равномерно распределенную нагрузку с величиной 0.8 kip/ft.

• Нагрузочный случай 2 (LC2)

Категория действия: Временная нагрузка (L)
Нагрузочный случай 2 состоит из равномерно распределенной нагрузки с величиной 1.6 kip/ft.

• Проектные ситуации

Для анализа прогибов создается проектная ситуация на основе ASCE 7, Раздел 2.4 (ASD) с использованием некорректированных комбинаций нагрузок. Для этой проектной ситуации активирован мастер создания комбинаций нагрузок для автоматической генерации комбинаций нагрузок.

• Комбинации нагрузок

Созданы две комбинации нагрузок:

• CO1: LC1
• CO2: LC1 + LC2

В анализе прогибов ползучесть и усадка в армированном бетоне вызваны только долгосрочными постоянными нагрузками, такими как собственный вес конструкции. Краткосрочные нагрузки, такие как временные нагрузки, обычно не влияют существенно на эти зависящие от времени эффекты.
Для точного учета ползучести и усадки необходимо определить постоянные долгосрочные нагрузки в анализе. Прогибы, вызванные этими постоянными нагрузками, затем рассчитываются и впоследствии учитываются в общем прогибе при оценке соответствующих комбинаций нагрузок. Это гарантирует, что в оценке эксплуатационной пригодности должным образом учитывается долгосрочное поведение конструкции.
Для учета этих эффектов в расчете бетонного дополнения необходимо создать отдельную проектную ситуацию. Эта проектная ситуация основывается на ASCE 7, Раздел 2.4 (ASD). Мастер создания комбинаций не назначается, так как комбинация нагрузок будет создана вручную, что позволяет точно контролировать, какие долгосрочные постоянные нагрузки будут способствовать ползучести и усадке.

Чтобы указать, какая проектная ситуация включает комбинацию долгосрочных постоянных нагрузок, установите тип предельного состояния проектной ситуации на Проектирование эксплуатационной пригодности | Долгосрочные постоянные нагрузки.

Затем создается комбинация нагрузок с новой проектной ситуацией (DS2). В этом примере считается, что только собственный вес действует как долговременная постоянная нагрузка, способствующая ползучести и усадке. Поэтому для точного учета зависящих от времени эффектов определена комбинация нагрузок, включающая только собственный вес (LC1).

Созданная комбинация нагрузок CO3 затем используется для расчета долгосрочного прогиба элемента из-за постоянной нагрузки. Чтобы включить этот прогиб при оценке общего прогиба, CO3 назначается как соответствующая комбинация нагрузок (CO) для двух комбинаций нагрузок DS2.

С назначенной соответствующей нагрузкой определение состояния трещины в конфигурации эксплуатационной пригодности установлено на "Состояние трещины по соответствующей CO ситуаций проектирования эксплуатационной пригодности из связанных нагрузок". Это гарантирует, что коэффициент распределения ζd рассчитывается как максимальное значение для всех соответствующих нагрузок.

II. Расчет проектирования бетона

Для анализа деформаций в дополнении Проектирование бетона используется аналитический метод для 2D-структур и 1D-элементов, подвергающихся осевым нагрузкам и изгибающим моментам. Это основано на определении эффективных жесткостей (метод эффективной жесткости) на плоскости поперечного сечения с учетом состояния трещин, а также эффектов, таких как натяжение арматуры и простые долгосрочные эффекты.

1. Расчет прогиба из-за долгосрочной постоянной нагрузки

a. Кривизна для состояния без трещин

В этом разделе представлен расчет долгосрочного прогиба элемента под CO3 (собственный вес, включая эффекты ползучести и усадки). Проверка проектирования проводится в критической точке x = 6.0 футов, где присутствует только изгибающий момент M_y,u = 14.40 kipft. Осевое усилие в этой точке равно P_u = 0.

Эффекты ползучести учитываются за счет снижения модуля упругости. Влияние ползучести внедряется с использованием конечного коэффициента ползучести 𝜑:
Эффективный модуль упругости бетона:
\(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{c}}}{1 + \phi}\)
\(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{3122.020\,\mathrm{ksi}}{1 + 3.200} = 743.319\,\mathrm{ksi}\)

Эффективное модульное отношение:
\(\alpha_{e} = \dfrac{E_{s}}{E_{c,eff}}\)
\(\alpha_{e} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{743.319\,\mathrm{ksi}} = 39.01\)

Эффективное модульное отношение (краткосрочная нагрузка):
\(\alpha_{e,st} = \dfrac{E_{s}}{E_{c}}\)
\(\alpha_{e,st} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{3122.020\,\mathrm{ksi}} = 9.29\)

Эффективные модульные отношения используются для расчета геометрических параметров для состояния без трещин (краткосрочное и долгосрочное) и состояния с трещинами:

Состояние I - Состояние без трещин
Описание	Символ	Значение	Единица
Расстояние от центра тяжести идеального сечения до поверхности бетона на сжатие (определено для состояния без трещин)	zI	3.389	дюйм
Эффективная площадь сечения в состоянии без трещин	AI	689.664	дюйм2
Эффективный момент инерции к идеальному центру тяжести в состоянии без трещин	Iy,I	2116.230	дюйм4
Эксцентриситет идеального центра тяжести сечения в состоянии без трещин	ez,I	0.389	дюйм

Состояние I - Состояние без трещин - Краткосрочная нагрузка
Описание	Символ	Значение	Единица
Расстояние от центра тяжести идеального сечения до поверхности бетона на сжатие (определено для состояния без трещин)	zI,st	3.108	дюйм
Эффективная площадь сечения в состоянии без трещин	AI,st	589.348	дюйм2
Эффективный момент инерции к идеальному центру тяжести в состоянии без трещин	Iy,I,st	1797.210	дюйм4

Усадка:
Усадка вызывает дополнительное осевое усилие в арматуре. Из-за эксцентриситета арматуры к центру тяжести идеального сечения возникает дополнительная кривизна, вызванная усадкой.

Дополнительное усилие из-за усадки затем рассчитывается:
\( \mathrm{P_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bottom)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (top)}} \right) \)

\( \mathrm{P_{sh}} = -29000.000\,\mathrm{ksi} \cdot -0.600000\,\text{‰} \cdot \left( 3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2} \right) = 58.721\,\mathrm{kip} \)

Эксцентриситет усадочной силы к центру тяжести идеального сечения в состоянии без трещин затем:

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{A_{s,def,+z (bottom)} \cdot d_{def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)} \cdot d_{def,-z (top)}}{A_{s,def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)}} - \mathrm{z_{I}}\)

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{3.37\,\mathrm{in^2} \cdot 5.037\,\mathrm{in} + 0.00\,\mathrm{in^2} \cdot 3.000\,\mathrm{in}}{3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2}} - 3.389\,\mathrm{in} = 1.649\,\mathrm{in}\)

В результате, изгибающий момент, вызванный осевым усилием P_sh:
\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{P_{sh}} \cdот \mathrm{e_{sh,z,I}}\)

\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = 58.721\,\mathrm{kip} \cdot 1.649\,\mathrm{in} = 8.07\,\mathrm{kipft}\)

Кривизный коэффициент для состояния без трещин затем определяется. Он показывает, как усадочный момент действует относительно осевого усилия и его эксцентриситета. Он показывает, как распределение усадочных сил и положение центра тяжести влияют на деформации элемента. Это значение критично для полного описания деформаций поперечного сечения, вызванных усадкой:
\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}\)

\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{8.07\,\mathrm{kipft} + 14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}} = 1.560\)

Общая кривизна для состояния без трещин теперь может быть рассчитана:

\(\kappa_{y,I} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}\)
\(\kappa_{y,I} = 1.560 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 2116.230\,\mathrm{in^4}} = 2.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

b. Кривизна для состояний с трещинами

Состояние II - Состояние с трещинами -
Описание	Символ	Значение	Единица
Глубина зоны сжатия в состоянии с трещинами	cII	2.618	дюйм
Расстояние от центра тяжести идеального сечения до поверхности бетона на сжатие (определено для состояния с трещинами)	zII	2.618	дюйм2
Эффективная площадь сечения в состоянии с трещинами	AII	375.100	дюйм2
Эффективный момент инерции к идеальному центру тяжести в состоянии с трещинами	Iy,II	1326.990	дюйм4
Эксцентриситет идеального центра тяжести сечения в состоянии с трещинами	ez,II	-0.382	дюйм

Усадка - Состояние с трещинами
Описание	Символ	Значение	Единица
Эксцентриситет усадочной силы к центру тяжести идеального сечения в состоянии с трещинами	esh,z,II	2.420	дюйм
Изгибающий момент, вызванный осевой силой Nsh для состояния с трещинами	Msh,y,II	11.84	kipft
Кривизный коэффициент для состояния с трещинами	ksh,y,II	1.822	-

\(\kappa_{y,II} = \mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}\)
\(\kappa_{y,II} = 1.822 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdот (-0.382\,\mathrm{in})}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 1326.990\,\mathrm{in^4}} = 3.8\,\mathrm{mrad/ft}\)

c. Кривизна для состояний без трещин и с трещинами

Максимальное напряжение в состоянии без трещин при краткосрочных и долгосрочных нагрузках рассчитывается и затем сравнивается. Больше из двух значений используется для определения коэффициента распределения.

Максимальное напряжение в состоянии без трещин
Описание	Символ	Значение	Единица
Максимальное напряжение в состоянии без трещин (долгосрочная нагрузка)	fmax,lt	0.418	ksi
Максимальное напряжение в состоянии без трещин (краткосрочная нагрузка)	fmax,st	0.278	ksi

Коэффициент распределения рассчитывается следующим образом:
\(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot f_{r}}{f_{max}} \right)^2\)
\(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot 0.411\,\mathrm{ksi}}{0.418\,\mathrm{ksi}} \right)^2 = 0.570\)

\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + (1 - \zeta_{d}) \cdot \kappa_{y,I}\)
\(\kappa_{y,f} = 0.570 \cdот 3.8\,\mathrm{mrad/ft} + (1 - 0.570) \cdot 2.1\,\mathrm{mrad/ft} = 3.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

d. Конечная жесткость

Используя полученный коэффициент распределения вместе с параметрами поперечного сечения в состояниях с трещинами и без трещин, теперь можно определить эффективные параметры поперечного сечения:

Эффективные параметры поперечного сечения
Описание	Символ	Значение	Единица
Площадь идеального сечения	Af	466.537	дюйм2
Идеальный момент инерции к идеальному центру секции	Iy,f	909.112	дюйм4
Эксцентриситет центра тяжести	ez,f	-0.135	дюйм
Идеальный момент инерции к геометрическому центру секции	Iy,0,f	917.601	дюйм4

Поскольку в этом примере единственная внутренняя сила, присутствующая, это изгибающий момент, только касательная изгибающая жесткость актуальна:

\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}\)
\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = 743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 917.601\,\mathrm{in^4} = 4736.60\,\mathrm{kipft^2}\)

С нововычисленной эффективной жесткостью затем проводится новый статический анализ, чтобы получить прогиб:

Получен вертикальный прогиб 0.420 дюймов в середине пролета балки.

Предельный прогиб определяется как:
\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}\)

\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{12.00\,\mathrm{ft}}{240.000} = 0.600\,\mathrm{in}\)

На основе этого, коэффициент проверки проектирования рассчитывается как:
\(\eta = \left|\dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}}\right|\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.420\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 0.701\)

2. Расчет общей нагрузки на прогиб

Для общего прогиба, CO2 (LC1 + LC2) является определяющей комбинацией нагрузок. Присутствует изгибающий момент 43.20 kipft.
Поскольку только постоянные нагрузки вызывают ползучесть и усадку, эффекты ползучести не учитываются при расчете свойств поперечного сечения для краткосрочных нагрузок. Поэтому для расчета используется эффективный модуль упругости бетона E_c, и коэффициент кривизны усадки устанавливается равным 1.0.

a. Кривизна для состояния без трещин

Геометрические параметры в состоянии без трещин соответствуют краткосрочным геометрическим параметрам постоянной нагрузки:

Состояние I - Состояние без трещин
Описание	Символ	Значение	Единица
Расстояние от центра тяжести идеального сечения до поверхности бетона на сжатие (определено для состояния без трещин)	zI	3.108	дюйм
Эффективная площадь сечения в состоянии без трещин	AI	589.348	дюйм2
Эффективный момент инерции к идеальному центру тяжести в состоянии без трещин	Iy,I	1797.210	дюйм4
Эксцентриситет идеального центра тяжести сечения в состоянии без трещин	ez,I	0.108	дюйм

Кривизна в состоянии без трещин затем рассчитывается:
\(\kappa_{y,I} = k_{sh,y,I} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,I}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,I}} \)

\(\kappa_{y,I} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot 0.108\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 1797.210\,\text{in}^4} = 1.1\,\text{mrad/ft}\)

b. Кривизна для состояния с трещинами

Геометрические параметры в состоянии с трещинами для краткосрочных нагрузок определяются без учета эффектов ползучести:

Состояние II - состояние с трещинами
Описание	Символ	Значение	Единица
Глубина зоны сжатия в состоянии с трещинами	cII	1.536	дюйм
Расстояние от центра тяжести идеального сечения до поверхности бетона на сжатие (определено для состояния с трещинами)	zII	1.536	дюйм
Эффективная площадь сечения в состоянии с трещинами	AII	174.226	дюйм2
Эффективный момент инерции к идеальному центру тяжести в состоянии с трещинами	Iy,II	496.674	дюйм4

Кривизна в состоянии с трещинами затем рассчитывается:
\(\kappa_{y,II} = k_{sh,y,II} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,II}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,II}}\)

\(\kappa_{y,II} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot (-1.464)\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 496.674\,\text{in}^4} = 4.0\,\text{mrad/ft}\)

c. Кривизна для состояний без трещин и с трещинами

Для расчета коэффициента распределения требуется максимальное напряжение в состоянии без трещин для этого поперечного сечения:
\(f_{max} = \frac{P_{u}}{A_{I}} + \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot \left( z_{I} - \frac{h}{2} \right)}{I_{y,I}} \cdot \left( h - z_{I} \right)\)

Полученный коэффициент распределения затем:
\(f_{max} = \frac{0.000\,\text{kip}}{589.348\,\text{in}^2} + \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot \left( 3.108\,\text{in} - \frac{6.000\,\text{in}}{2} \right)}{1797.210\,\text{in}^4} \cdot \left( 6.000\,\text{in} - 3.108\,\text{in} \right) = 0.834\,\text{ksi}\)

Окончательная кривизна в конечном итоге рассчитывается:
\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + \left( 1 - \zeta_{d} \right) \cdot \kappa_{y,I}\)

\(\kappa_{y,f} = 0.892 \cdot 4.0\,\text{mrad/ft} + \left( 1 - 0.892 \right) \cdot 1.1\,\text{mrad/ft} = 3.7\,\text{mrad/ft}\)

d. Конечная жесткость

Теперь можно определить эффективные параметры поперечного сечения:

Эффективные параметры поперечного сечения
Описание	Символ	Значение	Единица
Площадь идеального сечения	Af	188.543	дюйм2
Идеальный момент инерции к идеальному центру секции	Iy,f	538.700	дюйм4
Эксцентриситет центра тяжести	ez,f	-1.413	дюйм
Идеальный момент инерции к геометрическому центру секции	Iy,0,f	915.074	дюйм4

Изгибающая жесткость теперь может быть рассчитана:
\(EI_{y,0,f} = E_{c,eff} \cdot I_{y,0,f}\)

\(EI_{y,0,f} = 3122.020\,\text{ksi} \cdot 915.074\,\text{in}^4 = 19839.40\,\text{kipft}^2\)

Используя вычисленную эффективную жесткость, рассчитывается краткосрочный общий прогиб. Достигается прогиб 0.984.

Расчет общего прогиба балки при частых нагрузках требует учета различных компонентов деформации, возникающих в результате различных типов нагрузок и их соответствующих воздействий на элемент. Долгосрочные и краткосрочные деформации должны рассматриваться отдельно для правильного определения фактического прогиба:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

• u_z,QP,lt: Этот прогиб вызван долгосрочными постоянными нагрузками и учитывает эффекты ползучести, которые испытывает элемент в течение длительного времени. Это прогиб, рассчитанный в Разделе 1.

• u_z,tot,st: Краткосрочный общий прогиб. Эта деформация возникает непосредственно после приложения частой нагрузки. Это прогиб, рассчитанный в этом разделе.

• u_z,QP,st: Кратковременный общий прогиб под постоянными нагрузками. Эта деформация развивается напрямую после приложения постоянных нагрузок и представляет мгновенную реакцию элемента до возникновения эффектов ползучести.

Общий прогиб u_z,tot состоит из долгосрочного прогиба u_z,QP,lt под долгосрочными постоянными нагрузками и дополнительного прогиба от краткосрочных воздействий. Этот дополнительный прогиб рассчитывается как разница между общим краткосрочным прогибом u_z,tot,st и краткосрочным прогибом, вызванным нагрузками, вызывающими ползучесть u_z,QP,st. Следующий график четко иллюстрирует это:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

\(u_{z,tot} = 0.420\,\text{in} + \left( 0.630\,\text{in} - 0.067\,\text{in} \right) = 0.984\,\text{in}\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.984\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 1.640 >1 \)
В этом случае общий прогиб превышает предел, и проверка проектирования не выполняется.

В заключение, этот пример демонстрирует комплексный расчет прогибов железобетонной балки с учетом как краткосрочных, так и долгосрочных эффектов, включая ползучесть и усадку. Используя дополнение RFEM Проектирование бетона, эффективная жесткость балки была определена путем аналитического метода, учитывающего состояния с трещинами и без трещин, натяжение арматуры и зависящие от времени свойства материала. Долгосрочный прогиб под постоянной нагрузкой сначала был рассчитан (0.420 дюйма), затем общий кратковременный прогиб под частыми нагрузками (0.984 дюйма). В сочетании общий прогиб (0.984 дюйма) превышает допустимый предел (0.600 дюйма), что приводит к коэффициенту проверки проектирования 1.64, указывающему, что балка не удовлетворяет требованию эксплуатационной пригодности. Это подчеркивает критическую важность точного моделирования зависящего от времени поведения бетона и комбинаций нагрузок в анализе эксплуатационной пригодности.