Análise de flecha dependente do tempo de elementos de betão armado segundo a ACI 318 considerando efeitos a longo prazo (fluência e retração conforme ACI 435)

I. Dados de Entrada

1. Geometria

Sistema: Viga de vão único Vão: l = 12 ft Largura da seção transversal: b = 93.0 in Altura da seção transversal: h = 6.0 in Profundidade efetiva: d = 6 - 0.650 - 0.3125 = 5.0375 in

2. Materiais

• Concreto

Resistência à compressão do concreto: f’c = 3.000 ksi Módulo de elasticidade: E = 3.122,019 ksi

Para considerar fluência e retração, é necessário ativar as propriedades dependentes do tempo do concreto:

Essas propriedades agora estão definidas para todos os membros e superfícies com este material atribuído. No entanto, é possível editar essas propriedades para um membro específico editando essas propriedades nas opções de seção transversal desse membro:

• Aço de Armadura

Resistência ao escoamento especificada: fy = 40.000 ksi Módulo de elasticidade: Es = 29.000,0 ksi Quantidade de armadura: 11 barras com 0,625 in de diâmetro Área de armadura: As,prov = 3.37 in² Razão de armadura: ρ = 0.60%

3. Configuração de Serviço

Para deflexão dependente do tempo, fluência e retração podem ser consideradas usando duas abordagens diferentes:

• Fator dependente do tempo de acordo com a Tabela 24.2.4.1.3
• Propriedades de material dependentes do tempo (fluência e retração) de acordo com ACI 435

Este exemplo usa a segunda abordagem; portanto, ela é selecionada na configuração de serviço:

4. Casos de Carga e Combinações

As categorias de ação dos casos de carga são definidas de acordo com a ASCE 7.

• Caso de Carga 1 (LC1)

Categoria de Ação: Carga Permanente (D) O Caso de Carga 1 inclui o peso próprio do membro e uma carga adicional em membro distribuída uniformemente com uma magnitude de 0.8 kip/ft.

• Caso de Carga 2 (LC2)

Categoria de Ação: Carga Viva (L) O Caso de Carga 2 consiste em uma carga em membro distribuída uniformemente com uma magnitude de 1.6 kip/ft.

• Situações de Projeto

Para análise de flecha, uma situação de projeto é criada com base na ASCE 7, Seção 2.4 (ASD) usando combinações de carga não-fatoradas. O assistente de combinação de carga é ativado para esta situação de projeto para gerar combinações de carga automaticamente.

• Combinações de Carga

Duas combinações de carga são geradas:

• CO1: LC1
• CO2: LC1 + LC2

Na análise de flecha, a fluência e a retração no concreto armado são causadas apenas por cargas sustentadas a longo prazo, como o peso próprio da estrutura. Cargas de curto prazo, como cargas vivas, geralmente não contribuem significativamente para esses efeitos dependentes do tempo. Para capturar com precisão a fluência e a retração, é essencial definir cargas sustentadas de longo prazo na análise. As flechas resultantes dessas cargas sustentadas são então calculadas e subsequentemente incluídas na flecha total ao avaliar as combinações de carga relevantes. Isso garante que o comportamento a longo prazo da estrutura seja devidamente considerado na avaliação de serviço. Para considerar esses efeitos no cálculo de complemento de concreto, uma situação de projeto separada deve ser criada. Esta situação de projeto é baseada na ASCE 7, Seção 2.4 (ASD). Nenhum assistente de combinação é atribuído, pois a combinação de carga será criada manualmente, permitindo controle preciso sobre quais cargas sustentadas a longo prazo contribuem para fluência e retração.

Para especificar qual situação de projeto inclui a combinação de carga sustentada a longo prazo, defina o tipo de estado limite da situação de projeto como Projeto de Serviço | Sustentado a Longo Prazo. Uma combinação de carga com a nova situação de projeto (DS2) é então criada. Neste exemplo, apenas o peso próprio é considerado como a carga sustentada a longo prazo que contribui para fluência e retração. Portanto, uma combinação de carga incluindo apenas o peso próprio (LC1) é definida para capturar os efeitos dependentes do tempo com precisão. A combinação de carga criada CO3 é então usada para calcular a flecha a longo prazo do membro devido à carga sustentada. Para incluir esta flecha ao avaliar a flecha total, CO3 é atribuída como a combinação de carga correspondente (CO) para as duas combinações de carga de DS2. Com a carga correspondente atribuída, a detecção do estado de fissuração na configuração de serviço é definida como "Estado de fissura da CO correspondente da situação de projeto de SLS da carga associada". Isso garante que o coeficiente de distribuição ζd seja calculado como o valor máximo entre todas as cargas correspondentes.

II. Cálculo de Projeto de Concreto

Para análise de deformação no complemento de Design de Concreto, um método analítico é usado para estruturas 2D e elementos 1D que estão sujeitos a forças axiais e momentos de flexão. Isso se baseia na determinação de rigidezes efetivas (método de rigidez efetiva) no plano da seção transversal, levando em conta o estado de fissuração, bem como efeitos como enrijecimento por tração e efeito de longo prazo simples.

1. Cálculo da Flecha Devido à Carga Sustentada a Longo Prazo

a. Curvatura para o estado não fissurado

Esta seção apresenta o cálculo da flecha a longo prazo do membro sob CO3 (peso próprio, incluindo os efeitos de fluência e retração). A verificação de projeto é realizada na localização crítica x = 6.0 ft, onde apenas um momento fletor de M_y,u = 14.40 kipft está presente. A força axial nesta localização é P_u = 0.

Os efeitos de fluência são contabilizados reduzindo o módulo de elasticidade. A influência da fluência é incorporada usando o coeficiente de fluência último 𝜑: Módulo de Elasticidade Efetivo do Concreto: \(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{c}}}{1 + \phi}\) \(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{3122.020\,\mathrm{ksi}}{1 + 3.200} = 743.319\,\mathrm{ksi}\)

Razão Modular Efetiva: \(\alpha_{e} = \dfrac{E_{s}}{E_{c,eff}}\) \(\alpha_{e} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{743.319\,\mathrm{ksi}} = 39.01\)

Razão Modular Efetiva (carregamento de curto prazo): \(\alpha_{e,st} = \dfrac{E_{s}}{E_{c}}\) \(\alpha_{e,st} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{3122.020\,\mathrm{ksi}} = 9.29\)

As razões modulares efetivas são usadas para calcular os parâmetros geométricos para o estado não fissurado (curto e longo prazo) e o estado fissurado:

Estado I - Estado não fissurado
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de concreto em compressão (determinada para estado não fissurado)	zI	3.389	in
Área efetiva da seção no estado não fissurado	AI	689.664	in2
Momento de inércia efetivo para o centro de gravidade ideal no estado não fissurado	Iy,I	2116.230	in4
Excentricidade do centro de gravidade ideal da seção no estado não fissurado	ez,I	0.389	in

Estado I - Estado não fissurado - Carregamento de curto prazo
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de concreto em compressão (determinada para estado não fissurado)	zI,st	3.108	in
Área efetiva da seção no estado não fissurado	AI,st	589.348	in2
Momento de inércia efetivo para o centro de gravidade ideal no estado não fissurado	Iy,I,st	1797.210	in4

Retração: A retração provoca uma força axial adicional na armadura. Devido à excentricidade da armadura em relação ao centro de gravidade da seção ideal, uma curvatura adicional causada pela retração está presente.

A força adicional devido à retração é então calculada: \( \mathrm{P_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bottom)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (top)}} \right) \)

\( \mathrm{P_{sh}} = -29000.000\,\mathrm{ksi} \cdot -0.600000\,\text{‰} \cdot \left( 3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2} \right) = 58.721\,\mathrm{kip} \)

A excentricidade da força de retração para o centro de gravidade da seção ideal no estado não fissurado é então:

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{A_{s,def,+z (bottom)} \cdot d_{def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)} \cdot d_{def,-z (top)}}{A_{s,def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)}} - \mathrm{z_{I}}\)

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{3.37\,\mathrm{in^2} \cdot 5.037\,\mathrm{in} + 0.00\,\mathrm{in^2} \cdot 3.000\,\mathrm{in}}{3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2}} - 3.389\,\mathrm{in} = 1.649\,\mathrm{in}\)

Como resultado, o momento fletor causado pela força axial P_sh: \(\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{P_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}\)

\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = 58.721\,\mathrm{kip} \cdot 1.649\,\mathrm{in} = 8.07\,\mathrm{kipft}\)

Um coeficiente de curvatura para o estado não fissurado é então determinado. Ele indica como o momento de retração atua em relação à força axial e sua excentricidade. Ele mostra como a distribuição das forças de retração e a localização do centroide influenciam as deformações do elemento. Este valor é crucial para descrever completamente as deformações da seção transversal causadas pela retração: \(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}\)

\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{8.07\,\mathrm{kipft} + 14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}} = 1.560\)

A curvatura total para o estado não fissurado pode agora ser calculada:

\(\kappa_{y,I} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}\) \(\kappa_{y,I} = 1.560 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 2116.230\,\mathrm{in^4}} = 2.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

b. Curvatura para o Estado Fissurado

Estado II - Estado fissurado -
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Profundidade da zona de compressão no estado fissurado	cII	2.618	in
Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de concreto em compressão (determinada para estado fissurado)	zII	2.618	in2
Área efetiva da seção no estado fissurado	AII	375.100	in2
Momento de inércia efetivo para o centro de gravidade ideal no estado fissurado	Iy,II	1326.990	in4
Excentricidade do centro de gravidade ideal da seção no estado fissurado	ez,II	-0.382	in

Retração - Estado fissurado
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Excentricidade da força de retração para o centro de gravidade da seção ideal no estado fissurado	esh,z,II	2.420	in
Momento fletor causado pela força axial Nsh para o estado fissurado	Msh,y,II	11.84	kipft
Coeficiente de curvatura para o estado fissurado	ksh,y,II	1.822	-

\(\kappa_{y,II} = \mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}\) \(\kappa_{y,II} = 1.822 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot (-0.382\,\mathrm{in})}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 1326.990\,\mathrm{in^4}} = 3.8\,\mathrm{mrad/ft}\)

c. Curvatura para Estados Não Fissurados e Fissurados

A tensão máxima no estado não fissurado sob carregamento de curto e longo prazo é calculada e depois comparada. O maior dos dois valores é usado para determinar o coeficiente de distribuição.

Tensão máxima no estado não fissurado
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Tensão máxima no estado não fissurado (carregamento de longo prazo)	fmax,lt	0.418	ksi
Tensão máxima no estado não fissurado (carregamento de curto prazo)	fmax,st	0.278	ksi

O fator de distribuição é calculado usando a seguinte fórmula: \(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot f_{r}}{f_{max}} \right)^2\) \(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot 0.411\,\mathrm{ksi}}{0.418\,\mathrm{ksi}} \right)^2 = 0.570\)

\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + (1 - \zeta_{d}) \cdot \kappa_{y,I}\) \(\kappa_{y,f} = 0.570 \cdot 3.8\,\mathrm{mrad/ft} + (1 - 0.570) \cdot 2.1\,\mathrm{mrad/ft} = 3.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

d. Rigidez Final

Usando o coeficiente de distribuição obtido juntamente com os parâmetros da seção transversal nos estados fissurado e não fissurado, os parâmetros efetivos da seção transversal agora podem ser determinados:

Parâmetros de seção transversal efetivos
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Área da seção ideal	Af	466.537	in2
Momento de inércia ideal em relação ao centro ideal da seção	Iy,f	909.112	in4
Excentricidade do centroide	ez,f	-0.135	in
Momento de inércia ideal em relação ao centro geométrico da seção	Iy,0,f	917.601	in4

Como, neste exemplo, a única força interna presente é o momento fletor, apenas a rigidez à flexão tangente é relevante:

\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}\) \(\mathrm{EI_{y,0,f}} = 743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 917.601\,\mathrm{in^4} = 4736.60\,\mathrm{kipft^2}\)

Com a rigidez efetiva recém-calculada, uma nova análise estática é então realizada para obter a deflexão:

Uma deflexão vertical de 0.420 in é obtida no meio do vão da viga.

A deflexão limite é definida como: \(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}\)

\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{12.00\,\mathrm{ft}}{240.000} = 0.600\,\mathrm{in}\)

Com base nisso, a razão de verificação do projeto é calculada como: \(\eta = \left|\dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}}\right|\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.420\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 0.701\)

2. Cálculo da Carga Total de Deflexão

Para a deflexão total, CO2 (LC1 + LC2) é a combinação de carga dominante. Um momento fletor de 43.20 kipft está presente. Como apenas cargas sustentadas causam fluência e retração, efeitos de fluência não são considerados ao calcular propriedades de seção transversal para cargas de curto prazo. Portanto, o módulo de elasticidade efetivo do concreto E_c é usado para o cálculo, e o coeficiente de curvatura de retração é definido como 1.0.

a. Curvatura para o Estado Não Fissurado

Os parâmetros geométricos no estado não fissurado correspondem aos parâmetros geométricos de curto prazo da carga sustentada:

Estado I - Estado não fissurado
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de concreto em compressão (determinada para estado não fissurado)	zI	3.108	in
Área efetiva da seção no estado não fissurado	AI	589.348	in2
Momento de inércia efetivo para o centro de gravidade ideal no estado não fissurado	Iy,I	1797.210	in4
Excentricidade do centro de gravidade ideal da seção no estado não fissurado	ez,I	0.108	in

A curvatura no estado não fissurado é então calculada: \(\kappa_{y,I} = k_{sh,y,I} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,I}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,I}} \)

\(\kappa_{y,I} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot 0.108\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 1797.210\,\text{in}^4} = 1.1\, \text{mrad/ft}\)

b. Curvatura para o Estado Fissurado

Os parâmetros geométricos no estado fissurado para cargas de curto prazo são determinados sem considerar os efeitos de fluência:

Estado II - estado fissurado
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Profundidade da zona de compressão no estado fissurado	cII	1.536	in
Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de concreto em compressão (determinada para estado fissurado)	zII	1.536	in
Área efetiva da seção no estado fissurado	AII	174.226	in2
Momento de inércia efetivo para o centro de gravidade ideal no estado fissurado	Iy,II	496.674	in4

A curvatura no estado fissurado é então calculada: \(\kappa_{y,II} = k_{sh,y,II} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,II}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,II}}\)

\(\kappa_{y,II} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot (-1.464)\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 496.674\,\text{in}^4} = 4.0\,\text{mrad/ft}\)

c. Curvatura de estados não fissurados e fissurados

Para o cálculo do fator de distribuição, a tensão máxima no estado não fissurado para esta seção transversal é necessária: \(f_{max} = \frac{P_{u}}{A_{I}} + \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot \left( z_{I} - \frac{h}{2} \right)}{I_{y,I}} \cdot \left( h - z_{I} \right)\)

O fator de distribuição resultante é então: \(f_{max} = \frac{0.000\,\text{kip}}{589.348\,\text{in}^2} + \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot \left( 3.108\,\text{in} - \frac{6.000\,\text{in}}{2} \right)}{1797.210\,\text{in}^4} \cdot \left( 6.000\,\text{in} - 3.108\,\text{in} \right) = 0.834\,\text{ksi}\)

A curvatura final é finalmente calculada: \(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + \left( 1 - \zeta_{d} \right) \cdot \kappa_{y,I}\)

\(\kappa_{y,f} = 0.892 \cdot 4.0\,\text{mrad/ft} + \left( 1 - 0.892 \right) \cdot 1.1\,\text{mrad/ft} = 3.7\,\text{mrad/ft}\)

d. Rigidez Final

Os parâmetros efetivos da seção transversal agora podem ser determinados:

Parâmetros de seção transversal efetivos
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Área da seção ideal	Af	188.543	in2
Momento de inércia ideal em relação ao centro ideal da seção	Iy,f	538.700	in4
Excentricidade do centroide	ez,f	-1.413	in
Momento de inércia ideal em relação ao centro geométrico da seção	Iy,0,f	915.074	in4

A rigidez à flexão agora pode ser calculada: \(EI_{y,0,f} = E_{c,eff} \cdot I_{y,0,f}\)

\(EI_{y,0,f} = 3122.020\,\text{ksi} \cdot 915.074\,\text{in}^4 = 19839.40\,\text{kipft}^2\)

Usando a rigidez efetiva calculada, a deflexão total de curto prazo é calculada. Uma deflexão de 0.984 é alcançada.

O cálculo da deflexão total da viga sob cargas frequentes requer consideração dos diferentes componentes de deformação resultantes de vários tipos de carga e seus respectivos efeitos sobre o membro. Deformações de longo prazo e de curto prazo devem ser tratadas separadamente para determinar corretamente a deflexão real:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

• u_z,QP,lt: Esta deflexão é causada por cargas sustentadas a longo prazo e leva em conta os efeitos de fluência que o membro experimentará ao longo de um longo período de tempo. Esta é a deflexão calculada na Seção 1.

• u_z,tot,st: Deflexão total de curto prazo. Esta deformação ocorre imediatamente após a aplicação da carga frequente. Esta é a deflexão calculada nesta seção.

• u_z,QP,st: Deflexão total de curto prazo das cargas sustentadas a longo prazo. Esta deformação desenvolve-se diretamente após a aplicação das cargas sustentadas e representa a resposta instantânea do membro antes que os efeitos de fluência ocorram.

A deflexão total u_z,tot consiste da deflexão de longo prazo u_z,QP,lt devido a cargas sustentadas a longo prazo e a deflexão adicional de efeitos de curto prazo. Esta deflexão adicional é calculada como a diferença entre a deflexão total de curto prazo u_z,tot,st e a deflexão de curto prazo causada pelas cargas que induzem fluência u_z,QP,st. O gráfico a seguir ilustra isso claramente:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

\(u_{z,tot} = 0.420\,\text{in} + \left( 0.630\,\text{in} - 0.067\,\text{in} \right) = 0.984\,\text{in}\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.984\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 1.640 > 1 \) Neste caso, a deflexão total é maior que o limite e a verificação de projeto não é cumprida.

Em resumo, este exemplo demonstra o cálculo abrangente das deflexões de uma viga de concreto armado considerando tanto efeitos de curto quanto de longo prazo, incluindo fluência e retração. Usando o complemento RFEM Design de Concreto, a rigidez efetiva da viga foi determinada através de um método analítico que leva em conta estados não fissurados e fissurados, enrijecimento por tração e propriedades de material dependentes do tempo. A deflexão de longo prazo devido a cargas sustentadas foi primeiro calculada (0.420 in), seguida pela deflexão total de curto prazo sob cargas frequentes (0.984 in). Quando combinadas, a deflexão total (0.984 in) excede o limite permitido (0.600 in), resultando em uma razão de verificação de projeto de 1.64, indicando que a viga não atende aos requisitos de serviço. Isso destaca a importância crítica de modelar com precisão o comportamento do concreto dependente do tempo e as combinações de carga na análise de serviço.