Análise de flecha dependente do tempo de elementos de betão armado segundo a ACI 318 considerando efeitos a longo prazo (fluência e retração conforme ACI 435)

I. Dados de Entrada

1. Geometria

Sistema: Viga biapoiada Vão: l = 12 ft Largura da seção transversal: b = 93.0 in Altura da seção transversal: h = 6.0 in Profundidade efetiva: d = 6 – 0.650 – 0.3125 = 5.0375 in

2. Materiais

• Concreto

Resistência à compressão do concreto: f’c = 3,000 ksi Módulo de elasticidade: E = 3,122.019 ksi

Para considerar fluência e retração, as propriedades dependentes do tempo do concreto precisam ser ativadas:

Essas propriedades agora estão definidas para todos os membros e superfícies com este material atribuído. No entanto, é possível editar essas propriedades para um membro específico, editando estas propriedades nas opções da seção transversal daquele membro:

• Aço de Armadura

Resistência à cedência especificada: fy = 40,000 ksi Módulo de elasticidade: Es = 29,000.0 ksi Quantidade de armadura: 11 barras com diâmetro de 0.625 in Área da armadura: As,prov = 3.37 in² Taxa de armadura: ρ = 0.60%

3. Configuração de Serviço

Para deflexão dependente do tempo, a fluência e a retração podem ser consideradas usando duas abordagens diferentes:

• Fator dependente do tempo de acordo com a Tabela 24.2.4.1.3
• Propriedades dos materiais dependentes do tempo (fluência e retração) de acordo com ACI 435

Este exemplo utiliza a segunda abordagem; portanto, foi selecionada na configuração de serviço:

4. Casos de Carga e Combinações

As categorias de ações dos casos de carga são definidas conforme a ASCE 7.

• Caso de Carga 1 (LC1)

Categoria de Ação: Carga Morta (D) O Caso de Carga 1 inclui o peso próprio do membro e uma carga adicional distribuída uniformemente no membro com uma magnitude de 0.8 kip/ft.

• Caso de Carga 2 (LC2)

Categoria de Ação: Carga Viva (L) O Caso de Carga 2 consiste em uma carga distribuída uniformemente sobre o membro com uma magnitude de 1.6 kip/ft.

• Situações de Projeto

Para análise de flecha, uma situação de projeto é criada com base na Seção 2.4 (ASD) da ASCE 7 usando combinações de carga não fatoradas. O assistente de combinação de carga é ativado para esta situação de projeto para gerar automaticamente combinações de carga.

• Combinações de Carga

Duas combinações de carga são geradas:

• CO1: LC1
• CO2: LC1 + LC2

Na análise de flecha, a fluência e a retração em concreto armado são causadas apenas por cargas sustentadas de longo prazo, como o peso próprio da estrutura. Cargas de curto prazo, como cargas vivas, geralmente não contribuem significativamente para esses efeitos dependentes do tempo. Para capturar com precisão a fluência e a retração, é essencial definir cargas de longo prazo sustentadas na análise. As flechas resultantes dessas cargas sustentadas são então calculadas e subsequentemente incluídas na flecha total ao avaliar as combinações de carga relevantes. Isso garante que o comportamento de longo prazo da estrutura seja devidamente considerado na avaliação de serviço. Para contabilizar esses efeitos no cálculo complementar de concreto, uma situação de projeto separada deve ser criada. Esta situação de projeto é baseada na Seção 2.4 (ASD) da ASCE 7. Nenhum assistente de combinação é atribuído, pois a combinação de carga será criada manualmente, permitindo controle preciso sobre quais cargas de longo prazo sustentadas contribuem para a fluência e retração.

Para indicar ao complemento de projeto de concreto qual situação de projeto inclui a combinação de carga de longo prazo sustentada, o tipo de estado limite da situação de projeto é definido como Projeto de Serviço | Longo Prazo Sustentado. Uma combinação de carga com a nova situação de projeto (DS2) é então criada. Neste exemplo, apenas o peso próprio é assumido como atuando como a carga de longo prazo sustentada que contribui para a fluência e retração. Portanto, uma combinação de carga incluindo apenas o peso próprio (LC1) é definida para capturar os efeitos dependentes do tempo com precisão. A combinação de carga criada CO3 é então usada para calcular a deflexão de longo prazo do membro devido à carga sustentada. Para incluir esta deflexão ao avaliar a deflexão total, CO3 é atribuída como a combinação de carga correspondente (CO) para as duas combinações de carga do DS2. Com a carga correspondente atribuída, a detecção do estado de fissura na configuração de serviço é definida como “Estado de fissura da CO correspondente da situação de projeto de SLS da carga associada”. Isso garante que o coeficiente de distribuição ζd seja calculado como o valor máximo em todas as cargas correspondentes.

II. Cálculo de Projeto de Concreto

Para análise de deformação no complemento de Projeto de Concreto, um método analítico é usado para estruturas 2D e elementos 1D que são submetidos a forças axiais e momentos de flexão. Isso é baseado na determinação de rigidezes efetivas (método de rigidez efetiva) no plano da seção transversal, levando em conta o estado de fissura, bem como efeitos como enrijecimento por tração e efeito simples de longo prazo.

1. Calculando a Deflexão Devido à Carga Sustentada de Longo Prazo

a. Curvatura para o estado não fissurado

Esta seção apresenta o cálculo da deflexão de longo prazo do membro sob CO3 (peso próprio, incluindo os efeitos de fluência e retração). A verificação de projeto é realizada na localização crítica x = 6.0 ft, onde apenas um momento fletor de M_y,u = 14.40 kipft está presente. A força axial nesta localização é P_u = 0.

Efeitos de fluência são considerados reduzindo o módulo de elasticidade. A influência da fluência é incorporada usando o coeficiente último de fluência 𝜑: Módulo de Elasticidade Efetivo do Concreto: \(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{c}}}{1 + \phi}\) \(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{3122.020\,\mathrm{ksi}}{1 + 3.200} = 743.319\,\mathrm{ksi}\)

Razão Modular Efetiva: \(\alpha_{e} = \dfrac{E_{s}}{E_{c,eff}}\) \(\alpha_{e} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{743.319\,\mathrm{ksi}} = 39.01\)

Razão Modular Efetiva (carregamento de curto prazo): \(\alpha_{e,st} = \dfrac{E_{s}}{E_{c}}\) \(\alpha_{e,st} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{3122.020\,\mathrm{ksi}} = 9.29\)

As razões modulares efetivas são usadas para calcular os parâmetros geométricos para o estado não fissurado (curto e longo prazo) e o estado fissurado:

Estado I - Estado Não Fissurado
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de concreto em compressão (determinada para o estado não fissurado)	zI	3.389	in
Área efetiva da seção no estado não fissurado	AI	689.664	in2
Momento de inércia efetivo para o centro de gravidade ideal no estado não fissurado	Iy,I	2116.230	in4
Excentricidade do centro de gravidade ideal da seção no estado não fissurado	ez,I	0.389	in

Estado I - Estado Não Fissurado - Carregamento de Curto Prazo
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de concreto em compressão (determinada para o estado não fissurado)	zI,st	3.108	in
Área efetiva da seção no estado não fissurado	AI,st	589.348	in2
Momento de inércia efetivo para o centro de gravidade ideal no estado não fissurado	Iy,I,st	1797.210	in4

Retração: A retração causa uma força axial adicional na armadura. Devido à excentricidade da armadura até o centro de gravidade da seção ideal, uma curvatura adicional causada pela retração está presente.

A força adicional devida à retração é então calculada: \( \mathrm{P_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bottom)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (top)}} \right) \)

\( \mathrm{P_{sh}} = -29000.000\,\mathrm{ksi} \cdot -0.600000\,\text{‰} \cdot \left( 3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2} \right) = 58.721\,\mathrm{kip} \)

A excentricidade da força de retração ao centro de gravidade da seção ideal no estado não fissurado é então:

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{A_{s,def,+z (bottom)} \cdot d_{def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)} \cdot d_{def,-z (top)}}{A_{s,def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)}} - \mathrm{z_{I}}\)

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{3.37\,\mathrm{in^2} \cdot 5.037\,\mathrm{in} + 0.00\,\mathrm{in^2} \cdot 3.000\,\mathrm{in}}{3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2}} - 3.389\,\mathrm{in} = 1.649\,\mathrm{in}\)

Como resultado o Momento Fletor causado pela força axial P_sh: \(\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{P_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}\)

\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = 58.721\,\mathrm{kip} \cdot 1.649\,\mathrm{in} = 8.07\,\mathrm{kipft}\)

Um coeficiente de curvatura para o estado não fissurado é então determinado. Ele indica como o momento de retração atua em relação à força axial e sua excentricidade. Ele mostra como a distribuição de forças de retração e a localização do centroide influenciam as deformações do elemento. Este valor é crucial para descrever completamente as deformações da seção transversal causadas pela retração: \(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}\)

\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{8.07\,\mathrm{kipft} + 14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}} = 1.560\)

A curvatura total para o estado não fissurado pode agora ser calculada:

\(\kappa_{y,I} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}\) \(\kappa_{y,I} = 1.560 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 2116.230\,\mathrm{in^4}} = 2.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

b. Curvatura para o Estado Fissurado

Estado II - Estado Fissurado -
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Profundidade da zona de compressão no estado fissurado	cII	2.618	in
Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de concreto em compressão (determinada para o estado fissurado)	zII	2.618	in2
Área efetiva da seção no estado fissurado	AII	375.100	in2
Momento de inércia efetivo para o centro de gravidade ideal no estado fissurado	Iy,II	1326.990	in4
Excentricidade do centro de gravidade ideal da seção no estado fissurado	ez,II	-0.382	in

Retração - Estado Fissurado
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Excentricidade da força de retração em relação ao centro de gravidade da seção ideal no estado fissurado	esh,z,II	2.420	in
Momento de flexão causado pela força axial Nsh para o estado fissurado	Msh,y,II	11.84	kipft
Coeficiente de curvatura para o estado fissurado	ksh,y,II	1.822	-

\(\kappa_{y,II} = \mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}\) \(\kappa_{y,II} = 1.822 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot (-0.382\,\mathrm{in})}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 1326.990\,\mathrm{in^4}} = 3.8\,\mathrm{mrad/ft}\)

c. Curvatura para Estados Não Fissurados e Fissurados

A tensão máxima no estado não fissurado sob carregamento de curto prazo e de longo prazo é calculada e então comparada. O maior dos dois valores é usado para determinar o coeficiente de distribuição.

Tensão máxima no estado não fissurado
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Tensão máxima no estado não fissurado (carregamento de longo prazo)	fmax,lt	0.418	ksi
Tensão máxima no estado não fissurado (carregamento de curto prazo)	fmax,st	0.278	ksi

O fator de distribuição é calculado usando a seguinte fórmula: \(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot f_{r}}{f_{max}} \right)^2\) \(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot 0.411\,\mathrm{ksi}}{0.418\,\mathrm{ksi}} \right)^2 = 0.570\)

\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + (1 - \zeta_{d}) \cdot \kappa_{y,I}\) \(\kappa_{y,f} = 0.570 \cdot 3.8\,\mathrm{mrad/ft} + (1 - 0.570) \cdot 2.1\,\mathrm{mrad/ft} = 3.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

d. Rigidez Final

Usando o coeficiente de distribuição obtido juntamente com os parâmetros da seção transversal nos estados fissurados e não fissurados, os parâmetros de seção transversal efetiva podem agora ser determinados:

Parâmetros de seção transversal efetiva
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Área da seção ideal	Af	466.537	in2
Momento de inércia ideal ao centro ideal da seção	Iy,f	909.112	in4
Excentricidade do centróide	ez,f	-0.135	in
Momento de inércia ideal ao centro geométrico da seção	Iy,0,f	917.601	in4

Como, neste exemplo, a única força interna presente é o momento fletor, apenas a rigidez de flexão tangencial é relevante:

\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}\) \(\mathrm{EI_{y,0,f}} = 743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 917.601\,\mathrm{in^4} = 4736.60\,\mathrm{kipft^2}\)

Com a rigidez efetiva calculada recentemente, uma nova análise estática é então realizada para obter a deflexão:

Uma deflexão vertical de 0,420 in é obtida no meio do vão da viga.

A deflexão limite é definida como: \(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}\)

\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{12.00\,\mathrm{ft}}{240.000} = 0.600\,\mathrm{in}\)

Com base nisso, a relação de verificação de projeto é calculada como: \(\eta = \left|\dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}}\right|\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.420\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 0.701\)

2. Calculando a Carga Total de Deflexão

Para a deflexão total, CO2 (LC1 + LC2) é a combinação de carga dominante. Um momento fletor de 43.20 kipft está presente. Como apenas cargas sustentadas causam fluência e retração, os efeitos de fluência não são considerados ao calcular as propriedades da seção transversal para cargas de curto prazo. Portanto, o módulo de elasticidade efetivo do concreto E_c é usado para o cálculo, e o coeficiente de curvatura de retração é definido como 1.0.

a. Curvatura para o Estado Não Fissurado

Os parâmetros geométricos no estado não fissurado correspondem aos parâmetros geométricos de curto prazo da carga sustentada:

Estado I - Estado Não Fissurado
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de concreto em compressão (determinada para o estado não fissurado)	zI	3.108	in
Área efetiva da seção no estado não fissurado	AI	589.348	in2
Momento de inércia efetivo para o centro de gravidade ideal no estado não fissurado	Iy,I	1797.210	in4
Excentricidade do centro de gravidade ideal da seção no estado não fissurado	ez,I	0.108	in

A curvatura no estado não fissurado é então calculada: \(\kappa_{y,I} = k_{sh,y,I} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,I}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,I}} \)

\(\kappa_{y,I} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot 0.108\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 1797.210\,\text{in}^4} = 1.1\,\text{mrad/ft}\)

b. Curvatura para o Estado Fissurado

Os parâmetros geométricos no estado fissurado para cargas de curto prazo são determinados sem considerar os efeitos de fluência:

Estado II - estado fissurado
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Profundidade da zona de compressão no estado fissurado	cII	1.536	in
Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de concreto em compressão (determinada para o estado fissurado)	zII	1.536	in
Área efetiva da seção no estado fissurado	AII	174.226	in2
Momento de inércia efetivo para o centro de gravidade ideal no estado fissurado	Iy,II	496.674	in4

A curvatura no estado fissurado é então calculada: \(\kappa_{y,II} = k_{sh,y,II} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,II}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,II}}\)

\(\kappa_{y,II} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot (-1.464)\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 496.674\,\text{in}^4} = 4.0\,\text{mrad/ft}\)

c. Curvatura a partir dos estados não fissurados e fissurados

Para o cálculo do fator de distribuição, a tensão máxima no estado não fissurado para esta seção transversal é necessária: \(f_{max} = \frac{P_{u}}{A_{I}} + \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot \left( z_{I} - \frac{h}{2} \right)}{I_{y,I}} \cdot \left( h - z_{I} \right)\)

O fator de distribuição resultante é então: \(f_{max} = \frac{0.000\,\text{kip}}{589.348\,\text{in}^2} + \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot \left( 3.108\,\text{in} - \frac{6.000\,\text{in}}{2} \right)}{1797.210\,\text{in}^4} \cdot \left( 6.000\,\text{in} - 3.108\,\text{in} \right) = 0.834\,\text{ksi}\)

A curvatura final é finalmente calculada: \(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + \left( 1 - \zeta_{d} \right) \cdot \kappa_{y,I}\)

\(\kappa_{y,f} = 0.892 \cdot 4.0\,\text{mrad/ft} + \left( 1 - 0.892 \right) \cdot 1.1\,\text{mrad/ft} = 3.7\,\text{mrad/ft}\)

d. Rigidez Final

Os parâmetros da seção transversal efetiva podem agora ser determinados:

Parâmetros da seção transversal efetiva
Descrição	Símbolo	Valor	Unidade
Área da seção ideal	Af	188.543	in2
Momento de inércia ideal ao centro ideal da seção	Iy,f	538.700	in4
Excentricidade do centróide	ez,f	-1.413	in
Momento de inércia ideal ao centro geométrico da seção	Iy,0,f	915.074	in4

A rigidez Pode ser calculada: \(EI_{y,0,f} = E_{c,eff} \cdot I_{y,0,f}\)

\(EI_{y,0,f} = 3122.020\,\text{ksi} \cdot 915.074\,\text{in}^4 = 19839.40\,\text{kipft}^2\)

Usando a rigidez efetiva calculada, a deflexão total de curto prazo é calculada. Uma deflexão de 0.984 é alcançada.

O cálculo da deflexão total da viga sob cargas frequentes requer consideração dos diferentes componentes de deformação resultantes de vários tipos de carga e seus respectivos efeitos sobre o membro. Deformações de longo prazo e de curto prazo devem ser tratadas separadamente para determinar corretamente a deflexão real:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

• u_z,QP,lt: Esta deflexão é causada por cargas sustentadas de longo prazo e leva em conta os efeitos de fluência que o membro experimentará ao longo de um longo período de tempo. Esta é a deflexão calculada na Seção 1.

• u_z,tot,st: Deflexão total de curto prazo. Esta deformação ocorre imediatamente após a aplicação da carga frequente. Esta é a deflexão calculada nesta seção.

• u_z,QP,st: Deflexão total de curto prazo das cargas de longo prazo sustentadas. Esta deformação desenvolve diretamente após a aplicação de cargas sustentadas e representa a resposta instantânea do membro antes que os efeitos de fluência ocorram.

A deflexão total u_z,tot consiste na deflexão de longo prazo u_z,QP,lt devido a cargas de longo prazo sustentadas e na deflexão adicional de efeitos de curto prazo. Esta deflexão adicional é calculada como a diferença entre a deflexão total de curto prazo u_z,tot,st e a deflexão de curto prazo causada pelas cargas indutoras de fluência u_z,QP,st. O seguinte gráfico ilustra isso claramente:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

\(u_{z,tot} = 0.420\,\text{in} + \left( 0.630\,\text{in} - 0.067\,\text{in} \right) = 0.984\,\text{in}\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.984\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 1.640 >1 \) Neste caso, a deflexão total é maior que o limite e a verificação de projeto não é cumprida.

Em resumo, este exemplo demonstra o cálculo abrangente das deflexões da viga de concreto armado considerando efeitos de curto prazo e de longo prazo, incluindo fluência e retração. Usando o complemento de Projeto de Concreto do RFEM, a rigidez efetiva da viga foi determinada por meio de um método analítico que considera estados não fissurados e fissurados, enrijecimento por tração e propriedades dos materiais dependentes do tempo. A deflexão de longo prazo devido a cargas sustentadas foi calculada primeiro (0.420 in), seguida pela deflexão total de curto prazo sob cargas frequentes (0.984 in). Quando combinada, a deflexão total (0.984 in) excede o limite permitido (0.600 in), resultando em uma relação de verificação de projeto de 1.64, indicando que a viga não satisfaz os requisitos de serviço. Isso destaca a importância crítica de modelar com precisão o comportamento dependente do tempo do concreto e as combinações de carga na análise de serviço.