Analyse des flèches en fonction du temps pour des barres en béton armé selon l’ACI 318 en considérant les effets à long terme (fluage et retrait selon ACI 435)

I. Données d’entrée

1. Géométrie

Système : Poutre à travée unique
Portée : l = 12 ft
Largeur de la section : b = 93,0 in
Hauteur de la section : h = 6,0 in
Hauteur efficace : d = 6 – 0,650 – 0,3125 = 5 0375 in

2. Matériaux

• Béton

Résistance en compression du béton : f’c = 3 000 ksi
Module d’élasticité : E = 3 122.019 ksi

Pour prendre en compte le fluage et le retrait, les propriétés dépendantes du temps du béton doivent être activées :

Ces propriétés sont maintenant définies pour toutes les barres et surfaces auxquelles ce matériau est assigné. Cependant, ces propriétés peuvent être modifiées pour une barre spécifique dans les options de la section de cette barre :

• Acier de béton armé

Limite d’élasticité spécifiée : fy = 40 000 ksi
Module d’élasticité : Es = 29 000,0 ksi
Quantité d’armatures : 11 barres de 0.625 in de diamètre
Surface d’armature : As,prév = 3,37 in²
Taux d’armature : ρ = 0,60 %

3. Configuration pour l’ELS

Pour la déformation dépendante du temps, le fluage et le retrait peuvent être pris en compte par deux approches différentes :

• Facteur dépendant du temps selon le Tableau 24.2.4.1.3
• Propriétés de matériau dépendantes du temps (fluage et retrait) selon ACI 435

Cet exemple utilise la deuxième approche qui est donc sélectionnée dans la configuration pour l’ELS :

4. Cas de charges et combinaisons

Les catégories d’action pour les cas de charge sont définies conformément à l’ASCE 7.

• Cas de charge 1 (CC1)

Catégorie d’action : Charge permanente (D)
Le cas de charge 1 inclut le poids propre de la barre et une charge supplémentaire de barre uniformément distribuée, de magnitude 0,8 kip/ft.

• Cas de charge 2 (CC2)

Catégorie d’action : Charge permanente (L)
Le cas de charge 2 consiste en une charge de barre uniformément distribuée, de magnitude 1,6 kip/ft.

• Situations de projet

Pour l’analyse de la flèche, une situation de projet est créée sur la base de la clause 2.4 (ASD) de l'ASCE 7 à l’aide de combinaisons de charge non pondérées. L’assistant de combinaison de charges est activé pour cette situation de projet pour générer automatiquement des combinaisons de charges.

• Combinaisons de charges

Deux combinaisons de charges sont générées :

• CO1 : CC1
• CO2 : CC1 + CC2

Dans l’analyse de la flèche, le fluage et le retrait dans le béton armé sont causés uniquement par des charges soutenues à long terme, telles que le poids propre de la structure. Les charges à court terme, telles que les charges d’exploitation, ne contribuent généralement pas de manière significative à ces effets dépendant du temps.
Pour capturer avec précision le fluage et le retrait, définir des charges soutenues sur le long terme dans l’analyse est essentiel. Les flèches résultant de ces charges soutenues sont ensuite calculées et incluses dans la flèche totale lors de l’évaluation des combinaisons de charges correspondantes. Cela permet d’assurer que le comportement à long terme de la structure est correctement pris en compte dans la vérification à l’ELS.
Pour prendre en compte ces effets dans le calcul de l'add-on béton, une situation de conception distincte doit être créée. Cette situation de conception est basée sur la Section 2.4 (ASD) de l'ASCE 7. Aucun assistant de combinaison n'est assigné, car la combinaison de charges sera créée manuellement, permettant un contrôle précis des charges soutenues à long terme qui contribuent au fluage et au retrait.

Pour indiquer à au module complémentaire Vérification du béton quelle situation de projet inclut la combinaison de charge soutenue sur le long terme, le type d’état limite de la situation de projet est défini sur Vérification à l’ELS | Durable à long terme.

Une combinaison de charges avec la nouvelle situation de projet (SP2) est ensuite créée. Dans cet exemple, seul le poids propre est supposé agir comme charge soutenue à long terme contribuant au fluage et au retrait. Par conséquent, une combinaison de charges incluant seulement le poids propre (CC1) est définie pour capturer les effets dépendant du temps avec précision.

La combinaison de charges CO3 créée est ensuite utilisée pour calculer la flèche à long terme de la barre due la charge soutenue. Pour inclure cette flèche lors de l’évaluation de la flèche totale, CO3 est assignée comme la combinaison de charges correspondante (CO) pour les deux combinaisons de charges de SP2.

Avec la charge correspondante assignée, la détection de l’état fissuré dans la configuration pour l’ELS est définie sur « État fissuré d'après la CO correspondante de la situation de projet à l'ELS d'après la charge associée ». Cela permet d’assurer le calcul du coefficient de distribution ζd comme la valeur maximale sur toutes les charges correspondantes.

II. Calcul de vérification du béton

Pour l’analyse de déformation dans le module complémentaire Vérification du béton, une méthode analytique est utilisée pour les structures 2D et les éléments 1D soumis à des efforts normaux et des moments fléchissants. Cela repose sur la détermination des rigidités efficaces (méthode de rigidité efficace) sur le plan de la section, en tenant compte de l’état fissuré ainsi que d’effets comme le raidissement en traction et l’effet à long terme simple.

1. Calcul de la flèche due à la charge soutenue à long terme

a. Courbure pour l’état non fissuré

Cette section présente le calcul de la flèche à long terme de l'élément sous CO3 (poids propre, y compris les effets du fluage et du retrait). La vérification est effectuée à la position critique x = 6,0 ft, où seul un moment fléchissant M_y,u = 14,40 kipft est présent. L’effort normal à cet endroit est P_u = 0.

Les effets de fluage sont pris en compte en réduisant le module d’élasticité. L’influence du fluage est incorporée en utilisant le coefficient final de fluage 𝜑 :
Module d’élasticité effectif du béton :
\(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{c}}}{1 + \phi}\)
\(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{3122.020\,\mathrm{ksi}}{1 + 3.200} = 743.319\,\mathrm{ksi}\)

Rapport modulaire effectif :
\(\alpha_{e} = \dfrac{E_{s}}{E_{c,eff}}\)
\(\alpha_{e} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{743.319\,\mathrm{ksi}} = 39.01\)

Rapport modulaire effectif (charge à court terme) :
\(\alpha_{e,st} = \dfrac{E_{s}}{E_{c}}\)
\(\alpha_{e,st} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{3122.020\,\mathrm{ksi}} = 9.29\)

Les rapports modulaires effectifs sont utilisés pour calculer les paramètres géométriques pour l’état non fissuré (court et long terme) et l’état fissuré :

État I - État non fissuré
Description	Symbole	Valeur	Unité
Distance du centre de gravité de la section idéale par rapport à la surface en béton en compression (déterminé pour l’état non fissuré)	zI	3.389	in
Surface de section efficace dans l’état non fissuré	AI	689.664	in2
Moment d’inertie efficace au centre de gravité idéal dans l’état non fissuré	Iy,I	2116.230	in4
Excentrement du centre de gravité idéal de la section dans l’état non fissuré	ez,I	0.389	in

État I - État non fissuré - Charge à court terme
Description	Symbole	Valeur	Unité
Distance du centre de gravité de la section idéale par rapport à la surface en béton en compression (déterminé pour l’état non fissuré)	zI,st	3.108	in
Aire de section efficace dans l’état non fissuré	AI,st	589.348	in2
Moment d’inertie efficace au centre de gravité idéal dans l’état non fissuré	Iy,I,st	1797.210	in4

Retrait :
Le retrait provoque un effort normal supplémentaire dans les armatures. En raison de l’excentrement des armatures par rapport au centre de gravité de la section idéale, une courbure additionnelle causée par le retrait est présente.

La force additionnelle due au retrait est ensuite calculée :
\( \mathrm{P_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bottom)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (top)}} \right) \)

\( \mathrm{P_{sh}} = -29000.000\,\mathrm{ksi} \cdot -0.600000\,‰ \cdot \left( 3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2} \right) = 58.721\,\mathrm{kip} \)

L’excentrement de la force de retrait par rapport au centre de gravité de la section idéale dans l’état non fissuré est alors :

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{A_{s,def,+z (bottom)} \cdot d_{def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)} \cdot d_{def,-z (top)}}{A_{s,def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)}} - \mathrm{z_{I}}\)

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{3.37\,\mathrm{in^2} \cdot 5.037\,\mathrm{in} + 0.00\,\mathrm{in^2} \cdot 3.000\,\mathrm{in}}{3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2}} - 3.389\,\mathrm{in} = 1.649\,\mathrm{in}\)

En conséquence, le moment fléchissant causé par l’effort normal P_sh :
\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{P_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}\)

\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = 58.721\,\mathrm{kip} \cdot 1.649\,\mathrm{in} = 8.07\,\mathrm{kipft}\)

Un coefficient de courbure pour l’état non fissuré est ensuite déterminé. Il indique comment le moment de retrait agit par rapport à l’effort normal et son excentrement. Il montre comment la distribution des forces de retrait et l’emplacement du centre de gravité influencent les déformations de l’élément. Cette valeur est cruciale pour décrire pleinement les déformations de la section causées par le retrait :
\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}\)

\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{8.07\,\mathrm{kipft} + 14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}} = 1.560\)

La courbure totale pour l’état non fissuré peut maintenant être calculée :

\(\kappa_{y,I} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}\)
\(\kappa_{y,I} = 1.560 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 2116.230\,\mathrm{in^4}} = 2.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

b. Courbure pour l'état fissuré

État II - État fissuré -
Description	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur de la zone de compression dans l’état fissuré	cII	2.618	in
Distance du centre de gravité de la section idéale par rapport à la surface en béton en compression (déterminé pour l’état fissuré)	zII	2.618	in2
Aire de section efficace dans l’état fissuré	AII	375.100	in2
Moment d’inertie efficace au centre de gravité idéal dans l’état fissuré	Iy,II	1326.990	in4
Excentrement du centre de gravité idéal de la section dans l’état fissuré	ez,II	-0.382	in

Retrait - État fissuré
Description	Symbole	Valeur	Unité
Excentrement de la force de retrait par rapport au centre de gravité de la section idéale dans l’état fissuré	esh,z,II	2.420	in
Moment fléchissant causé par l’effort normal Nsh pour l’état fissuré	Msh,y,II	11.84	kipft
Coefficient de courbure pour l’état fissuré	ksh,y,II	1.822	-

\(\kappa_{y,II} = \mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}\)
\(\kappa_{y,II} = 1.822 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot (-0.382\,\mathrm{in})}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 1326.990\,\mathrm{in^4}} = 3.8\,\mathrm{mrad/ft}\)

c. Courbure pour les états non fissurés et fissurés

La contrainte maximale dans l'état non fissuré sous chargement à court et à long terme est calculée puis comparée. La plus grande des deux valeurs est utilisée pour déterminer le coefficient de distribution.

Contrainte maximale dans l'état non fissuré
Description	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte maximale dans l’état non fissuré (chargement à long terme)	fmax,lt	0.418	ksi
Contrainte maximale dans l’état non fissuré (chargement à court terme)	fmax,st	0.278	ksi

Le facteur de distribution est calculé avec la formule suivante :
\(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot f_{r}}{f_{max}} \right)^2\)
\(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot 0.411\,\mathrm{ksi}}{0.418\,\mathrm{ksi}} \right)^2 = 0.570\)

\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + (1 - \zeta_{d}) \cdot \kappa_{y,I}\)
\(\kappa_{y,f} = 0.570 \cdot 3.8\,\mathrm{mrad/ft} + (1 - 0.570) \cdot 2.1\,\mathrm{mrad/ft} = 3.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

d. Rigidité finale

En utilisant le coefficient de distribution obtenu avec les paramètres de la section dans les états fissurés et non fissurés, les paramètres de section efficace peuvent maintenant être déterminés :

Paramètres de la section efficace
Description	Symbole	Valeur	Unité
Aire de section idéale	Af	466.537	in2
Moment d’inertie idéal au centre idéal de la section	Iy,f	909.112	in4
Excentricité du centroïde	ez,f	-0.135	in
Moment d’inertie idéal au centre géométrique de la section	Iy,0,f	917.601	in4

Puisqu’à titre d’exemple, le seul effort interne présent est le moment fléchissant, seule la raideur tangentielle en flexion est pertinente :

\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}\)
\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = 743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 917.601\,\mathrm{in^4} = 4736.60\,\mathrm{kipft^2}\)

Avec la nouvelle rigidité effective calculée, une nouvelle analyse statique est ensuite effectuée pour obtenir la flèche :

Une flèche verticale de 0.420 in est obtenue à mi-longueur de la poutre.

La flèche limite est définie comme suit :
\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}\)

\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{12.00\,\mathrm{ft}}{240.000} = 0.600\,\mathrm{in}\)

Sur cette base, le ratio de vérification est calculé comme suit :
\(\eta = \left|\dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}}\right|\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.420\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 0.701\)

2. Calcul de la charge de flèche totale

Pour la flèche totale, CO2 (CC1 + CC2) est la combinaison de charges déterminante. Un moment fléchissant de 43,20 kipft est présent.
Puisque seules les charges soutenues causent le fluage et le retrait, les effets de fluage ne sont pas pris en compte lors du calcul des propriétés de section pour les charges à court terme. Par conséquent, le module d’élasticité effectif du béton E_c est utilisé pour le calcul, et le coefficient de courbure de retrait est défini à 1,0.

a. Courbure pour l’état non fissuré

Les paramètres géométriques dans l’état non fissuré correspondent aux paramètres géométriques à court terme de la charge soutenue :

État I - État non fissuré
Description	Symbole	Valeur	Unité
Distance du centre de gravité de la section idéale par rapport à la surface en béton en compression (déterminée pour l’état non fissuré)	zI	3.108	in
Aire de section efficace dans l’état non fissuré	AI	589.348	in2
Moment d’inertie efficace au centre de gravité idéal dans l’état non fissuré	Iy,I	1797.210	in4
Excentrement du centre de gravité idéal de la section dans l’état non fissuré	ez,I	0.108	in

La courbure dans l’état non fissuré est ensuite calculée :
\(\kappa_{y,I} = k_{sh,y,I} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,I}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,I}} \)

\(\kappa_{y,I} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot 0.108\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 1797.210\,\text{in}^4} = 1.1\,\text{mrad/ft}\)

b. Courbure pour l’état fissuré

Les paramètres géométriques dans l’état fissuré pour les charges à court terme sont déterminés sans prendre en compte les effets de fluage :

État II - état fissuré
Description	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur de la zone de compression dans l’état fissuré	cII	1.536	in
Distance du centre de gravité de la section idéale par rapport à la surface en béton en compression (déterminée pour l’état fissuré)	zII	1.536	in
Aire de section efficace dans l’état fissuré	AII	174.226	in2
Moment d’inertie efficace au centre de gravité idéal dans l’état fissuré	Iy,II	496.674	in4

La courbure dans l’état fissuré est ensuite calculée :
\(\kappa_{y,II} = k_{sh,y,II} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,II}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,II}}\)

\(\kappa_{y,II} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot (-1.464)\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 496.674\,\text{in}^4} = 4.0\,\text{mrad/ft}\)

c. Courbure des états non fissurés et fissurés

Pour le calcul du facteur de distribution, la contrainte maximale dans l’état non fissuré pour cette section est requise :
\(f_{max} = \frac{P_{u}}{A_{I}} + \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot \left( z_{I} - \frac{h}{2} \right)}{I_{y,I}} \cdot \left( h - z_{I} \right)\)

Le facteur de distribution résultant est alors :
\(f_{max} = \frac{0.000\,\text{kip}}{589.348\,\text{in}^2} + \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot \left( 3.108\,\text{in} - \frac{6.000\,\text{in}}{2} \right)}{1797.210\,\text{in}^4} \cdot \left( 6.000\,\text{in} - 3.108\,\text{in} \right) = 0.834\,\text{ksi}\)

La courbure finale est finalement calculée :
\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + \left( 1 - \zeta_{d} \right) \cdot \kappa_{y,I}\)

\(\kappa_{y,f} = 0.892 \cdot 4.0\,\text{mrad/ft} + \left( 1 - 0.892 \right) \cdot 1.1\,\text{mrad/ft} = 3.7\,\text{mrad/ft}\)

d. Rigidité finale

Les paramètres de la section efficace peuvent maintenant être déterminés :

Paramètres de la section efficace
Description	Symbole	Valeur	Unité
Aire de section idéale	Af	188.543	in2
Moment d’inertie idéal au centre idéal de la section	Iy,f	538.700	in4
Excentrement du centre de gravité	ez,f	-1.413	in
Moment d’inertie idéal au centre géométrique de la section	Iy,0,f	915.074	in4

La rigidité en flexion peut maintenant être calculée :
\(EI_{y,0,f} = E_{c,eff} \cdot I_{y,0,f}\)

\(EI_{y,0,f} = 3122.020\,\text{ksi} \cdot 915.074\,\text{in}^4 = 19839.40\,\text{kipft}^2\)

À l’aide de la rigidité efficace calculée, la flèche totale à court terme est calculée. Une flèche de 0,984 est atteinte.

Le calcul de la flèche totale de la poutre sous charges fréquentes nécessite la prise en compte des différentes composantes de déformation résultant de divers types de charges et de leurs effets respectifs sur la barre. Les déformations à long et à court terme doivent être traitées séparément afin de déterminer correctement la flèche réelle :

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

• u_z,QP,lt : cette flèche est causée par des charges soutenues à long terme et prend en compte les effets de fluage que la barre subira sur une longue période. C’est la flèche calculée dans la section 1.

• u_z,tot,st: flèche totale à court terme. Cette déformation se produit immédiatement après application de la charge fréquente. C’est la flèche calculée dans cette section.

• u_z,QP,st: flèche totale à court terme des charges soutenues à long terme. Cette déformation se développe directement après l'application des charges soutenues et représente la réponse instantanée de la barre avant apparition des effets de fluage.

La flèche totale u_z,tot se compose de la flèche à long terme u_z,QP,lt due aux charges soutenues à long terme et de la flèche supplémentaire des effets à court terme. Cette flèche supplémentaire est calculée comme la différence entre la flèche totale à court terme u_z,tot,st et la flèche à court terme causée par les charges induisant le fluage u_z,QP,st. Le graphique suivant illustre clairement cela :

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

\(u_{z,tot} = 0,420\,\text{in} + \left( 0.630\,\text{in} - 0.067\,\text{in} \right) = 0,984\,\text{in}\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.984\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 1,640 >1 \)
Dans ce cas, la flèche totale est supérieure à la limite et la vérification n’est pas réussie.

En résumé, cet exemple démontre le calcul complet des flèches des poutres en béton armé en tenant compte à la fois des effets à court et à long terme, y compris le fluage et le retrait. En utilisant le module complémentaire Vérification du béton RFEM, la rigidité efficace de la poutre a été déterminée par une méthode analytique tenant compte des états non fissurés et fissurés, du raidissement en traction et des propriétés matérielles dépendantes du temps. La flèche à long terme due aux charges soutenues a d’abord été calculée (0,420 in), suivie de la flèche totale à court terme sous charges fréquentes (0,984 in). Lorsqu’elles sont combinées, la flèche totale (0,984 in) dépasse la limite admissible (0,600 in), résultant en un ratio de vérification de 1,64. Cela indique une poutre non-conforme aux exigences de service. Cela souligne l’importance critique de modéliser avec précision le comportement concret dépendant du temps et les combinaisons de charges dans la vérification à l’ELS.