Analyse des flèches en fonction du temps pour des barres en béton armé selon l’ACI 318 en considérant les effets à long terme (fluage et retrait selon ACI 435)

I. Données d'entrée

1. Géométrie

Système : Poutre à une travée Tranche : l = 12 ft Largeur de la section transversale : b = 93.0 in Hauteur de la section transversale : h = 6.0 in Profondeur effective : d = 6 – 0.650 – 0.3125 = 5.0375 in

2. Matériaux

• Béton

Résistance à la compression du béton : f’c = 3,000 ksi Module d'élasticité : E = 3,122.019 ksi

Pour prendre en compte le fluage et le retrait, les propriétés dépendantes du temps du béton doivent être activées :

Ces propriétés sont maintenant définies pour tous les éléments et surfaces avec ce matériau affecté. Il est toutefois possible de modifier ces propriétés pour un élément spécifique en éditant ces propriétés dans les options de section correspondante de cet élément :

• Acier d'armature

Résistance à la limite d'élasticité spécifiée : fy = 40,000 ksi Module d'élasticité : Es = 29,000.0 ksi Quantité d'armature : 11 barres de 0.625 in de diamètre Aire d'armature : As,prov = 3.37 in² Taux d'armature : ρ = 0.60%

3. Configuration de l'aptitude au service

Pour la flèche dépendant du temps, le fluage et le retrait peuvent être pris en compte en utilisant deux approches différentes :

• Facteur dépendant du temps selon le Tableau 24.2.4.1.3
• Propriétés des matériaux dépendant du temps (fluage et retrait) selon ACI 435

Cet exemple utilise la deuxième approche ; elle est donc sélectionnée dans la configuration de l'aptitude au service :

4. Cas de charge et combinaisons

Les catégories d'actions des cas de charge sont définies conformément à l'ASCE 7.

• Cas de charge 1 (LC1)

Catégorie d'action : Charge permanente (D) Le Cas de charge 1 inclut le poids propre de l'élément et une charge supplémentaire uniformément répartie avec une intensité de 0.8 kip/ft.

• Cas de charge 2 (LC2)

Catégorie d'action : Charge d'exploitation (L) Le Cas de charge 2 consiste en une charge uniformément répartie avec une intensité de 1.6 kip/ft.

• Situations de conception

Pour l'analyse des flèches, une situation de conception est créée sur la base de l'ASCE 7, Section 2.4 (ASD) en utilisant des combinaisons de charge non pondérées. L'assistant de combinaison de charge est activé pour cette situation de conception afin de générer automatiquement des combinaisons de charge.

• Combinaisons de charge

Deux combinaisons de charge sont générées :

• CO1 : LC1
• CO2 : LC1 + LC2

Dans l'analyse des flèches, le fluage et le retrait dans le béton armé sont causés uniquement par des charges permanentes et soutenues de longue durée, telles que le poids propre de la structure. Les charges de courte durée, telles que les charges d'exploitation, ne contribuent généralement pas significativement à ces effets dépendant du temps. Pour capturer avec précision le fluage et le retrait, il est essentiel de définir des charges permanentes de longue durée dans l'analyse. Les flèches résultant de ces charges soutenues sont ensuite calculées et incluses dans la flèche totale lors de l'évaluation des combinaisons de charges pertinentes. Cela garantit que le comportement à long terme de la structure est correctement pris en compte dans l'évaluation de l'aptitude au service. Pour tenir compte de ces effets dans le calcul additionnel du béton, une situation de conception distincte doit être créée. Cette situation de conception est basée sur l'ASCE 7, Section 2.4 (ASD). Aucun assistant de combinaison n'est assigné, car la combinaison de charge sera créée manuellement, permettant un contrôle précis sur les charges soutenues de longue durée qui contribuent au fluage et au retrait.

Pour spécifier quelle situation de conception inclut la combinaison de charge soutenue de longue durée, définissez le type d'état limite de la situation de conception à Serviceabilité Design | Long-Term Sustained. Une combinaison de charge avec la nouvelle situation de conception (DS2) est ensuite créée. Dans cet exemple, seul le poids propre est supposé agir comme la charge soutenue de longue durée contribuant au fluage et au retrait. Par conséquent, une combinaison de charge incluant uniquement le poids propre (LC1) est définie pour capturer les effets dépendant du temps avec précision. La combinaison de charge créée CO3 est ensuite utilisée pour calculer la flèche à long terme de l'élément en raison de la charge soutenue. Pour inclure cette flèche lors de l'évaluation de la flèche totale, CO3 est assignée comme la combinaison de charge correspondante (CO) pour les deux combinaisons de charge de DS2. Avec la charge correspondante assignée, la détection d'état de fissure dans la configuration de l'aptitude au service est réglée sur “État de fissure de la CO correspondante de la situation de conception SLS de la charge associée”. Cela garantit que le coefficient de distribution ζd est calculé comme la valeur maximale parmi toutes les charges correspondantes.

II. Calcul du dimensionnement du béton

Pour l'analyse des déformations dans l'extension de conception du béton, une méthode analytique est utilisée pour les structures 2D et les éléments 1D qui sont soumis à des forces axiales et des moments de flexion. Ceci est basé sur la détermination des rigidités effectives (méthode de la rigidité effective) sur le plan de la section, en prenant en compte l'état de fissuration ainsi que des effets tels que le raidissement par traction et des effets à long terme simples.

1. Calcul de la flèche due à la charge soutenue de longue durée

a. Courbure pour état non fissuré

Cette section présente le calcul de la déformation à long terme de l'élément sous CO3 (poids propre, y compris les effets du fluage et du retrait). La vérification est réalisée au point critique x = 6.0 ft, où seul un moment de flexion de M_y,u = 14.40 kipft est présent. La force axiale en ce point est P_u = 0.

Les effets de fluage sont pris en compte en réduisant le module d'élasticité. L'influence du fluage est incorporée à l'aide du coefficient de fluage ultime 𝜑 : Module d'élasticité effectif du béton : \(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{c}}}{1 + \phi}\) \(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{3122.020\,\mathrm{ksi}}{1 + 3.200} = 743.319\,\mathrm{ksi}\)

Rapport modulaire effectif : \(\alpha_{e} = \dfrac{E_{s}}{E_{c,eff}}\) \(\alpha_{e} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{743.319\,\mathrm{ksi}} = 39.01\)

Rapport modulaire effectif (chargement de courte durée) : \(\alpha_{e,st} = \dfrac{E_{s}}{E_{c}}\) \(\alpha_{e,st} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{3122.020\,\mathrm{ksi}} = 9.29\)

Les rapports modulaires effectifs sont utilisés pour calculer les paramètres géométriques pour l'état non fissuré (court et long terme) et l'état fissuré :

État I - État non fissuré
Description	Symbole	Valeur	Unité
Distance du centre de gravité de la section idéale par rapport à la surface du béton en compression (déterminée pour l'état non fissuré)	zI	3.389	in
Aire de section effective à l'état non fissuré	AI	689.664	in2
Moment d'inertie effectif au centre de gravité idéal à l'état non fissuré	Iy,I	2116.230	in4
Excentricité du centre de gravité idéal de la section à l'état non fissuré	ez,I	0.389	in

État I - État non fissuré - Chargement de courte durée
Description	Symbole	Valeur	Unité
Distance du centre de gravité de la section idéale par rapport à la surface du béton en compression (déterminée pour l'état non fissuré)	zI,st	3.108	in
Aire de section effective à l'état non fissuré	AI,st	589.348	in2
Moment d'inertie effectif au centre de gravité idéal à l'état non fissuré	Iy,I,st	1797.210	in4

Retrait : Le retrait provoque une force axiale supplémentaire dans l'armature. En raison de l'excentricité de l'armature par rapport au centre de gravité de la section idéale, une courbure supplémentaire causée par le retrait est présente.

La force supplémentaire due au retrait est ensuite calculée : \( \mathrm{P_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bottom)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (top)}} \right) \)

\( \mathrm{P_{sh}} = -29000.000\,\mathrm{ksi} \cdot -0.600000\,\text{‰} \cdot \left( 3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2} \right) = 58.721\,\mathrm{kip} \)

L'excentricité de la force de retrait par rapport au centre de gravité de la section idéale à l'état non fissuré est alors :

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{A_{s,def,+z (bottom)} \cdot d_{def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)} \cdot d_{def,-z (top)}}{A_{s,def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)}} - \mathrm{z_{I}}\)

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{3.37\,\mathrm{in^2} \cdot 5.037\,\mathrm{in} + 0.00\,\mathrm{in^2} \cdot 3.000\,\mathrm{in}}{3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2}} - 3.389\,\mathrm{in} = 1.649\,\mathrm{in}\)

En conséquence, le moment de flexion causé par la force axiale P_sh : \(\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{P_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}\)

\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = 58.721\,\mathrm{kip} \cdot 1.649\,\mathrm{in} = 8.07\,\mathrm{kipft}\)

Un coefficient de courbure pour l'état non fissuré est alors déterminé. Il indique comment le moment de retrait agit par rapport à la force axiale et à son excentricité. Il montre comment la distribution des forces de retrait et la position du centre d'inertie influencent les déformations de l'élément. Cette valeur est cruciale pour décrire pleinement les déformations de la section causées par le retrait : \(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}\)

\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{8.07\,\mathrm{kipft} + 14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}} = 1.560\)

La courbure totale pour l'état non fissuré peut maintenant être calculée :

\(\kappa_{y,I} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}\) \(\kappa_{y,I} = 1.560 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 2116.230\,\mathrm{in^4}} = 2.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

b. Courbure pour état fissuré

État II - État fissuré -
Description	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur de la zone de compression à l'état fissuré	cII	2.618	in
Distance du centre de gravité de la section idéale par rapport à la surface du béton en compression (déterminée pour l'état fissuré)	zII	2.618	in
Aire de section effective à l'état fissuré	AII	375.100	in2
Moment d'inertie effectif au centre de gravité idéal à l'état fissuré	Iy,II	1326.990	in4
Excentricité du centre de gravité idéal de la section à l'état fissuré	ez,II	-0.382	in

Retrait - État fissuré
Description	Symbole	Valeur	Unité
Excentricité de la force de retrait au centre de gravité de la section idéale à l'état fissuré	esh,z,II	2.420	in
Moment de flexion causé par la force axiale Nsh pour l'état fissuré	Msh,y,II	11.84	kipft
Coefficient de courbure pour l'état fissuré	ksh,y,II	1.822	-

\(\kappa_{y,II} = \mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}\) \(\kappa_{y,II} = 1.822 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot (-0.382\,\mathrm{in})}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 1326.990\,\mathrm{in^4}} = 3.8\,\mathrm{mrad/ft}\)

c. Courbure pour états non fissuré et fissuré

La contrainte maximale dans l'état non fissuré sous chargement de courte et longue durée est calculée et ensuite comparée. La plus grande des deux valeurs est utilisée pour déterminer le coefficient de distribution.

Contrainte maximale à l'état non fissuré
Description	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte maximale à l'état non fissuré (chargement de longue durée)	fmax,lt	0.418	ksi
Contrainte maximale à l'état non fissuré (chargement de courte durée)	fmax,st	0.278	ksi

Le facteur de distribution est calculé en utilisant la formule suivante : \(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot f_{r}}{f_{max}} \right)^2\) \(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot 0.411\,\mathrm{ksi}}{0.418\,\mathrm{ksi}} \right)^2 = 0.570\)

\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + (1 - \zeta_{d}) \cdot \kappa_{y,I}\) \(\kappa_{y,f} = 0.570 \cdot 3.8\,\mathrm{mrad/ft} + (1 - 0.570) \cdot 2.1\,\mathrm{mrad/ft} = 3.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

d. Rigidité finale

En utilisant le coefficient de distribution obtenu avec les paramètres de section dans les états fissuré et non fissuré, les paramètres de section effectifs peuvent maintenant être déterminés :

Paramètres de section effectifs
Description	Symbole	Valeur	Unité
Aire de section idéale	Af	466.537	in2
Moment d'inertie idéal au centre de section idéale	Iy,f	909.112	in4
Excentricité du centre de gravité	ez,f	-0.135	in
Moment d'inertie idéal par rapport au centre géométrique de la section	Iy,0,f	917.601	in4

Comme, dans cet exemple, la seule force interne présente est le moment de flexion, seule la rigidité tangentielle de flexion est pertinente :

\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}\) \(\mathrm{EI_{y,0,f}} = 743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 917.601\,\mathrm{in^4} = 4736.60\,\mathrm{kipft^2}\)

Avec la rigidité effective nouvellement calculée, une nouvelle analyse statique est ensuite réalisée pour obtenir la flèche :

Une flèche verticale de 0.420 in est obtenue à mi-voile de la poutre.

La flèche limite est définie comme suit : \(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}\)

\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{12.00\,\mathrm{ft}}{240.000} = 0.600\,\mathrm{in}\)

Sur cette base, le ratio de vérification de conception est calculé comme suit : \(\eta = \left|\dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}}\right|\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.420\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 0.701\)

2. Calcul de la charge totale de flèche

Pour la flèche totale, CO2 (LC1 + LC2) est la combinaison de charge dominante. Un moment de flexion de 43.20 kipft est présent. Puisque seules les charges soutenues causent le fluage et le retrait, les effets de fluage ne sont pas pris en compte lors du calcul des propriétés de la section transversale pour les charges de courte durée. Par conséquent, le module d'élasticité effectif du béton E_c est utilisé pour le calcul, et le coefficient de coursure de retrait est fixé à 1.0.

a. Courbure pour état non fissuré

Les paramètres géométriques à l'état non fissuré correspondent aux paramètres géométriques à court terme de la charge soutenue :

État I - État non fissuré
Description	Symbole	Valeur	Unité
Distance du centre de gravité de la section idéale par rapport à la surface du béton en compression (déterminée pour l'état non fissuré)	zI	3.108	in
Aire de section effective à l'état non fissuré	AI	589.348	in2
Moment d'inertie effectif au centre de gravité idéal à l'état non fissuré	Iy,I	1797.210	in4
Excentricité du centre de gravité idéal de la section à l'état non fissuré	ez,I	0.108	in

La courbure à l'état non fissuré est ensuite calculée : \(\kappa_{y,I} = k_{sh,y,I} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,I}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,I}} \)

\(\kappa_{y,I} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot 0.108\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 1797.210\,\text{in}^4} = 1.1\,\text{mrad/ft}\)

b. Courbure pour état fissuré

Les paramètres géométriques à l'état fissuré pour les charges de courte durée sont déterminés sans prendre en compte les effets de fluage :

État II - état fissuré
Description	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur de la zone de compression à l'état fissuré	cII	1.536	in
Distance du centre de gravité de la section idéale par rapport à la surface du béton en compression (déterminée pour l'état fissuré)	zII	1.536	in
Aire de section effective à l'état fissuré	AII	174.226	in2
Moment d'inertie effectif au centre de gravité idéal à l'état fissuré	Iy,II	496.674	in4

La courbure à l'état fissuré est ensuite calculée : \(\kappa_{y,II} = k_{sh,y,II} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,II}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,II}}\)

\(\kappa_{y,II} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot (-1.464)\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 496.674\,\text{in}^4} = 4.0\,\text{mrad/ft}\)

c. Courbure des états non fissuré et fissuré

Pour le calcul du facteur de distribution, la contrainte maximale dans l'état non fissuré pour cette section est requise : \(f_{max} = \frac{P_{u}}{A_{I}} + \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot \left( z_{I} - \frac{h}{2} \right)}{I_{y,I}} \cdot \left( h - z_{I} \right)\)

Le facteur de distribution résultant est alors : \(f_{max} = \frac{0.000\,\text{kip}}{589.348\,\text{in}^2} + \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot \left( 3.108\,\text{in} - \frac{6.000\,\text{in}}{2} \right)}{1797.210\,\text{in}^4} \cdot \left( 6.000\,\text{in} - 3.108\,\text{in} \right) = 0.834\,\text{ksi}\)

La courbure finale est finalement calculée : \(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + \left( 1 - \zeta_{d} \right) \cdot \kappa_{y,I}\)

\(\kappa_{y,f} = 0.892 \cdot 4.0\,\text{mrad/ft} + \left( 1 - 0.892 \right) \cdot 1.1\,\text{mrad/ft} = 3.7\,\text{mrad/ft}\)

d. Rigidité finale

Les paramètres de section effectifs peuvent maintenant être déterminés :

Paramètres de section effectifs
Description	Symbole	Valeur	Unité
Aire de section idéale	Af	188.543	in2
Moment d'inertie idéal au centre de section idéale	Iy,f	538.700	in4
Excentricité du centre de gravité	ez,f	-1.413	in
Moment d'inertie idéal par rapport au centre géométrique de la section	Iy,0,f	915.074	in4

La rigidité en flexion peut maintenant être calculée : \(EI_{y,0,f} = E_{c,eff} \cdot I_{y,0,f}\)

\(EI_{y,0,f} = 3122.020\,\text{ksi} \cdot 915.074\,\text{in}^4 = 19839.40\,\text{kipft}^2\)

En utilisant la rigidité effective calculée, la déformation totale à court terme est calculée. Une déformation de 0.984 est atteinte.

Le calcul de la flèche totale de la poutre sous charges fréquentes exige la prise en compte des différentes composantes de déformation résultant de divers types de charges et de leurs effets respectifs sur l'élément. Les déformations à long terme et à court terme doivent être traitées séparément pour déterminer correctement la flèche réelle :

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

• u_z,QP,lt : Cette déformation est causée par des charges soutenues de longue durée et prend en compte les effets de fluage que l'élément subira sur une longue période. Il s'agit de la déformation calculée à la Section 1.

• u_z,tot,st : Déformation totale à court terme. Cette déformation se produit immédiatement après l'application de la charge fréquente. Il s'agit de la déformation calculée dans cette section.

• u_z,QP,st : Déformation totale à court terme des charges soutenues de longue durée. Cette déformation se développe directement après l'application des charges soutenues et représente la réponse instantanée de l'élément avant l'apparition des effets de fluage.

La déformation totale u_z,tot comprend la déformation à long terme u_z,QP,lt due aux charges soutenues de longue durée et la déformation supplémentaire due aux effets de courte durée. Cette déformation supplémentaire est calculée comme la différence entre la déformation totale à court terme u_z,tot,st et la déformation à court terme causée par les charges induisant le fluage u_z,QP,st. Le graphique suivant illustre cela clairement :

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

\(u_{z,tot} = 0.420\,\text{in} + \left( 0.630\,\text{in} - 0.067\,\text{in} \right) = 0.984\,\text{in}\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.984\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 1.640 >1 \) Dans ce cas, la déformation totale est supérieure à la limite et la vérification de conception n'est pas satisfaite.

En résumé, cet exemple illustre le calcul complet des déformations des poutres en béton armé en considérant à la fois les effets à court terme et à long terme, y compris le fluage et le retrait. En utilisant le module additionnel de conception en béton RFEM, la rigidité efficace de la poutre a été déterminée à travers une méthode analytique prenant en compte les états non fissuré et fissuré, le raidissement par traction et les propriétés des matériaux dépendantes du temps. La déformation à long terme due aux charges soutenues a d'abord été calculée (0.420 in), suivie par la déformation totale à court terme sous charges fréquentes (0.984 in). Lorsqu'elles sont combinées, la déformation totale (0.984 in) dépasse la limite autorisée (0.600 in), ce qui entraîne un rapport de vérification de conception de 1.64, indiquant que la poutre ne satisfait pas aux exigences de service. Cela souligne l'importance cruciale de modéliser avec précision le comportement dépendant du temps du béton et les combinaisons de charges dans l'analyse de l'aptitude au service.