Analisi degli inflessioni dipendenti dal tempo di aste in calcestruzzo armato secondo ACI 318 considerando effetti a lungo termine (fluaggio e ritiro per ACI 435)

I. Dati di Input

1. Geometria

Sistema: Trave a campata singola
Campata: l = 12 ft
Larghezza della sezione trasversale: b = 93,0 in
Altezza della sezione trasversale: h = 6,0 in
Profondità efficace: d = 6 – 0,650 – 0,3125 = 5,0375 in

2. Materiali

• Calcestruzzo

Resistenza alla compressione del calcestruzzo: f’c = 3.000 ksi
Modulo di elasticità: E = 3.122,019 ksi

Per considerare il ritiro e il creep, è necessario attivare le proprietà dipendenti dal tempo del calcestruzzo:

Queste proprietà sono ora impostate per tutti i membri e superfici a cui è assegnato questo materiale. Tuttavia, è possibile modificare queste proprietà per un membro specifico modificandole nelle opzioni della sezione trasversale di quel membro:

• Acciaio di Armatura

Resistenza specifica al rendimento: fy = 40.000 ksi
Modulo di elasticità: Es = 29.000,0 ksi
Quantità di armatura: 11 barre di diametro 0,625 in
Area di armatura: As,prov = 3,37 in²
Rapporto di armatura: ρ = 0,60%

3. Configurazione di Servizio

Per la deformazione dipendente dal tempo, il ritiro e il creep possono essere considerati utilizzando due diversi approcci:

• Fattore dipendente dal tempo secondo la Tabella 24.2.4.1.3
• Proprietà materiali dipendenti dal tempo (ritiro e creep) secondo ACI 435

Questo esempio utilizza il secondo approccio; pertanto, è selezionato nella configurazione di servizio:

4. Casi di Carico e Combinazioni

Le categorie di azione dei casi di carico sono definite in conformità con ASCE 7.

• Caso di Carico 1 (LC1)

Categoria di Azione: Carico Morto (D)
Il Caso di Carico 1 include il peso proprio del membro e un ulteriore carico distribuito uniformemente sul membro con un'intensità di 0,8 kip/ft.

• Caso di Carico 2 (LC2)

Categoria di Azione: Carico Vivo (L)
Il Caso di Carico 2 consiste in un carico distribuito uniformemente sul membro con un'intensità di 1,6 kip/ft.

• Situazioni di Progetto

Per l'analisi delle deflessioni, viene creata una situazione di progetto basata su ASCE 7 Sezione 2.4 (ASD) utilizzando combinazioni di carico non fatturate. L'assistente delle combinazioni di carico è attivato per questa situazione di progetto per generare automaticamente combinazioni di carico.

• Combinazioni di Carico

Sono generate due combinazioni di carico:

• CO1: LC1
• CO2: LC1 + LC2

Nell'analisi delle deflessioni, il ritiro e il creep nel calcestruzzo armato sono causati solo da carichi duraturi a lungo termine, come il peso proprio della struttura. I carichi a breve termine, come i carichi vivi, generalmente non contribuiscono in modo significativo a questi effetti dipendenti dal tempo.
Per catturare accuratamente il ritiro e il creep, è essenziale definire carichi duraturi a lungo termine nell'analisi. Le deflessioni risultanti da questi carichi sostenuti sono quindi calcolate e successivamente incluse nella deflessione totale quando si valutano le combinazioni di carico rilevanti. Ciò garantisce che il comportamento a lungo termine della struttura sia adeguatamente considerato nella valutazione di servizio.
Per tenere conto di questi effetti nel calcolo aggiuntivo per il calcestruzzo, deve essere creata una situazione di progetto separata. Questa situazione di progetto si basa su ASCE 7 Sezione 2.4 (ASD). Non è assegnato alcun assistente di combinazione, poiché la combinazione di carico sarà creata manualmente, permettendo un controllo preciso su quali carichi duraturi a lungo termine contribuiscono al ritiro e al creep.

Per indicare all'add-on di progetto del calcestruzzo quale situazione di progetto include la combinazione di carico duratura a lungo termine, il tipo di stato limite della situazione di progetto è impostato su Design di Servizio | Carico Duraturo a Lungo Termine.

Viene quindi creata una combinazione di carico con la nuova situazione di progetto (DS2). In questo esempio, si presume che solo il peso proprio agisca come carico duraturo a lungo termine che contribuisce al ritiro e al creep. Pertanto, una combinazione di carico che include solo il peso proprio (LC1) è definita per catturare gli effetti dipendenti dal tempo con precisione.

La combinazione di carico creata CO3 viene utilizzata per calcolare la deflessione a lungo termine del membro a causa del carico sostenuto. Per includere questa deflessione nella valutazione della deflessione totale, CO3 è assegnata come la combinazione di carico corrispondente (CO) per le due combinazioni di carico di DS2.

Con il carico corrispondente assegnato, la rilevazione dello stato di fessura nella configurazione di servizio è impostata su “Stato di fessura dal CO corrispondente della situazione di progetto di SLS dal carico associato”. Questo assicura che il coefficiente di distribuzione ζd sia calcolato come il valore massimo tra tutti i carichi corrispondenti.

II. Calcolo del Design del Calcestruzzo

Per l'analisi delle deformazioni nell'add-on Design del Calcestruzzo, è usato un metodo analitico per strutture 2D ed elementi 1D soggetti a forze assiali e momenti flettenti. Ciò si basa sulla determinazione delle rigidezze effettive (metodo della rigidezza effettiva) sul piano della sezione trasversale, tenendo conto dello stato di fessura nonché degli effetti come il rinforzo di trazione e gli effetti a lungo termine.

1. Calcolo della Deflessione a Causa di Carichi Sostenuti a Lungo Termine

a. Curvatura per lo Stato Non Fessurato

Questa sezione presenta il calcolo della deflessione a lungo termine del membro sotto CO3 (peso proprio, inclusi gli effetti di ritiro e creep). Il controllo di progetto è eseguito nel punto critico x = 6,0 ft, dove è presente solo un momento flettente di M_y,u = 14,40 kipft. La forza assiale in questo punto è P_u = 0.

Gli effetti di creep sono conteggiati riducendo il modulo di elasticità. L'influenza del creep è incorporata utilizzando il coefficiente di creep finale 𝜑:
Modulo di Elasticità Effettivo del Calcestruzzo:
\(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{c}}}{1 + \phi}\)
\(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{3122,020\,\mathrm{ksi}}{1 + 3,200} = 743,319\,\mathrm{ksi}\)

Rapporto Modulare Effettivo:
\(\alpha_{e} = \dfrac{E_{s}}{E_{c,eff}}\)
\(\alpha_{e} = \dfrac{29000,000\,\mathrm{ksi}}{743,319\,\mathrm{ksi}} = 39,01\)

Rapporto Modulare Effettivo (carico a breve termine):
\(\alpha_{e,st} = \dfrac{E_{s}}{E_{c}}\)
\(\alpha_{e,st} = \dfrac{29000,000\,\mathrm{ksi}}{3122,020\,\mathrm{ksi}} = 9,29\)

I rapporti modulari effettivi sono utilizzati per calcolare i parametri geometrici per lo stato non fessurato (a breve e lungo termine) e lo stato fessurato:

Stato I - Stato Non Fessurato
Descrizione	Simbolo	Valore	Unità
Distanza del centro di gravità della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo in compressione (determinata per lo stato non fessurato)	zI	3,389	in
Area della sezione efficace nello stato non fessurato	AI	689,664	in2
Momento d'inerzia efficace verso il centro di gravità ideale nello stato non fessurato	Iy,I	2116,230	in4
Eccentricità del centro di gravità ideale della sezione nello stato non fessurato	ez,I	0,389	in

Stato I - Stato Non Fessurato - Carico a Breve Termine
Descrizione	Simbolo	Valore	Unità
Distanza del centro di gravità della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo in compressione (determinata per lo stato non fessurato)	zI,st	3,108	in
Area della sezione efficace nello stato non fessurato	AI,st	589,348	in2
Momento d'inerzia efficace verso il centro di gravità ideale nello stato non fessurato	Iy,I,st	1797,210	in4

Ritiro:
Il ritiro causa una forza assiale aggiuntiva nell'armatura. A causa dell'eccentricità dell'armatura rispetto al centro di gravità della sezione ideale, è presente una curvatura aggiuntiva causata dal ritiro.

La forza aggiuntiva dovuta al ritiro viene quindi calcolata:
\( \mathrm{P_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (fondo)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (alto)}} \right) \)

\( \mathrm{P_{sh}} = -29000,000\,\mathrm{ksi} \cdot -0,600000\,\text{‰} \cdot \left( 3,37\,\mathrm{in^2} + 0,00\,\mathrm{in^2} \right) = 58,721\,\mathrm{kip} \)

L'eccentricità della forza di ritiro rispetto al centro di gravità della sezione ideale nello stato non fessurato è quindi:

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{A_{s,def,+z (fondo)} \cdot d_{def,+z (fondo)} + A_{s,def,-z (alto)} \cdot d_{def,-z (alto)}}{A_{s,def,+z (fondo)} + A_{s,def,-z (alto)}} - \mathrm{z_{I}}\)

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{3,37\,\mathrm{in^2} \cdot 5,037\,\mathrm{in} + 0,00\,\mathrm{in^2} \cdot 3,000\,\mathrm{in}}{3,37\,\mathrm{in^2} + 0,00\,\mathrm{in^2}} - 3,389\,\mathrm{in} = 1,649\,\mathrm{in}\)

Di conseguenza, il Momento Flettente causato dalla forza assiale P_sh:
\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{P_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}\)

\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = 58,721\,\mathrm{kip} \cdot 1,649\,\mathrm{in} = 8,07\,\mathrm{kipft}\)

Viene quindi determinato un coefficiente di curvatura per lo stato non fessurato. Indica come il momento da ritiro agisce rispetto alla forza assiale e alla sua eccentricità. Mostra come la distribuzione delle forze da ritiro e la posizione del baricentro influenzano le deformazioni dell'elemento. Questo valore è cruciale per descrivere completamente le deformazioni della sezione trasversale causate dal ritiro:
\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}\)

\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{8,07\,\mathrm{kipft} + 14,40\,\mathrm{kipft} - 0,000\,\mathrm{kip} \cdot 0,389\,\mathrm{in}}{14,40\,\mathrm{kipft} - 0,000\,\mathrm{kip} \cdot 0,389\,\mathrm{in}} = 1,560\)

La curvatura totale per lo stato non fessurato può ora essere calcolata:

\(\kappa_{y,I} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}\)
\(\kappa_{y,I} = 1,560 \cdot \dfrac{14,40\,\mathrm{kipft} - 0,000\,\mathrm{kip} \cdot 0,389\,\mathrm{in}}{743,319\,\mathrm{ksi} \cdot 2116,230\,\mathrm{in^4}} = 2,1\,\mathrm{mrad/ft}\)

b. Curvatura per lo Stato Fessurato

Stato II - Stato Fessurato -
Descrizione	Simbolo	Valore	Unità
Profondità della zona di compressione nello stato fessurato	cII	2,618	in
Distanza del centro di gravità della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo in compressione (determinata per lo stato fessurato)	zII	2,618	in2
Area della sezione efficace nello stato fessurato	AII	375,100	in2
Momento d'inerzia efficace verso il centro di gravità ideale nello stato fessurato	Iy,II	1326,990	in4
Eccentricità del centro di gravità ideale della sezione nello stato fessurato	ez,II	-0,382	in

Ritiro - Stato Fessurato
Descrizione	Simbolo	Valore	Unità
Eccentricità della forza di ritiro rispetto al centro di gravità della sezione ideale nello stato fessurato	esh,z,II	2,420	in
Momento flettente causato dalla forza assiale Nsh per lo stato fessurato	Msh,y,II	11,84	kipft
Coefficiente di curvatura per lo stato fessurato	ksh,y,II	1,822	-

\(\kappa_{y,II} = \mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}\)
\(\kappa_{y,II} = 1,822 \cdot \dfrac{14,40\,\mathrm{kipft} - 0,000\,\mathrm{kip} \cdot (-0,382\,\mathrm{in})}{743,319\,\mathrm{ksi} \cdot 1326,990\,\mathrm{in^4}} = 3,8\,\mathrm{mrad/ft}\)

c. Curvatura per Stati Non Fessurati e Fessurati

La tensione massima nello stato non fessurato sotto carico a breve e lungo termine viene calcolata e poi confrontata. Il maggiore dei due valori viene utilizzato per determinare il coefficiente di distribuzione.

Tensione massima nello stato non fessurato
Descrizione	Simbolo	Valore	Unità
Tensione massima nello stato non fessurato (carico a lungo termine)	fmax,lt	0,418	ksi
Tensione massima nello stato non fessurato (carico a breve termine)	fmax,st	0,278	ksi

Il fattore di distribuzione è calcolato utilizzando la seguente formula:
\(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot f_{r}}{f_{max}} \right)^2\)
\(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot 0,411\,\mathrm{ksi}}{0,418\,\mathrm{ksi}} \right)^2 = 0,570\)

\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + (1 - \zeta_{d}) \cdot \kappa_{y,I}\)
\(\kappa_{y,f} = 0,570 \cdot 3,8\,\mathrm{mrad/ft} + (1 - 0,570) \cdot 2,1\,\mathrm{mrad/ft} = 3,1\,\mathrm{mrad/ft}\)

d. Rigidezza Finale

Utilizzando il coefficiente di distribuzione ottenuto insieme ai parametri della sezione trasversale negli stati fessurati e non fessurati, ora è possibile determinare i parametri della sezione trasversale effettiva:

Parametri della sezione trasversale effettiva
Descrizione	Simbolo	Valore	Unità
Area della sezione ideale	Af	466,537	in2
Momento d'inerzia ideale verso il centro ideale della sezione	Iy,f	909,112	in4
Eccentricità del baricentro	ez,f	-0,135	in
Momento d'inerzia ideale verso il centro geometrico della sezione	Iy,0,f	917,601	in4

Poiché in questo esempio l'unica forza interna presente è il momento flettente, solo la rigidezza flettente tangente è rilevante:

\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}\)
\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = 743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 917,601\,\mathrm{in^4} = 4736,60\,\mathrm{kipft^2}\)

Con la rigidezza effettiva appena calcolata, viene quindi eseguita una nuova analisi statica per ottenere la deflessione:

Otteniamo una deflessione verticale di 0,420 in al centro della campata della trave.

La deflessione limite è definita come:
\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}\)

\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{12,00\,\mathrm{ft}}{240,000} = 0,600\,\mathrm{in}\)

Sulla base di ciò, il rapporto di controllo progetto è calcolato come:
\(\eta = \left|\dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}}\right|\)

\(\eta = \left|\dfrac{0,420\,\mathrm{in}}{0,600\,\mathrm{in}}\right| = 0,701\)

2. Calcolo del Carico di Deflessione Totale

Per la deflessione totale, CO2 (LC1 + LC2) è la combinazione di carico dominante. È presente un momento flettente di 43,20 kipft.
Poiché solo i carichi sostenuti causano il ritiro e il creep, gli effetti di creep non sono considerati quando si calcolano le proprietà delle sezioni trasversali per i carichi a breve termine. Pertanto, il modulo di elasticità effettivo del calcestruzzo E_c è utilizzato per il calcolo e il coefficiente di curvatura da ritiro è impostato a 1,0.

a. Curvatura per lo Stato Non Fessurato

I parametri geometrici nello stato non fessurato corrispondono ai parametri geometrici a breve termine del carico sostenuto:

Stato I - Stato Non Fessurato
Descrizione	Simbolo	Valore	Unità
Distanza del centro di gravità della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo in compressione (determinata per lo stato non fessurato)	zI	3,108	in
Area della sezione efficace nello stato non fessurato	AI	589,348	in2
Momento d'inerzia efficace verso il centro di gravità ideale nello stato non fessurato	Iy,I	1797,210	in4
Eccentricità del centro di gravità ideale della sezione nello stato non fessurato	ez,I	0,108	in

La curvatura nello stato non fessurato è quindi calcolata:
\(\kappa_{y,I} = k_{sh,y,I} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,I}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,I}} \)

\(\kappa_{y,I} = 1,000 \cdot \frac{43,20\,\text{kipft} - 0,000\,\text{kip} \cdot 0,108\,\text{in}}{3122,020\,\text{ksi} \cdot 1797,210\,\text{in}^4} = 1,1\,\text{mrad/ft}\)

b. Curvatura per lo Stato Fessurato

I parametri geometrici nello stato fessurato per carichi a breve termine sono determinati senza considerare gli effetti del creep:

Stato II - Stato Fessurato
Descrizione	Simbolo	Valore	Unità
Profondità della zona di compressione nello stato fessurato	cII	1,536	in
Distanza del centro di gravità della sezione ideale dalla superficie del calcestruzzo in compressione (determinata per lo stato fessurato)	zII	1,536	in
Area della sezione efficace nello stato fessurato	AII	174,226	in2
Momento d'inerzia efficace verso il centro di gravità ideale nello stato fessurato	Iy,II	496,674	in4

La curvatura nello stato fessurato è quindi calcolata:
\(\kappa_{y,II} = k_{sh,y,II} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,II}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,II}}\)

\(\kappa_{y,II} = 1,000 \cdot \frac{43,20\,\text{kipft} - 0,000\,\text{kip} \cdot (-1,464)\,\text{in}}{3122,020\,\text{ksi} \cdot 496,674\,\text{in}^4} = 4,0\,\text{mrad/ft}\)

c. Curvatura da Stati Non Fessurati e Fessurati

Per il calcolo del fattore di distribuzione, è richiesta la tensione massima nello stato non fessurato per questa sezione trasversale:
\(f_{max} = \frac{P_{u}}{A_{I}} + \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot \left( z_{I} - \frac{h}{2} \right)}{I_{y,I}} \cdot \left( h - z_{I} \right)\)

Il fattore di distribuzione risultante è quindi:
\(f_{max} = \frac{0,000\,\text{kip}}{589,348\,\text{in}^2} + \frac{43,20\,\text{kipft} - 0,000\,\text{kip} \cdot \left( 3,108\,\text{in} - \frac{6,000\,\text{in}}{2} \right)}{1797,210\,\text{in}^4} \cdot \left( 6,000\,\text{in} - 3,108\,\text{in} \right) = 0,834\,\text{ksi}\)

La curvatura finale è finalmente calcolata:
\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + \left( 1 - \zeta_{d} \right) \cdot \kappa_{y,I}\)

\(\kappa_{y,f} = 0,892 \cdot 4,0\,\text{mrad/ft} + \left( 1 - 0,892 \right) \cdot 1,1\,\text{mrad/ft} = 3,7\,\text{mrad/ft}\)

d. Rigidezza Finale

Ora è possibile determinare i parametri della sezione trasversale effettiva:

Parametri della sezione trasversale effettiva
Descrizione	Simbolo	Valore	Unità
Area della sezione ideale	Af	188,543	in2
Momento d'inerzia ideale verso il centro ideale della sezione	Iy,f	538,700	in4
Eccentricità del baricentro	ez,f	-1,413	in
Momento d'inerzia ideale verso il centro geometrico della sezione	Iy,0,f	915,074	in4

La rigidezza flessurale può ora essere calcolata:
\(EI_{y,0,f} = E_{c,eff} \cdot I_{y,0,f}\)

\(EI_{y,0,f} = 3122,020\,\text{ksi} \cdot 915,074\,\text{in}^4 = 19839,40\,\text{kipft}^2\)

Utilizzando la rigidezza effettiva calcolata, la deflessione totale a breve termine è calcolata. Si raggiunge una deflessione di 0,984.

Il calcolo della deflessione totale della trave sotto carichi frequenti richiede la considerazione dei diversi componenti di deformazione risultanti da vari tipi di carico e dei loro rispettivi effetti sul membro. Le deformazioni a lungo termine e a breve termine devono essere trattate separatamente per determinare correttamente la deflessione reale:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

• u_z,QP,lt: Questa deflessione è causata da carichi sostenuti a lungo termine e tiene conto degli effetti di creep che il membro sperimenterà nel corso di un lungo periodo di tempo. Questa è la deflessione calcolata nella Sezione 1.

• u_z,tot,st: Deflessione totale a breve termine. Questa deformazione si verifica immediatamente dopo l'applicazione del carico frequente. Questa è la deflessione calcolata in questa sezione.

• u_z,QP,st: Deflessione totale a breve termine dei carichi sostenuti a lungo termine. Questa deformazione si sviluppa direttamente dopo l'applicazione dei carichi sostenuti e rappresenta la risposta istantanea del membro prima che si verifichino gli effetti di creep.