Análisis de flecha dependiente del tiempo de barras de hormigón armado según ACI 318 considerando efectos a largo plazo (fluencia y retracción según ACI 435)

I. Datos de Entrada

1. Geometría

Sistema: Viga de un solo vano Luz: l = 12 ft Ancho de la sección transversal: b = 93.0 in Altura de la sección transversal: h = 6.0 in Profundidad efectiva: d = 6 – 0.650 – 0.3125 = 5.0375 in

2. Materiales

• Concreto

Resistencia a la compresión del concreto: f’c = 3,000 ksi Módulo de elasticidad: E = 3,122.019 ksi

Para considerar la fluencia y retracción, se deben activar las propiedades dependientes del tiempo del concreto:

Estas propiedades ahora están configuradas para todos los elementos y superficies con este material asignado. Sin embargo, es posible editar estas propiedades para un miembro específico editándolas en las opciones de la sección transversal de ese miembro:

• Acero de refuerzo

Resistencia especificada al límite elástico: fy = 40,000 ksi Módulo de elasticidad: Es = 29,000.0 ksi Cantidad de refuerzo: 11 barras con diámetro de 0.625 in Área de refuerzo: As,prov = 3.37 in² Tasa de refuerzo: ρ = 0.60%

3. Configuración de Servicio

Para la deflexión dependiente del tiempo, la fluencia y retracción se pueden considerar usando dos enfoques diferentes:

• Factor dependiente del tiempo según Tabla 24.2.4.1.3
• Propiedades del material dependientes del tiempo (fluencia y retracción) según ACI 435

Este ejemplo utiliza el segundo enfoque; por lo tanto, se selecciona en la configuración de servicio:

4. Casos de carga y combinaciones

Las categorías de acción del caso de carga se definen de acuerdo con ASCE 7.

• Caso de Carga 1 (LC1)

Categoría de Acción: Carga Muerta (D) El Caso de Carga 1 incluye el peso propio del elemento y una carga adicional uniformemente distribuida con una magnitud de 0.8 kip/ft.

• Caso de Carga 2 (LC2)

Categoría de Acción: Carga Viva (L) El Caso de Carga 2 consiste en una carga uniformemente distribuida con una magnitud de 1.6 kip/ft.

• Situaciones de Diseño

Para el análisis de deflexión, se crea una situación de diseño basada en ASCE 7, Sección 2.4 (ASD) usando combinaciones de carga no factorizadas. El asistente de combinación de cargas se activa para esta situación de diseño para generar combinaciones de cargas automáticamente.

• Combinaciones de Carga

Se generan dos combinaciones de carga:

• CO1: LC1
• CO2: LC1 + LC2

En el análisis de deflexión, la fluencia y retracción en el concreto reforzado son causadas solo por cargas sostenidas a largo plazo, como el peso propio de la estructura. Las cargas a corto plazo, como las cargas vivas, generalmente no contribuyen significativamente a estos efectos dependientes del tiempo. Para capturar con precisión la fluencia y la retracción, es esencial definir cargas sostenidas a largo plazo en el análisis. Las deflexiones resultantes de estas cargas sostenidas se calculan y posteriormente se incluyen en la deflexión total al evaluar las combinaciones de carga relevantes. Esto asegura que el comportamiento a largo plazo de la estructura se considere adecuadamente en la evaluación de servicio. Para tener en cuenta estos efectos en el cálculo de complemento de concreto, se debe crear una situación de diseño separada. Esta situación de diseño se basa en ASCE 7, Sección 2.4 (ASD). No se asigna ningún asistente de combinación, ya que la combinación de carga se creará manualmente, permitiendo un control preciso sobre qué cargas sostenidas a largo plazo contribuyen a la fluencia y retracción.

Para especificar qué situación de diseño incluye la combinación de carga sostenida a largo plazo, configure el tipo de estado límite de la situación de diseño como Diseño de Servicio | Sostenido a Largo Plazo. Luego se crea una combinación de carga con la nueva situación de diseño (DS2). En este ejemplo, solo se supone que el peso propio actúa como la carga sostenida a largo plazo que contribuye a la fluencia y retracción. Por lo tanto, se define una combinación de carga que incluye solo el peso propio (LC1) para capturar los efectos dependientes del tiempo con precisión. La combinación de carga creada CO3 se utiliza para calcular la deflexión a largo plazo del miembro debido a la carga sostenida. Para incluir esta deflexión al evaluar la deflexión total, CO3 se asigna como la combinación de carga correspondiente (CO) para las dos combinaciones de carga de DS2. Con la carga correspondiente asignada, la detección del estado fisurado en la configuración de servicio se establece en “Estado fisurado de la CO correspondiente de la situación de diseño SLS de carga asociada”. Esto asegura que el coeficiente de distribución ζd se calcule como el valor máximo en todas las cargas correspondientes.

II. Cálculo de Diseño de Concreto

Para el análisis de deformación en el complemento de Diseño de Concreto, se utiliza un método analítico para estructuras 2D y elementos 1D sometidos a fuerzas axiales y momentos de flexión. Esto se basa en la determinación de rigideces efectivas (método de rigidez efectiva) en el plano de la sección transversal, teniendo en cuenta el estado fisurado así como efectos como la rigidez por tensión y el efecto simple a largo plazo.

1. Cálculo de la Deflexión Debido a Carga Sostenida a Largo Plazo

a. Curvatura para estado no fisurado

Esta sección presenta el cálculo de la deflexión a largo plazo del miembro bajo CO3 (peso propio, incluidos los efectos de fluencia y retracción). La verificación de diseño se realiza en la ubicación crítica x = 6.0 ft, donde solo está presente un momento de flexión de M_y,u = 14.40 kipft. La fuerza axial en esta ubicación es P_u = 0.

Los efectos de la fluencia se consideran reduciendo el módulo de elasticidad. La influencia de la fluencia se incorpora usando el coeficiente de fluencia último 𝜑: Módulo de Elasticidad Efectivo del Concreto: \(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{c}}}{1 + \phi}\) \(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{3122.020\,\mathrm{ksi}}{1 + 3.200} = 743.319\,\mathrm{ksi}\)

Relación Modular Efectiva: \(\alpha_{e} = \dfrac{E_{s}}{E_{c,eff}}\) \(\alpha_{e} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{743.319\,\mathrm{ksi}} = 39.01\)

Relación Modular Efectiva (carga a corto plazo): \(\alpha_{e,st} = \dfrac{E_{s}}{E_{c}}\) \(\alpha_{e,st} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{3122.020\,\mathrm{ksi}} = 9.29\)

Las relaciones modulares efectivas se utilizan para calcular los parámetros geométricos para el estado no fisurado (corto y largo plazo) y el estado fisurado:

Estado I - Estado no fisurado
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Distancia del centro de gravedad de la sección ideal desde la superficie de concreto en compresión (determinada para estado no fisurado)	zI	3.389	in
Área de la sección efectiva en estado no fisurado	AI	689.664	in2
Momento de inercia efectivo al centro de gravedad ideal en estado no fisurado	Iy,I	2116.230	in4
Excentricidad del centro de gravedad ideal de la sección en estado no fisurado	ez,I	0.389	in

Estado I - Estado no fisurado - Carga a corto plazo
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Distancia del centro de gravedad de la sección ideal desde la superficie de concreto en compresión (determinada para estado no fisurado)	zI,st	3.108	in
Área de la sección efectiva en estado no fisurado	AI,st	589.348	in2
Momento de inercia efectivo al centro de gravedad ideal en estado no fisurado	Iy,I,st	1797.210	in4

Retracción: La retracción causa una fuerza axial adicional en el refuerzo. Debido a la excentricidad del refuerzo al centro de gravedad de la sección ideal, está presente una curvatura adicional causada por la retracción.

La fuerza adicional debida a la retracción se calcula entonces: \( \mathrm{P_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bottom)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (top)}} \right) \)

\( \mathrm{P_{sh}} = -29000.000\,\mathrm{ksi} \cdot -0.600000\,\text{‰} \cdot \left( 3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2} \right) = 58.721\,\mathrm{kip} \)

La excentricidad de la fuerza de retracción al centro de gravedad de la sección ideal en el estado no fisurado es luego:

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{A_{s,def,+z (bottom)} \cdot d_{def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)} \cdot d_{def,-z (top)}}{A_{s,def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)}} - \mathrm{z_{I}}\)

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{3.37\,\mathrm{in^2} \cdot 5.037\,\mathrm{in} + 0.00\,\mathrm{in^2} \cdot 3.000\,\mathrm{in}}{3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2}} - 3.389\,\mathrm{in} = 1.649\,\mathrm{in}\)

Como resultado, el momento de flexión causado por la fuerza axial P_sh: \(\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{P_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}\)

\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = 58.721\,\mathrm{kip} \cdot 1.649\,\mathrm{in} = 8.07\,\mathrm{kipft}\)

Se determina un coeficiente de curvatura para el estado no fisurado. Indica cómo actúa el momento de retracción en relación con la fuerza axial y su excentricidad. Muestra cómo la distribución de fuerzas de retracción y la ubicación del centróide influyen en las deformaciones del elemento. Este valor es crucial para describir completamente las deformaciones de la sección transversal causadas por la retracción: \(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}\)

\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{8.07\,\mathrm{kipft} + 14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}} = 1.560\)

La curvatura total para el estado no fisurado ahora puede calcularse:

\(\kappa_{y,I} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}\) \(\kappa_{y,I} = 1.560 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 2116.230\,\mathrm{in^4}} = 2.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

b. Curvatura para Estado Fisurado

Estado II - Estado fisurado -
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Profundidad de la zona de compresión en estado fisurado	cII	2.618	in
Distancia del centro de gravedad de la sección ideal desde la superficie de concreto en compresión (determinada para estado fisurado)	zII	2.618	in2
Área de la sección efectiva en estado fisurado	AII	375.100	in2
Momento de inercia efectivo al centro de gravedad ideal en estado fisurado	Iy,II	1326.990	in4
Excentricidad del centro de gravedad ideal de la sección en estado fisurado	ez,II	-0.382	in

Retracción - Estado fisurado
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Excentricidad de la fuerza de retracción al centro de gravedad de la sección ideal en estado fisurado	esh,z,II	2.420	in
Momento de flexión causado por fuerza axial Nsh para estado fisurado	Msh,y,II	11.84	kipft
Coeficiente de curvatura para estado fisurado	ksh,y,II	1.822	-

\(\kappa_{y,II} = \mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}\) \(\kappa_{y,II} = 1.822 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot (-0.382\,\mathrm{in})}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 1326.990\,\mathrm{in^4}} = 3.8\,\mathrm{mrad/ft}\)

c. Curvatura para Estados No Fisurado y Fisurado

El esfuerzo máximo en el estado no fisurado bajo carga a corto y largo plazo se calcula y luego se compara. El mayor de los dos valores se utiliza para determinar el coeficiente de distribución.

Esfuerzo máximo en estado no fisurado
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Esfuerzo máximo en estado no fisurado (carga a largo plazo)	fmax,lt	0.418	ksi
Esfuerzo máximo en estado no fisurado (carga a corto plazo)	fmax,st	0.278	ksi

El factor de distribución se calcula usando la siguiente fórmula: \(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot f_{r}}{f_{max}} \right)^2\) \(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot 0.411\,\mathrm{ksi}}{0.418\,\mathrm{ksi}} \right)^2 = 0.570\)

\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + (1 - \zeta_{d}) \cdot \kappa_{y,I}\) \(\kappa_{y,f} = 0.570 \cdot 3.8\,\mathrm{mrad/ft} + (1 - 0.570) \cdot 2.1\,\mathrm{mrad/ft} = 3.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

d. Rigidez Final

Usando el coeficiente de distribución obtenido junto con los parámetros de la sección transversal en los estados no fisurado y fisurado, ahora se pueden determinar los parámetros efectivos de la sección transversal:

Parámetros efectivos de la sección transversal
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Área de la sección ideal	Af	466.537	in2
Momento de inercia ideal al centro ideal de la sección	Iy,f	909.112	in4
Excentricidad del centróide	ez,f	-0.135	in
Momento de inercia ideal al centro geométrico de la sección	Iy,0,f	917.601	in4

Dado que, en este ejemplo, la única fuerza interna presente es el momento de flexión, solo la rigidez a la flexión tangente es relevante:

\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}\) \(\mathrm{EI_{y,0,f}} = 743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 917.601\,\mathrm{in^4} = 4736.60\,\mathrm{kipft^2}\)

Con la nueva rigidez efectiva calculada, se realiza un nuevo análisis estático para obtener la deflexión:

Se obtiene una deflexión vertical de 0.420 in en el centro de la viga.

La deflexión límite se define como: \(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}\)

\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{12.00\,\mathrm{ft}}{240.000} = 0.600\,\mathrm{in}\)

Con base en esto, se calcula el índice de verificación de diseño como: \(\eta = \left|\dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}}\right|\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.420\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 0.701\)

2. Cálculo de la Carga Total de Deflexión

Para la deflexión total, CO2 (LC1 + LC2) es la combinación de carga dominante. Está presente un momento de flexión de 43.20 kipft. Dado que solo las cargas sostenidas causan fluencia y retracción, los efectos de fluencia no se consideran al calcular las propiedades de la sección transversal para cargas a corto plazo. Por lo tanto, se utiliza el módulo de elasticidad efectivo del concreto E_c para el cálculo, y el coeficiente de curvatura de retracción se establece en 1.0.

a. Curvatura para Estado No Fisurado

Los parámetros geométricos en el estado no fisurado corresponden a los parámetros geométricos a corto plazo de la carga sostenida:

Estado I - Estado no fisurado
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Distancia del centro de gravedad de la sección ideal desde la superficie de concreto en compresión (determinada para estado no fisurado)	zI	3.108	in
Área de la sección efectiva en estado no fisurado	AI	589.348	in2
Momento de inercia efectivo al centro de gravedad ideal en estado no fisurado	Iy,I	1797.210	in4
Excentricidad del centro de gravedad ideal de la sección en estado no fisurado	ez,I	0.108	in

La curvatura en el estado no fisurado se calcula entonces: \(\kappa_{y,I} = k_{sh,y,I} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,I}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,I}} \)

\(\kappa_{y,I} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot 0.108\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 1797.210\,\text{in}^4} = 1.1\,\text{mrad/ft}\)

b. Curvatura para Estado Fisurado

Los parámetros geométricos en el estado fisurado para cargas a corto plazo se determinan sin considerar los efectos de la fluencia:

Estado II - estado fisurado
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Profundidad de la zona de compresión en estado fisurado	cII	1.536	in
Distancia del centro de gravedad de la sección ideal desde la superficie de concreto en compresión (determinada para estado fisurado)	zII	1.536	in
Área de la sección efectiva en estado fisurado	AII	174.226	in2
Momento de inercia efectivo al centro de gravedad ideal en estado fisurado	Iy,II	496.674	in4

La curvatura en el estado fisurado se calcula entonces: \(\kappa_{y,II} = k_{sh,y,II} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,II}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,II}}\)

\(\kappa_{y,II} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot (-1.464)\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 496.674\,\text{in}^4} = 4.0\,\text{mrad/ft}\)

c. Curvatura de estados no fisurado y fisurado

Para el cálculo del factor de distribución, se requiere el esfuerzo máximo en el estado no fisurado para esta sección transversal: \(f_{max} = \frac{P_{u}}{A_{I}} + \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot \left( z_{I} - \frac{h}{2} \right)}{I_{y,I}} \cdot \left( h - z_{I} \right)\)

El factor de distribución resultante es entonces: \(f_{max} = \frac{0.000\,\text{kip}}{589.348\,\text{in}^2} + \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot \left( 3.108\,\text{in} - \frac{6.000\,\text{in}}{2} \right)}{1797.210\,\text{in}^4} \cdot \left( 6.000\,\text{in} - 3.108\,\text{in} \right) = 0.834\,\text{ksi}\)

Finalmente, se calcula la curvatura final: \(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + \left( 1 - \zeta_{d} \right) \cdot \kappa_{y,I}\)

\(\kappa_{y,f} = 0.892 \cdot 4.0\,\text{mrad/ft} + \left( 1 - 0.892 \right) \cdot 1.1\,\text{mrad/ft} = 3.7\,\text{mrad/ft}\)

d. Rigidez Final

Ahora se pueden determinar los parámetros efectivos de la sección transversal:

Parámetros efectivos de la sección transversal
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Área de la sección ideal	Af	188.543	in2
Momento de inercia ideal al centro ideal de la sección	Iy,f	538.700	in4
Excentricidad del centróide	ez,f	-1.413	in
Momento de inercia ideal al centro geométrico de la sección	Iy,0,f	915.074	in4

La rigidez a la flexión puede calcularse ahora: \(EI_{y,0,f} = E_{c,eff} \cdot I_{y,0,f}\)

\(EI_{y,0,f} = 3122.020\,\text{ksi} \cdot 915.074\,\text{in}^4 = 19839.40\,\text{kipft}^2\)

Usando la rigidez efectiva calculada, se calcula la deflexión total a corto plazo. Se alcanza una deflexión de 0.984.

El cálculo de la deflexión total de la viga bajo cargas frecuentes requiere la consideración de los diferentes componentes de deformación resultantes de varios tipos de carga y sus respectivos efectos sobre el miembro. Las deformaciones a largo y corto plazo deben tratarse por separado para determinar correctamente la deflexión real:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

• u_z,QP,lt: Esta deflexión es causada por cargas sostenidas a largo plazo y tiene en cuenta los efectos de fluencia que experimentará el miembro durante un largo período de tiempo. Esta es la deflexión calculada en la Sección 1.

• u_z,tot,st: Deflexión total a corto plazo. Esta deformación ocurre inmediatamente después de la aplicación de la carga frecuente. Esta es la deflexión calculada en esta sección.

• u_z,QP,st: Deflexión total a corto plazo de las cargas sostenidas a largo plazo. Esta deformación se desarrolla directamente después de la aplicación de las cargas sostenidas y representa la respuesta instantánea del miembro antes de que ocurran los efectos de fluencia.

La deflexión total u_z,tot consiste en la deflexión a largo plazo u_z,QP,lt debido a cargas sostenidas a largo plazo y la deflexión adicional de los efectos a corto plazo. Esta deflexión adicional se calcula como la diferencia entre la deflexión total a corto plazo u_z,tot,st y la deflexión a corto plazo causada por las cargas que inducen fluencia u_z,QP,st. El siguiente gráfico ilustra claramente esto:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

\(u_{z,tot} = 0.420\,\text{in} + \left( 0.630\,\text{in} - 0.067\,\text{in} \right) = 0.984\,\text{in}\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.984\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 1.640 >1 \) En este caso, la deflexión total es mayor que el límite y la verificación de diseño no se cumple.

En resumen, este ejemplo demuestra el cálculo exhaustivo de deflexiones de vigas de concreto armado considerando tanto efectos a corto como a largo plazo, incluyendo fluencia y retracción. Usando el complemento de Diseño de Concreto de RFEM, se determinó la rigidez efectiva de la viga mediante un método analítico que considera estados no fisurados y fisurados, rigidez por tensión y propiedades del material dependientes del tiempo. Primero se calculó la deflexión a largo plazo debido a cargas sostenidas (0.420 in), seguida de la deflexión total a corto plazo bajo cargas frecuentes (0.984 in). Cuando se combinan, la deflexión total (0.984 in) excede el límite permitido (0.600 in), resultando en un índice de verificación de diseño de 1.64, lo que indica que la viga no cumple con los requisitos de servicio. Esto destaca la importancia crítica de modelar con precisión el comportamiento del concreto dependiente del tiempo y las combinaciones de carga en el análisis de servicio.