Análisis de flecha dependiente del tiempo de barras de hormigón armado según ACI 318 considerando efectos a largo plazo (fluencia y retracción según ACI 435)

I. Datos de entrada

1. Geometría

Sistema: Viga de un solo vano
Vano: l = 12 ft
Ancho de la sección transversal: b = 93.0 in
Altura de la sección transversal: h = 6.0 in
Profundidad efectiva: d = 6 – 0.650 – 0.3125 = 5.0375 in

2. Materiales

• Hormigón

Resistencia a la compresión del hormigón: f’c = 3,000 ksi
Módulo de elasticidad: E = 3,122.019 ksi

Para considerar la fluencia y retracción, es necesario activar las propiedades dependientes del tiempo del hormigón:

Estas propiedades ahora están establecidas para todos los miembros y superficies con este material asignado. Sin embargo, es posible editar estas propiedades para un miembro específico editando estas propiedades en las opciones de la sección transversal de ese miembro:

• Acero de refuerzo

Resistencia especificada de fluencia: fy = 40,000 ksi
Módulo de elasticidad: Es = 29,000.0 ksi
Cantidad de refuerzo: 11 barras con 0.625 in de diámetro
Área de refuerzo: As,prov = 3.37 in²
Relación de refuerzo: ρ = 0.60%

3. Configuración de servicio

Para la deflexión dependiente del tiempo, se puede considerar la fluencia y retracción usando dos enfoques diferentes:

• Factor dependiente del tiempo según la Tabla 24.2.4.1.3
• Propiedades del material dependientes del tiempo (fluencia y retracción) según ACI 435

Este ejemplo utiliza el segundo enfoque; por lo tanto, se selecciona en la configuración de servicio:

4. Casos de carga y combinaciones

Las categorías de acción de los casos de carga están definidas de acuerdo con ASCE 7.

• Caso de carga 1 (CC1)

Categoría de acción: Carga permanente (D)
El caso de carga 1 incluye el peso propio del miembro y una carga adicional distribuida uniformemente con una magnitud de 0.8 kip/ft.

• Caso de carga 2 (CC2)

Categoría de acción: Carga viva (L)
El caso de carga 2 consiste en una carga distribuida uniformemente con una magnitud de 1.6 kip/ft.

• Situaciones de diseño

Para el análisis de deflexión, se crea una situación de diseño basada en la Sección 2.4 de ASCE 7 (ASD) usando combinaciones de carga sin factorear. El asistente de combinaciones de carga se activa para esta situación de diseño para generar automáticamente combinaciones de carga.

• Combinaciones de carga

Se generan dos combinaciones de carga:

• CO1: CC1
• CO2: CC1 + CC2

En el análisis de deflexión, la fluencia y retracción en el hormigón armado son causadas solo por cargas sostenidas a largo plazo, como el peso propio de la estructura. Las cargas de corto plazo, como las cargas vivas, generalmente no contribuyen significativamente a estos efectos dependientes del tiempo.
Para capturar con precisión la fluencia y retracción, es esencial definir cargas sostenidas a largo plazo en el análisis. Las deflexiones resultantes de estas cargas sostenidas se calculan y luego se incluyen en la deflexión total al evaluar las combinaciones de carga relevantes. Esto asegura que el comportamiento a largo plazo de la estructura se considere adecuadamente en la evaluación de servicio.
Para considerar estos efectos en el cálculo del complemento de hormigón, se debe crear una situación de diseño separada. Esta situación de diseño se basa en la Sección 2.4 de ASCE 7 (ASD). No se asigna un asistente de combinaciones, ya que la combinación de carga se creará manualmente, permitiendo un control preciso sobre qué cargas sostenidas a largo plazo contribuyen a la fluencia y retracción.

Para indicar al complemento de diseño de hormigón qué situación de diseño incluye la combinación de carga sostenida a largo plazo, el tipo de estado límite de la situación de diseño se establece en Diseño de Servicio | Sostenido a Largo Plazo.

Luego se crea una combinación de carga con la nueva situación de diseño (DS2). En este ejemplo, solo se asume que el peso propio actúa como la carga sostenida a largo plazo que contribuye a la fluencia y retracción. Por lo tanto, se define una combinación de carga que incluye solo el peso propio (CC1) para capturar con precisión los efectos dependientes del tiempo.

La combinación de carga creada CO3 se utiliza luego para calcular la deflexión a largo plazo del miembro debido a la carga sostenida. Para incluir esta deflexión al evaluar la deflexión total, CO3 se asigna como la combinación de carga correspondiente (CO) para las dos combinaciones de carga de DS2.

Con la carga correspondiente asignada, la detección del estado de fisura en la configuración de servicio se establece en "Estado de fisura desde CO correspondiente de la situación de diseño SLS de la carga asociada". Esto asegura que el coeficiente de distribución ζd se calcule como el valor máximo en todas las cargas correspondientes.

II. Cálculo de diseño de hormigón

Para el análisis de deformación en el complemento de Diseño de Hormigón, se utiliza un método analítico para estructuras 2D y elementos 1D que están sujetos a fuerzas axiales y momentos flectores. Esto se basa en la determinación de rigideces efectivas (método de rigidez efectiva) en el plano de la sección transversal, teniendo en cuenta el estado de fisura así como efectos como el endurecimiento por tensión y efectos a largo plazo simples.

1. Cálculo de la deflexión debido a carga sostenida a largo plazo

a. Curvatura para estado no fisurado

Esta sección presenta el cálculo de la deflexión a largo plazo del miembro bajo CO3 (peso propio, incluidos los efectos de fluencia y retracción). La verificación del diseño se lleva a cabo en la ubicación crítica x = 6.0 ft, donde solo está presente un momento flector de M_y,u = 14.40 kipft. La fuerza axial en esta ubicación es P_u = 0.

Los efectos de fluencia se tienen en cuenta reduciendo el módulo de elasticidad. La influencia de la fluencia se incorpora utilizando el coeficiente final de fluencia 𝜑:
Módulo de Elasticidad Efectivo del Hormigón:
\(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{c}}}{1 + \phi}\)
\(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{3122.020\,\mathrm{ksi}}{1 + 3.200} = 743.319\,\mathrm{ksi}\)

Relación Modular Efectiva:
\(\alpha_{e} = \dfrac{E_{s}}{E_{c,eff}}\)
\(\alpha_{e} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{743.319\,\mathrm{ksi}} = 39.01\)

Relación Modular Efectiva (carga a corto plazo):
\(\alpha_{e,st} = \dfrac{E_{s}}{E_{c}}\)
\(\alpha_{e,st} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{3122.020\,\mathrm{ksi}} = 9.29\)

Las relaciones modulares efectivas se utilizan para calcular los parámetros geométricos para el estado no fisurado (corto y largo plazo) y el estado fisurado:

Estado I - Estado no fisurado
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Distancia del centro de gravedad de la sección ideal desde la superficie de hormigón en compresión (determinada para estado no fisurado)	zI	3.389	in
Área de sección efectiva en estado no fisurado	AI	689.664	in2
Momento de inercia efectivo al centro de gravedad ideal en estado no fisurado	Iy,I	2116.230	in4
Excentricidad del centro de gravedad ideal de la sección en estado no fisurado	ez,I	0.389	in

Estado I - Estado no fisurado - Carga a corto plazo
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Distancia del centro de gravedad de la sección ideal desde la superficie de hormigón en compresión (determinada para estado no fisurado)	zI,st	3.108	in
Área de sección efectiva en estado no fisurado	AI,st	589.348	in2
Momento de inercia efectivo al centro de gravedad ideal en estado no fisurado	Iy,I,st	1797.210	in4

Retracción:
La retracción causa una fuerza axial adicional en el refuerzo. Debido a la excentricidad del refuerzo al centro de gravedad de la sección ideal, se presenta una curvatura adicional causada por retracción.

La fuerza adicional debido a retracción se calcula:
\( \mathrm{P_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bottom)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (top)}} \right) \)

\( \mathrm{P_{sh}} = -29000.000\,\mathrm{ksi} \cdot -0.600000\,\text{‰} \cdot \left( 3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2} \right) = 58.721\,\mathrm{kip} \)

La excentricidad de la fuerza de retracción al centro de gravedad de la sección ideal en el estado no fisurado es entonces:

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{A_{s,def,+z (bottom)} \cdot d_{def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)} \cdot d_{def,-z (top)}}{A_{s,def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)}} - \mathrm{z_{I}}\)

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{3.37\,\mathrm{in^2} \cdot 5.037\,\mathrm{in} + 0.00\,\mathrm{in^2} \cdot 3.000\,\mathrm{in}}{3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2}} - 3.389\,\mathrm{in} = 1.649\,\mathrm{in}\)

Como resultado, el momento flector causado por la fuerza axial P_sh:
\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{P_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}\)

\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = 58.721\,\mathrm{kip} \cdot 1.649\,\mathrm{in} = 8.07\,\mathrm{kipft}\)

Luego se determina un coeficiente de curvatura para el estado no fisurado. Indica cómo actúa el momento de retracción en relación con la fuerza axial y su excentricidad. Muestra cómo la distribución de las fuerzas de retracción y la ubicación del centroide influyen en las deformaciones del elemento. Este valor es crucial para describir completamente las deformaciones de la sección transversal causadas por retracción:
\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}\)

\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{8.07\,\mathrm{kipft} + 14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}} = 1.560\)

La curvatura total para el estado no fisurado se puede calcular ahora:

\(\kappa_{y,I} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}\)
\(\kappa_{y,I} = 1.560 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 2116.230\,\mathrm{in^4}} = 2.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

b. Curvatura para estado fisurado

Estado II - Estado fisurado -
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Profundidad de la zona de compresión en estado fisurado	cII	2.618	in
Distancia del centro de gravedad de la sección ideal desde la superficie de hormigón en compresión (determinada para estado fisurado)	zII	2.618	in2
Área de sección efectiva en estado fisurado	AII	375.100	in2
Momento de inercia efectivo al centro de gravedad ideal en estado fisurado	Iy,II	1326.990	in4
Excentricidad del centro de gravedad ideal de la sección en estado fisurado	ez,II	-0.382	in

Retracción - Estado fisurado
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Excentricidad de la fuerza de retracción al centro de gravedad de la sección ideal en estado fisurado	esh,z,II	2.420	in
Momento flector causado por la fuerza axial Nsh para estado fisurado	Msh,y,II	11.84	kipft
Coeficiente de curvatura para estado fisurado	ksh,y,II	1.822	-

\(\kappa_{y,II} = \mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}\)
\(\kappa_{y,II} = 1.822 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot (-0.382\,\mathrm{in})}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 1326.990\,\mathrm{in^4}} = 3.8\,\mathrm{mrad/ft}\)

c. Curvatura para estados no fisurados y fisurados

El estrés máximo en el estado no fisurado bajo carga a corto y largo plazo se calcula y luego se compara. El mayor de los dos valores se utiliza para determinar el factor de distribución.

Estrés máximo en estado no fisurado
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Estrés máximo en estado no fisurado (carga a largo plazo)	fmax,lt	0.418	ksi
Estrés máximo en estado no fisurado (carga a corto plazo)	fmax,st	0.278	ksi

El factor de distribución se calcula usando la siguiente fórmula:
\(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot f_{r}}{f_{max}} \right)^2\)
\(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot 0.411\,\mathrm{ksi}}{0.418\,\mathrm{ksi}} \right)^2 = 0.570\)

\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + (1 - \zeta_{d}) \cdot \kappa_{y,I}\)
\(\kappa_{y,f} = 0.570 \cdot 3.8\,\mathrm{mrad/ft} + (1 - 0.570) \cdot 2.1\,\mathrm{mrad/ft} = 3.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

d. Rigidez Final

Utilizando el coeficiente de distribución obtenido junto con los parámetros de la sección transversal en los estados fisurado y no fisurado, se pueden determinar ahora los parámetros efectivos de la sección transversal:

Parámetros efectivos de la sección transversal
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Área de la sección ideal	Af	466.537	in2
Momento de inercia ideal al centro ideal de la sección	Iy,f	909.112	in4
Excentricidad del centroide	ez,f	-0.135	in
Momento de inercia ideal al centro geométrico de la sección	Iy,0,f	917.601	in4

Dado que, en este ejemplo, la única fuerza interna presente es el momento flector, solo la rigidez de flexión tangente es relevante:

\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}\)
\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = 743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 917.601\,\mathrm{in^4} = 4736.60\,\mathrm{kipft^2}\)

Con la nueva rigidez efectiva calculada, se lleva a cabo un nuevo análisis estático para obtener la deflexión:

Se obtiene una deflexión vertical de 0.420 in en el centro del vano de la viga.

La deflexión límite se define como:
\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}\)

\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{12.00\,\mathrm{ft}}{240.000} = 0.600\,\mathrm{in}\)

Con base en esto, la relación de verificación del diseño se calcula como:
\(\eta = \left|\dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}}\right|\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.420\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 0.701\)

2. Cálculo de la carga de deflexión total

Para la deflexión total, CO2 (CC1 + CC2) es la combinación de carga gobernante. Está presente un momento flector de 43.20 kipft.
Dado que solo las cargas sostenidas causan fluencia y retracción, los efectos de fluencia no se consideran al calcular las propiedades de la sección transversal para cargas a corto plazo. Por lo tanto, se utiliza el módulo de elasticidad efectivo del hormigón E_c para el cálculo, y el coeficiente de curvatura de retracción se establece en 1.0.

a. Curvatura para el Estado No Fisurado

Los parámetros geométricos en el estado no fisurado corresponden a los parámetros geométricos a corto plazo de la carga sostenida:

Estado I - Estado no fisurado
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Distancia del centro de gravedad de la sección ideal desde la superficie de hormigón en compresión (determinada para estado no fisurado)	zI	3.108	in
Área de sección efectiva en estado no fisurado	AI	589.348	in2
Momento de inercia efectivo al centro de gravedad ideal en estado no fisurado	Iy,I	1797.210	in4
Excentricidad del centro de gravedad ideal de la sección en estado no fisurado	ez,I	0.108	in

Luego se calcula la curvatura en el estado no fisurado:
\(\kappa_{y,I} = k_{sh,y,I} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,I}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,I}} \)

\(\kappa_{y,I} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot 0.108\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 1797.210\,\text{in}^4} = 1.1\,\text{mrad/ft}\)

b. Curvatura para el Estado Fisurado

Los parámetros geométricos en el estado fisurado para cargas a corto plazo se determinan sin considerar los efectos de fluencia:

Estado II - estado fisurado
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Profundidad de la zona de compresión en estado fisurado	cII	1.536	in
Distancia del centro de gravedad de la sección ideal desde la superficie de hormigón en compresión (determinada para estado fisurado)	zII	1.536	in
Área de sección efectiva en estado fisurado	AII	174.226	in2
Momento de inercia efectivo al centro de gravedad ideal en estado fisurado	Iy,II	496.674	in4

Luego se calcula la curvatura en el estado fisurado:
\(\kappa_{y,II} = k_{sh,y,II} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,II}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,II}}\)

\(\kappa_{y,II} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot (-1.464)\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 496.674\,\text{in}^4} = 4.0\,\text{mrad/ft}\)

c. Curvatura de los estados no fisurado y fisurado

Para el cálculo del factor de distribución, se requiere el estrés máximo en el estado no fisurado para esta sección transversal:
\(f_{max} = \frac{P_{u}}{A_{I}} + \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot \left( z_{I} - \frac{h}{2} \right)}{I_{y,I}} \cdot \left( h - z_{I} \right)\)

El factor de distribución resultante es entonces:
\(f_{max} = \frac{0.000\,\text{kip}}{589.348\,\text{in}^2} + \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot \left( 3.108\,\text{in} - \frac{6.000\,\text{in}}{2} \right)}{1797.210\,\text{in}^4} \cdot \left( 6.000\,\text{in} - 3.108\,\text{in} \right) = 0.834\,\text{ksi}\)

Finalmente, se calcula la curvatura final:
\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + \left( 1 - \zeta_{d} \right) \cdot \kappa_{y,I}\)

\(\kappa_{y,f} = 0.892 \cdot 4.0\,\text{mrad/ft} + \left( 1 - 0.892 \right) \cdot 1.1\,\text{mrad/ft} = 3.7\,\text{mrad/ft}\)

d. Rigidez Final

Los parámetros efectivos de la sección transversal se pueden determinar ahora:

Parámetros efectivos de la sección transversal
Descripción	Símbolo	Valor	Unidad
Área de la sección ideal	Af	188.543	in2
Momento de inercia ideal al centro ideal de la sección	Iy,f	538.700	in4
Excentricidad del centroide	ez,f	-1.413	in
Momento de inercia ideal al centro geométrico de la sección	Iy,0,f	915.074	in4

La rigidez
fness se puede calcular ahora:
\(EI_{y,0,f} = E_{c,eff} \cdot I_{y,0,f}\)

\(EI_{y,0,f} = 3122.020\,\text{ksi} \cdot 915.074\,\text{in}^4 = 19839.40\,\text{kipft}^2\)

Usando la rigidez efectiva calculada, se calcula la deflexión total a corto plazo. Se alcanza una deflexión de 0.984.

El cálculo de la deflexión total de la viga bajo cargas frecuentes requiere la consideración de los diferentes componentes de deformación resultantes de varios tipos de carga y sus respectivos efectos sobre el miembro. Las deformaciones a largo y corto plazo deben tratarse por separado para determinar correctamente la deflexión real:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

• u_z,QP,lt: Esta deflexión es causada por cargas sostenidas a largo plazo y tiene en cuenta los efectos de fluencia que el miembro experimentará durante un largo período de tiempo. Esta es la deflexión calculada en la Sección 1.

• u_z,tot,st: Deflexión total a corto plazo. Esta deformación ocurre inmediatamente después de la aplicación de la carga frecuente. Esta es la deflexión calculada en esta sección.

• u_z,QP,st: Deflexión total a corto plazo de las cargas sostenidas a largo plazo. Esta deformación se desarrolla directamente después de la aplicación de las cargas sostenidas y representa la respuesta instantánea del miembro antes de que ocurran los efectos de fluencia.

La deflexión total u_z,tot consta de la deflexión a largo plazo u_z,QP,lt debido a cargas sostenidas a largo plazo y la deflexión adicional de los efectos a corto plazo. Esta deflexión adicional se calcula como la diferencia entre la deflexión total a corto plazo u_z,tot,st y la deflexión a corto plazo causada por las cargas que inducen fluencia u_z,QP,st. El siguiente gráfico lo ilustra claramente:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

\(u_{z,tot} = 0.420\,\text{in} + \left( 0.630\,\text{in} - 0.067\,\text{in} \right) = 0.984\,\text{in}\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.984\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 1.640 >1 \)
En este caso, la deflexión total es mayor que el límite y la verificación de diseño no se cumple.

En resumen, este ejemplo demuestra el cálculo exhaustivo de las deflexiones de vigas de hormigón armado considerando efectos tanto a corto como a largo plazo, incluidos la fluencia y la retracción. Usando el complemento de Diseño de Hormigón de RFEM, se determinó la rigidez efectiva de la viga a través de un método analítico que tiene en cuenta los estados no fisurado y fisurado, el endurecimiento por tensión y las propiedades del material dependientes del tiempo. La deflexión a largo plazo debida a cargas sostenidas se calculó primero (0.420 in), seguida de la deflexión total a corto plazo bajo cargas frecuentes (0.984 in). Cuando se combinan, la deflexión total (0.984 in) excede el límite permitido (0.600 in), resultando en una relación de verificación de diseño de 1.64, indicando que la viga no satisface los requisitos de servicio. Esto resalta la importancia crítica de modelar con precisión el comportamiento dependiente del tiempo del hormigón y las combinaciones de carga en el análisis de servicio.