Analýza časově závislého průhybu železobetonových prvků podle ACI 318 se zohledněním dlouhodobých účinků (dotvarování a smršťování podle ACI 435)

I. Vstupní údaje

1. Geometrie

Systém: Nosník s jedním polem
Rozpětí: l = 12 ft
Šířka průřezu: b = 93,0 in
Výška průřezu: h = 6,0 in
Efektivní výška: d = 6 – 0,650 – 0,3125 = 5,0375 in

2. Materiály

• Beton

Pevnost betonu v tlaku: f’c = 3 000 ksi
Modul pružnosti: E = 3 122,019 ksi

Pro zvažování dotvarování a smršťování je třeba aktivovat časově závislé vlastnosti betonu:

Tyto vlastnosti jsou nyní nastaveny pro všechny pruty a plochy s přiřazeným tímto materiálem. Je však možné upravit tyto vlastnosti pro specifický prut úpravou vlastností v možnostech průřezu daného prutu:

• Výztužná ocel

Definovaná mez kluzu: fy = 40 000 ksi
Modul pružnosti: Es = 29 000,0 ksi
Množství výztuže: 11 prutů s průměrem 0,625 in
Plocha výztuže: As,prov = 3,37 in²
Podíl výztuže: ρ = 0,60%

3. Konfigurace užitných stavy

Pro časově závislé průhyby lze dotvarování a smršťování zvažovat dvěma různými přístupy:

• Časově závislý faktor podle Tabulky 24.2.4.1.3
• Časově závislé materiálové vlastnosti (dotvarování a smršťování) podle ACI 435

V tomto příkladu se použije druhý přístup; proto je vybrán v konfiguraci užitných stavy:

4. Zatěžovací stavy a kombinace

Kategorie akce zatěžovacích stavů jsou definovány v souladu s ASCE 7.

• Zatěžovací stav 1 (LC1)

Kategorie akce: Vlastní tíha (D)
Zatěžovací stav 1 zahrnuje vlastní tíhu prutu a dodatečné rovnoměrně rozložené zatížení prutu o velikosti 0,8 kip/ft.

• Zatěžovací stav 2 (LC2)

Kategorie akce: Proměnné zatížení (L)
Zatěžovací stav 2 se skládá z rovnoměrně rozloženého zatížení prutu o velikosti 1,6 kip/ft.

• Návrhové situace

Pro analýzu průhybu je vytvořena návrhová situace na základě ASCE 7 Oddíl 2.4 (ASD) s použitím neupravených kombinací zatížení. Pro tuto návrhovou situaci je aktivována průvodce kombinacemi zatížení, aby automaticky generovala kombinace zatížení.

• Kombinace zatížení

Jsou generovány dvě kombinace zatížení:

• CO1: LC1
• CO2: LC1 + LC2

Při analýze průhybu jsou dotvarování a smršťování v železobetonu způsobeny pouze dlouhodobými, trvalými zatíženími, jako je vlastní tíha struktury. Krátkodobá zatížení, jako je proměnné zatížení, obecně významně nepřispívají k těmto časově závislým efektům.
Pro přesné zachycení dotvarování a smršťování je nezbytné definovat trvalá dlouhodobá zatížení v analýze. Průhyby vyplývající z těchto trvalých zatížení jsou pak vypočítány a následně zahrnuty do celkového průhybu při hodnocení relevantních kombinací zatížení. To zajišťuje, že dlouhodobé chování struktury je řádně zohledněno v posouzení užitných stavy.
Aby se tyto efekty zohlednily v další výpočtu betonu, musí být vytvořena samostatná návrhová situace. Tato návrhová situace je založena na ASCE 7 Oddíl 2.4 (ASD). Není přidělen žádný průvodce kombinacemi, protože kombinace zatížení bude vytvořena ručně, což umožňuje přesnou kontrolu nad tím, která trvalá dlouhodobá zatížení přispívají k dotvarování a smršťování.

Pro označení dalšího návrhového rozšíření betonu, která návrhová situace zahrnuje kombinaci dlouhodobého trvalého zatížení, je typ mezního stavu návrhové situace nastaven na "Návrh pro použití | Dlouhodobě trvající".

Poté je vytvořena kombinace zatížení s novou návrhovou situací (DS2). V tomto příkladu se předpokládá, že pouze vlastní tíha působí jako dlouhodobé trvalé zatížení přispívající k dotvarování a smršťování. Proto je definována kombinace zatížení zahrnující pouze vlastní tíhu (LC1) k přesnému zachycení časově závislých efektů.

Vytvořená kombinace zatížení CO3 je pak použita k výpočtu dlouhodobého průhybu prutu v důsledku trvalého zatížení. Pro zahrnutí tohoto průhybu při hodnocení celkového průhybu je CO3 přiřazena jako odpovídající kombinace zatížení (CO) pro dvě kombinace zatížení DS2.

S přiřazeným odpovídajícím zatížením je detekce stavu prasklin v konfiguraci užitných stavy nastavena na "Stav prasklin z odpovídající CO užitkové návrhové situace z přiřazeného zatížení". To zajišťuje, že koeficient distribuce ζd je vypočten jako maximální hodnota napříč všech odpovídajících zatížení.

II. Výpočet návrhu na beton

Pro analýzu deformací v doplňku pro návrh na beton se používá analytická metoda pro 2D struktury a 1D prvky, které jsou vystaveny axiálním silám a ohybovým momentům. To je založeno na určení efektivních tuhostí (metoda efektivní tuhosti) na ploše průřezu s přihlédnutím k stavu prasklin a také účinkům, jako je tahu a dlouhodobý efekt.

1. Výpočet průhybu v důsledku dlouhodobého trvalého zatížení

a. Zakřivení pro neprasklý stav

Tato sekce představuje výpočet dlouhodobého průhybu prutu pod CO3 (vlastní tíha, včetně účinků dotvarování a smršťování). Návrhová kontrola se provádí na kritickém místě x = 6,0 ft, kde je přítomný pouze ohybový moment M_y,u = 14,40 kipft. Axiální síla na tomto místě je P_u = 0.

Vliv dotvarování je zohledněn snížením modulu pružnosti. Vliv dotvarování je začleněn pomocí konečného koeficientu dotvarování 𝜑:
Efektivní modul pružnosti betonu:
\(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{c}}}{1 + \phi}\)
\(\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{3122.020\,\mathrm{ksi}}{1 + 3.200} = 743.319\,\mathrm{ksi}\)

Efektivní modulární poměr:
\(\alpha_{e} = \dfrac{E_{s}}{E_{c,eff}}\)
\(\alpha_{e} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{743.319\,\mathrm{ksi}} = 39.01\)

Efektivní modulární poměr (krátkodobé zatížení):
\(\alpha_{e,st} = \dfrac{E_{s}}{E_{c}}\)
\(\alpha_{e,st} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{ksi}}{3122.020\,\mathrm{ksi}} = 9.29\)

Efektivní modulární poměry jsou použity k výpočtu geometrických parametrů pro neprasklý stav (krátkodobý a dlouhodobý) a prasklý stav:

Stav I - Neprasklý stav
Popis	Symbol	Hodnota	Jednotka
Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od povrchu betonu v tlaku (stanovena pro neprasklý stav)	zI	3.389	in
Efektivní plocha průřezu v neprasklém stavu	AI	689.664	in2
Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti v neprasklém stavu	Iy,I	2116.230	in4
Excentricita ideálního těžiště průřezu v neprasklém stavu	ez,I	0.389	in

Stav I - Neprasklý stav - Krátkodobé zatížení
Popis	Symbol	Hodnota	Jednotka
Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od povrchu betonu v tlaku (stanovena pro neprasklý stav)	zI,st	3.108	in
Efektivní plocha průřezu v neprasklém stavu	AI,st	589.348	in2
Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti v neprasklém stavu	Iy,I,st	1797.210	in4

Smršťování:
Smršťování způsobuje dodatečnou osovou sílu ve výztuži. V důsledku excentricity výztuže vzhledem k těžišti ideálního průřezu je přítomné dodatečné zakřivení způsobené smršťováním.

Dodatečná síla v důsledku smršťování se pak vypočítá:
\( \mathrm{P_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bottom)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (top)}} \right) \)

\( \mathrm{P_{sh}} = -29000.000\,\mathrm{ksi} \cdot -0.600000\,\text{‰} \cdot \left( 3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2} \right) = 58.721\,\mathrm{kip} \)

Excentricita síly smršťování vzhledem k těžišti ideálního průřezu v neprasklém stavu je pak:

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{A_{s,def,+z (bottom)} \cdot d_{def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)} \cdot d_{def,-z (top)}}{A_{s,def,+z (bottom)} + A_{s,def,-z (top)}} - \mathrm{z_{I}}\)

\(\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{3.37\,\mathrm{in^2} \cdot 5.037\,\mathrm{in} + 0.00\,\mathrm{in^2} \cdot 3.000\,\mathrm{in}}{3.37\,\mathrm{in^2} + 0.00\,\mathrm{in^2}} - 3.389\,\mathrm{in} = 1.649\,\mathrm{in}\)

Výsledný ohybový moment způsobený osovou silou P_sh:
\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{P_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}\)

\(\mathrm{M_{sh,y,I}} = 58.721\,\mathrm{kip} \cdot 1.649\,\mathrm{in} = 8.07\,\mathrm{kipft}\)

Koeficient zakřivení pro neprasklý stav je pak určen. Ukazuje, jak smršťovací moment působí relativně k osové síle a její excentricitě. Ukazuje, jak distribuce smršťovacích sil a umístění těžiště ovlivňují deformace prvku. Tato hodnota je klíčová pro úplný popis deformací průřezu způsobených smršťováním:
\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}\)

\(\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{8.07\,\mathrm{kipft} + 14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}} = 1.560\)

Celkové zakřivení pro neprasklý stav může být nyní vypočítáno:

\(\kappa_{y,I} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}\)
\(\kappa_{y,I} = 1.560 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot 0.389\,\mathrm{in}}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 2116.230\,\mathrm{in^4}} = 2.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

b. Zakřivení pro prasklý stav

Stav II - Prasklý stav -
Popis	Symbol	Hodnota	Jednotka
Hloubka tlakové zóny v prasklém stavu	cII	2.618	in
Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od povrchu betonu v tlaku (stanovena pro prasklý stav)	zII	2.618	in2
Efektivní plocha průřezu v prasklém stavu	AII	375.100	in2
Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti v prasklém stavu	Iy,II	1326.990	in4
Excentricita ideálního těžiště průřezu v prasklém stavu	ez,II	-0.382	in

Smršťování - Prasklý stav
Popis	Symbol	Hodnota	Jednotka
Excentricita síly smršťování k těžišti ideálního průřezu v prasklém stavu	esh,z,II	2.420	in
Ohybový moment způsobený osovou silou Nsh pro prasklý stav	Msh,y,II	11.84	kipft
Koeficient zakřivení pro prasklý stav	ksh,y,II	1.822	-

\(\kappa_{y,II} = \mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{P_{u}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}\)
\(\kappa_{y,II} = 1.822 \cdot \dfrac{14.40\,\mathrm{kipft} - 0.000\,\mathrm{kip} \cdot (-0.382\,\mathrm{in})}{743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 1326.990\,\mathrm{in^4}} = 3.8\,\mathrm{mrad/ft}\)

c. Zakřivení pro neprasklé a prasklé stavy

Maximální napětí v neprasklém stavu při krátkodobém a dlouhodobém zatížení je vypočítáno a poté porovnáno. Větší z těchto dvou hodnot je použita pro určení koeficientu distribuce.

Maximální napětí v neprasklém stavu
Popis	Symbol	Hodnota	Jednotka
Maximální napětí v neprasklém stavu (dlouhodobé zatížení)	fmax,lt	0.418	ksi
Maximální napětí v neprasklém stavu (krátkodobé zatížení)	fmax,st	0.278	ksi

Koeficient distribuce se vypočítá podle následujícího vzorce:
\(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot f_{r}}{f_{max}} \right)^2\)
\(\zeta_{d} = 1 - \left( \dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot 0.411\,\mathrm{ksi}}{0.418\,\mathrm{ksi}} \right)^2 = 0.570\)

\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + (1 - \zeta_{d}) \cdot \kappa_{y,I}\)
\(\kappa_{y,f} = 0.570 \cdot 3.8\,\mathrm{mrad/ft} + (1 - 0.570) \cdot 2.1\,\mathrm{mrad/ft} = 3.1\,\mathrm{mrad/ft}\)

d. Finální tuhost

Použitím získaného koeficientu distribuce spolu s parametry průřezu v prasklém a neprasklém stavu lze nyní určit efektivní parametry průřezu:

Efektivní parametry průřezu
Popis	Symbol	Hodnota	Jednotka
Ideální plocha průřezu	Af	466.537	in2
Ideální moment setrvačnosti k ideálnímu středu průřezu	Iy,f	909.112	in4
Excentricita těžiště	ez,f	-0.135	in
Ideální moment setrvačnosti k geometrickému středu průřezu	Iy,0,f	917.601	in4

Protože v tomto příkladu je jedinou vnitřní silou ohybový moment, je relevantní pouze tangenciální ohybová tuhost:

\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = E_{c,eff} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}\)
\(\mathrm{EI_{y,0,f}} = 743.319\,\mathrm{ksi} \cdot 917.601\,\mathrm{in^4} = 4736.60\,\mathrm{kipft^2}\)

Při nově vypočítané efektivní tuhosti se provede nový statický výpočet k získání průhybu:

Je získán svislý průhyb 0,420 in u polohy středu nosníku.

Limitní průhyb je definován jako:
\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}\)

\(\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{12.00\,\mathrm{ft}}{240.000} = 0.600\,\mathrm{in}\)

Na základě toho je vypočítán podíl návrhu jako:
\(\eta = \left|\dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}}\right|\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.420\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 0.701\)

2. Výpočet celkového zatížení průhybu

Pro celkový průhyb je řídící kombinací zatížení CO2 (LC1 + LC2). Je přítomný ohybový moment 43,20 kipft.
Vzhledem k tomu, že pouze trvalá zatížení způsobují dotvarování a smršťování, neberou se při výpočtu vlastností průřezu pro krátkodobá zatížení v úvahu účinky dotvarování. Proto je pro výpočet použit efektivní modul pružnosti betonu E_c a koeficient zakřivení smršťování je nastaven na 1,0.

a. Zakřivení pro neprasklý stav

Geometrické parametry v neprasklém stavu odpovídají krátkodobým geometrickým parametrům trvalého zatížení:

Stav I - Neprasklý stav
Popis	Symbol	Hodnota	Jednotka
Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od povrchu betonu v tlaku (stanovena pro neprasklý stav)	zI	3.108	in
Efektivní plocha průřezu v neprasklém stavu	AI	589.348	in2
Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti v neprasklém stavu	Iy,I	1797.210	in4
Excentricita ideálního těžiště průřezu v neprasklém stavu	ez,I	0.108	in

Zakřivení v neprasklém stavu je pak vypočítáno:
\(\kappa_{y,I} = k_{sh,y,I} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,I}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,I}} \)

\(\kappa_{y,I} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot 0.108\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 1797.210\,\text{in}^4} = 1.1\,\text{mrad/ft}\)

b. Zakřivení pro prasklý stav

Geometrické parametry v prasklém stavu pro krátkodobá zatížení jsou určeny bez ohledu na účinky dotvarování:

Stav II - Prasklý stav
Popis	Symbol	Hodnota	Jednotka
Hloubka tlakové zóny v prasklém stavu	cII	1.536	in
Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od povrchu betonu v tlaku (stanovena pro prasklý stav)	zII	1.536	in
Efektivní plocha průřezu v prasklém stavu	AII	174.226	in2
Efektivní moment setrvačnosti k ideálnímu těžišti v prasklém stavu	Iy,II	496.674	in4

Zakřivení v prasklém stavu je pak vypočítáno:
\(\kappa_{y,II} = k_{sh,y,II} \cdot \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot e_{z,II}}{E_{c,eff} \cdot I_{y,II}}\)

\(\kappa_{y,II} = 1.000 \cdot \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot (-1.464)\,\text{in}}{3122.020\,\text{ksi} \cdot 496.674\,\text{in}^4} = 4.0\,\text{mrad/ft}\)

c. Zakřivení z neprasklých a prasklých stavů

Pro výpočet koeficientu distribuce je požadováno maximální napětí v neprasklém stavu pro tento průřez:
\(f_{max} = \frac{P_{u}}{A_{I}} + \frac{M_{y,Ed,def} - P_{u} \cdot \left( z_{I} - \frac{h}{2} \right)}{I_{y,I}} \cdot \left( h - z_{I} \right)\)

Výsledný koeficient distribuce je pak:
\(f_{max} = \frac{0.000\,\text{kip}}{589.348\,\text{in}^2} + \frac{43.20\,\text{kipft} - 0.000\,\text{kip} \cdot \left( 3.108\,\text{in} - \frac{6.000\,\text{in}}{2} \right)}{1797.210\,\text{in}^4} \cdot \left( 6.000\,\text{in} - 3.108\,\text{in} \right) = 0.834\,\text{ksi}\)

Konečné zakřivení je nakonec vypočítáno:
\(\kappa_{y,f} = \zeta_{d} \cdot \kappa_{y,II} + \left( 1 - \zeta_{d} \right) \cdot \kappa_{y,I}\)

\(\kappa_{y,f} = 0.892 \cdot 4.0\,\text{mrad/ft} + \left( 1 - 0.892 \right) \cdot 1.1\,\text{mrad/ft} = 3.7\,\text{mrad/ft}\)

d. Finální tuhost

Efektivní parametry průřezu lze nyní určit:

Efektivní parametry průřezu
Popis	Symbol	Hodnota	Jednotka
Ideální plocha průřezu	Af	188.543	in2
Ideální moment setrvačnosti k ideálnímu středu průřezu	Iy,f	538.700	in4
Excentricita těžiště	ez,f	-1.413	in
Ideální moment setrvačnosti k geometrickému středu průřezu	Iy,0,f	915.074	in4

Ohybová
tuhost lze nyní vypočítat:
\(EI_{y,0,f} = E_{c,eff} \cdot I_{y,0,f}\)

\(EI_{y,0,f} = 3122.020\,\text{ksi} \cdot 915.074\,\text{in}^4 = 19839.40\,\text{kipft}^2\)

Použitím vypočítané efektivní tuhosti je vypočítán krátkodobý celkový průhyb. Byl dosažen průhyb 0,984.

Výpočet celkového průhybu nosníku pod častými zatíženími vyžaduje zvážení různých komponent deformací vyplývajících z různých typů zatížení a jejich účinků na prut. Dlouhodobé a krátkodobé deformace musí být ošetřeny samostatně, aby bylo možné správně určit skutečný průhyb:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

• u_z,QP,lt: Tento průhyb je způsoben dlouhodobými trvalými zatíženími a zohledňuje účinky dotvarování, které prut zažije v dlouhém časovém období. Toto je průhyb vypočítaný v Sekci 1.

• u_z,tot,st: Krátkodobý celkový průhyb. Tato deformace nastává okamžitě po aplikaci častého zatížení. Toto je průhyb vypočítaný v této sekci.

• u_z,QP,st: Krátkodobý celkový průhyb dlouhodobých trvalých zatížení. Tato deformace se rozvine přímo po aplikaci trvalých zatížení a představuje okamžitou reakci prutu před vznikem účinků dotvarování.

Celkový průhyb u_z,tot se skládá z dlouhodobého průhybu u_z,QP,lt v důsledku dlouhodobých trvalých zatížení a dodatečného průhybu z krátkodobých účinků. Tento dodatečný průhyb je vypočítán jako rozdíl mezi celkovým krátkodobým průhybem u_z,tot,st a krátkodobým průhybem způsobeným zatíženími, která způsobují dotvarování, u_z,QP,st. Následující grafika to jasně ilustruje:

\(u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,tot,st} - u_{z,QP,st} \right)\)

\(u_{z,tot} = 0.420\,\text{in} + \left( 0.630\,\text{in} - 0.067\,\text{in} \right) = 0.984\,\text{in}\)

\(\eta = \left|\dfrac{0.984\,\mathrm{in}}{0.600\,\mathrm{in}}\right| = 1.640 >1 \)
V tomto případě je celkový průhyb vyšší než limit a návrhová kontrola není splněna.

Tento příklad shrněn demonstruje komplexní výpočet průhybů železobetonového nosníku s ohledem na krátkodobé i dlouhodobé účinky, včetně dotvarování a smršťování. Používáním dodatku RFEM Concrete Design byla efektivní tuhost nosníku určena pomocí analytické metody zohledňující neprasklý i prasklý stav, zpevnění tahem a časově závislé materiálové vlastnosti. Nejdříve byl vypočítán dlouhodobý průhyb v důsledku trvalých zatížení (0,420 in), následován celkovým krátkodobým průhybem pod častými zatíženími (0,984 in). Kombinovaně pak celkový průhyb (0,984 in) překračuje přípustný limit (0,600 in), což má za následek návrhový poměr 1,64, což naznačuje, že nosník nevyhovuje požadavkům na použitelnost. To zdůrazňuje klíčovou důležitost přesného modelování časově závislého chování betonu a kombinací zatížení při analýze použitelnosti.