512x

2020-11-29

VE0033 | Тарелка с отверстием

Описание

Широкая пластина с отверстием нагружается в одном направлении за счет растягивающего напряжения σ по следующему рисунку. Ширина пластины велика по отношению к радиусу отверстия и она очень тонкая с учетом состояния плоского напряжения.

Материал	Сталь	Модуль упругости	E	210000,000	МПа
Материал	Сталь	коэффициент Пуассона	ν	0,270	-
Геометрия		Ширина плиты	2L	800,000	мм
		Толщина плиты	t	1,000	мм
		Радиус отверстия	[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]	20,000	мм
Нагрузка		растяжение	σ	100,000	МПа

Определите радиальное напряжение σ_r, касательное напряжение σ_θ и напряжение сдвига τ_rθ в контрольных точках A и B согласно рисунку 1. Тарелка считается бесконечно широкой. Таким образом, пластина, смоделированная в RFEM 5 и RFEM 6, является относительно большой.

01 Пластина с отверстием

Аналитическое решение

Аналитическое решение напряженного состояния может быть определено с помощью функции напряжений Эйри Φ, которая задана в состоянии плоского напряжения. Функция напряжений Эйри Φ в полярных координатах определяется следующим образом:

σ_{r} = \frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial θ^{2}}

L	Расстояние между опорой и опорной пружиной
P_e	Критическая нагрузка на стержень с потерей устойчивости
P_e	Критическая нагрузка на стержень с потерей устойчивости

Радиальное напряжение

σ_{θ} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial θ^{2}}

Касательное напряжение

τ_{r θ} = - \frac{\partial}{\partial r} (\frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial θ})

касательные напряжения

Радиальное напряжение σ_r и касательное напряжение σ_θ в непосредственной близости от отверстия имеют следующие результаты:

σ_{r} = \frac{σ}{2} (1 - \frac{r^{2}}{R^{2}}) + \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}} - \frac{4 r^{2}}{R^{2}}) \cos (2 θ)

Радиальное напряжение

σ_{θ} = \frac{σ}{2} (1 + \frac{r^{2}}{R^{2}}) - \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}}) \cos (2 θ)

Касательное напряжение

τ_{r θ} = - \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}} + \frac{2 r^{2}}{R^{2}}) \sin (2 θ)

касательные напряжения

Конкретные результаты для контрольных точек A и B перечислены в таблице результатов ниже.

Настройки RFEM

Создано в RFEM 5.05 и RFEM 6.01
Общий размер элемента l_FE = 0,005 м.
Используется измельчение сетки (круговое), l_КЭ = 0,001 м
Рассмотрен геометрически линейный расчет.
Количество приращений - 5
Используется пластина

Результаты

Контрольная точка А	Аналитическое решение	RFEM 5	сечения	Rfem 6	сечения
σ_r [МПа]	0,000	2,449	-	2,632	-
σ_θ [МПа]	300,000	300,529	1,002	300,753	1,003
τ_rθ [МПа]	0,000	- 0,002	-	- 0,001	-

Контрольная точка B	Аналитическое решение	RFEM 5	сечения	Rfem 6	сечения
σ_r [МПа]	0,000	- 1,753	-	- 1,828	-
σ_θ [МПа]	- 100 000	- 100,216	1,002	- 100,398	1,004
τ_rθ [МПа]	0,000	0,000	-	0,000	-

Результирующие поля напряжений вокруг отверстия показаны на следующих рисунках. В программах RFEM 5 и RFEM 6 значения напряжений σ_r, σ_θ и τ_rθ считываются из значений σ_x, σ_y и τ_xy в соответствующих точках и направлениях.

02 Пластина с отверстием - σ_x

03 Пластина с отверстием - σ_y

04 Пластина с отверстием – τ_xy

;