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29. November 2020

VE0033 | Platte mit Öffnung

Beschreibung

Eine breite Platte mit Öffnung wird mittels Zugspannung σ in einer Richtung gemäß der Zeichnung unten belastet. Die Plattenbreite ist mit Bezug auf den Radius der Öffnung groß und mit Bezug auf den Zustand der ebenen Spannung sehr dünn.

Material	Stahl	Elastizitätsmodul	E	210000,000	MPa
Material	Stahl	Querdehnzahl	ν	0,270	-
Geometrie		Plattenbreite	2L	800,000	mm
		Plattendicke	t	1,000	mm
		Öffnungsradius	r	20,000	mm
Last		Zug	σ	100,000	MPa

In den Punkten A und B soll die Radialspannung σ_r, die Tangentialspannung σ_θ und die Schubspannung τ_rθ gemäß Bild 1 bestimmt werden. Die Platte wird als unendlich breit betrachtet. Somit ist die in RFEM 5 und RFEM 6 modellierte Platte relativ groß.

01 Platte mit Öffnung

Analytische Lösung

Die analytische Lösung des Spannungszustandes kann mit Hilfe der Airy’schen Spannungsfunktion Φ ermittelt werden, die im ebenen Spannungszustand festgelegt wird. Die Airy'sche Spannungsfunktion Φ ist in den Polarkoordinaten wie folgt definiert:

σ_{r} = \frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial θ^{2}}

r	Radiale Koordinate
θ	Tangentialkoordinate
Φ	Airy’sche Spannungsfunktion

Radialspannung-

σ_{θ} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial θ^{2}}

Tangentialspannung

τ_{r θ} = - \frac{\partial}{\partial r} (\frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial θ})

Schubspannung

Die Radialspannung σ_r und die Tangentialspannung σ_θ in der Nähe der Öffnung ergeben sich wie folgt:

σ_{r} = \frac{σ}{2} (1 - \frac{r^{2}}{R^{2}}) + \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}} - \frac{4 r^{2}}{R^{2}}) \cos (2 θ)

Radialspannung-

σ_{θ} = \frac{σ}{2} (1 + \frac{r^{2}}{R^{2}}) - \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}}) \cos (2 θ)

Tangentialspannung

τ_{r θ} = - \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}} + \frac{2 r^{2}}{R^{2}}) \sin (2 θ)

Schubspannung

Die spezifischen Ergebnisse für die Punkte A und B sind in der folgenden Ergebnistabelle aufgeführt.

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.05 und RFEM 6.01.
Die globale Elementgröße beträgt l_FE = 0,005 m.
Es wird eine (kreisförmige) Netzverdichtung verwendet, l_FE = 0,001 m.
Theorie I. Ordnung wird berücksichtigt.
Die Anzahl der Stufen beträgt 5.
Platten-Entität wird verwendet.

Ergebnisse

Punkt A	Analytische Lösung	RFEM 5	Ausnutzung	RFEM 6	Ausnutzung
σ_r [MPa]	0,000	2,449	-	2,632	-
σ_θ [MPa]	300,000	300,529	1,002	300,753	1,003
τ_rθ [MPa]	0,000	-0,002	-	-0,001	-

Punkt B	Analytische Lösung	RFEM 5	Ausnutzung	RFEM 6	Ausnutzung
σ_r [MPa]	0,000	-1,753	-	-1,828	-
σ_θ [MPa]	-100,000	-100,216	1,002	-100,398	1,004
τ_rθ [MPa]	0,000	0,000	-	0,000	-

Die resultierenden Spannungsfelder um die Öffnung werden in den folgenden Bildern veranschaulicht. In RFEM 5 und RFEM 6 werden die Spannungen σ_r,σ_θ und τ_rθ aus den Werten von σ_x, σ_y und τ_xy in den entsprechenden Punkten und Richtungen gelesen.

02 Platte mit Öffnung – σ_x

03 Platte mit Öffnung – σ_y

04 Platte mit Öffnung – τ_xy

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