515x

2020-11-29

VE0033 | Płyta z otworem

Opis

Szeroka płyta z otworem jest obciążana w jednym kierunku naprężeniem rozciągającym σ zgodnie z poniższym szkicem. Szerokość płyty jest duża w stosunku do promienia otworu i bardzo cienka, biorąc pod uwagę stan naprężenia w płaszczyźnie.

Materiał	Stal	Moduł sprężystości	E	210000,000	MPa
Materiał	Stal	współczynnik Poissona	ν	0,270	-
Geometria		Szerokość płyty	2L	800,000	mm
		Grubość płyty	t	1,000	mm
		Promień otworu	[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]	20,000	mm
Obciążenie		Rozciąganie	σ	100,000	MPa

Wyznaczyć naprężenie promieniowe σ_r, naprężenie styczne σ_θ i naprężenie styczne τ_rθ w punktach A i B zgodnie z Rysunkiem 1. Płyta rozważa nieskończoną szerokość. Dzięki temu płyta modelowana w RFEM 5 i RFEM 6 jest stosunkowo duża.

01 Płyta z otworem

Rozwiązanie analityczne

Rozwiązanie analityczne stanu naprężenia można określić za pomocą funkcji naprężenia Airy'ego Φ, która jest zdefiniowana w stanie naprężenia płaskiego. Funkcja naprężenia Airy'ego Φ we współrzędnych biegunowych definiuje się następująco:

σ_{r} = \frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial θ^{2}}

[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	Rozpiętość pomiędzy podporą a sprężyną podporową
P_e	Obciążenie krytyczne w pręcie wyboczeniowym
P_e	Obciążenie krytyczne pręta wyboczeniowego

Wymiarowanie

σ_{θ} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial θ^{2}}

Naprężenie styczne

τ_{r θ} = - \frac{\partial}{\partial r} (\frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial θ})

naprężenia styczne

Naprężenie promieniowe σ_r i naprężenie styczne σ_θ w sąsiedztwie otworu są następujące:

σ_{r} = \frac{σ}{2} (1 - \frac{r^{2}}{R^{2}}) + \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}} - \frac{4 r^{2}}{R^{2}}) \cos (2 θ)

Wymiarowanie

σ_{θ} = \frac{σ}{2} (1 + \frac{r^{2}}{R^{2}}) - \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}}) \cos (2 θ)

Naprężenie styczne

τ_{r θ} = - \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}} + \frac{2 r^{2}}{R^{2}}) \sin (2 θ)

naprężenia styczne

Konkretne wyniki dla punktów testowych A i B są wymienione w poniższej tabeli.

Ustawienia RFEM

Modelowane w RFEM 5.05 i RFEM 6.01
Globalny rozmiar elementu wynosi l_FE = 0,005 m
Zastosowano zagęszczenie siatki (kołowe), l_FE = 0,001 m
Uwzględniana jest analiza geometrycznie liniowa
Liczba przyrostów wynosi 5
Zastosowano element płytowy

Wyniki

Punkt pomiarowy A	Rozwiązanie analityczne	RFEM 5	Stosunek	RFEM 6	Stosunek
σ_r [MPa]	0,000	2,449	-	2,632	-
σ_θ [MPa]	300,000	300,529	1,002	300,753	1,003
τ_rθ [MPa]	0,000	-0.002	-	-0,001	-

Punkt pomiarowy B	Rozwiązanie analityczne	RFEM 5	Stosunek	RFEM 6	Stosunek
σ_r [MPa]	0,000	-1,753	-	-1.828	-
σ_θ [MPa]	-100.000	-100.216	1,002	-100.398	1,004
τ_rθ [MPa]	0,000	0,000	-	0,000	-

Wypadkowe pola naprężeń wokół otworu pokazano na poniższych rysunkach. W programie RFEM 5 i RFEM 6 wartości naprężeń σ_r, σ_θ i τ_rθ są odczytywane z wartości σ_x, σ_y, τ_xy w odpowiednich punktach i kierunkach.

02 Płyta z otworem – σ_x

03 Płyta z otworem – σ_y

04 Płyta z otworem – τ_xy

;