515x

29.11.2020

VE0033 | Deska s otvorem

Popis

Široká deska s otvorem se zatíží v jednom směru tahovým napětím σ podle následujícího náčrtu. Šířka desky je velká vzhledem k poloměru otvoru a velmi tenká s ohledem na rovinné napětí.

Materiál	Ocel	Modul pružnosti	E	210000,000	MPa
Materiál	Ocel	Poissonův součinitel	ν	0,270	-
Geometrie		Šířka desky	2L	800,000	mm
		Tloušťka desky	t	1,000	mm
		Poloměr díry	R	20,000	mm
Zatížení		Napětí	σ	100,000	MPa

Ve zkušebních bodech A a B určete podle obrázku 1 radiální napětí σ_r, tangenciální napětí σ_θ a smykové napětí τ_rθ. Deska se uvažuje nekonečně široká. Plocha modelovaná v programech RFEM 5 a RFEM 6 je tak poměrně velká.

01 Plech s otvorem

Analytické řešení

Analytické řešení napjatosti lze stanovit pomocí funkce Airyho napětí Φ, která je definována v rovinném stavu napětí. Funkce vzdušného napětí Φ v polárních souřadnicích je definována následovně:

σ_{r} = \frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial θ^{2}}

L	vzdálenost mezi uložením a pružnou podporou
P_e	kritická síla ve vzpěrném prutu
P_e	kritická síla ve vzpěrném prutu

Posouzení radiálního

σ_{θ} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial θ^{2}}

Tangenciální napětí

τ_{r θ} = - \frac{\partial}{\partial r} (\frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial θ})

Napětí ve smyku

Radiální napětí σ_r a tangenciální napětí σ_θ v blízkosti otvoru mají následující výsledky:

σ_{r} = \frac{σ}{2} (1 - \frac{r^{2}}{R^{2}}) + \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}} - \frac{4 r^{2}}{R^{2}}) \cos (2 θ)

Posouzení radiálního

σ_{θ} = \frac{σ}{2} (1 + \frac{r^{2}}{R^{2}}) - \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}}) \cos (2 θ)

Tangenciální napětí

τ_{r θ} = - \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}} + \frac{2 r^{2}}{R^{2}}) \sin (2 θ)

Napětí ve smyku

Konkrétní výsledky pro zkušební body A a B jsou uvedeny v tabulce výsledků níže.

Nastavení programu RFEM

Modelováno v programech RFEM 5.05 a RFEM 6.01
Globální velikost prvku je l_FE = 0,005 m
Je použito zahuštění sítě (kruhová), l_FE = 0,001 m
Je uvažována geometrická lineární analýza
Počet přírůstků je 5
Je použita entita desky

Výsledky

Testovací bod A	Analytické řešení	RFEM 5	Poměrná hodnota	RFEM 6	Poměrná hodnota
σ_r [MPa]	0,000	2,449	-	2,632	-
σ_θ [MPa]	300,000	300,529	1,002	300,753	1,003
τ_rθ [MPa]	0,000	-0,002	-	-0,001	-

Testovací bod B	Analytické řešení	RFEM 5	Poměrná hodnota	RFEM 6	Poměrná hodnota
σ_r [MPa]	0,000	-1,753	-	-1,828	-
σ_θ [MPa]	-100 000	-100,216	1,002	-100,398	1,004
τ_rθ [MPa]	0,000	0,000	-	0,000	-

Výsledná pole napětí v okolí díry jsou znázorněna na následujících obrázcích. V programech RFEM 5 a RFEM 6 se hodnoty napětí σ_r,σ_θ a τ_rθ načtou z hodnot σ_x, σ_y a τ_xy v příslušném bodě a příslušných směrech.

02 Plech s otvorem – σ_x

03 Plech s otvorem – σ_y

04 Plech s otvorem – τ_xy

;