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29.11.2020

VE0033 | Plaque avec trou

Description

La plaque large avec un trou est chargée dans une direction à l'aide de la contrainte de traction selon le schéma suivant. La largeur de la plaque est grande par rapport au rayon du trou et elle est très mince, compte tenu de l'état de la contrainte plane.

Matériau	Acier	Module d'élasticité	E	210000,000	MPa
Matériau	Acier	coefficient de Poisson	ν	0,270	-
Géométrie		Largeur de plaque	2L	800,000	mm
		Épaisseur de plaque	t	1,000	mm
		Rayon du trou	r	20,000	mm
Charge		Tension	σ	100,000	MPa

Déterminer la contrainte radiale σ_r, la contrainte tangentielle_θ et la contrainte de cisaillement_rθ aux points d'essai A et B selon la Figure 1. La plaque est considérée comme une largeur infinie. La plaque modélisée dans RFEM 5 et RFEM 6 est donc relativement grande.

01 Plaque avec trou

Solution analytique

La solution analytique de l'état de contrainte peut être déterminée à l'aide de la fonction de contrainte d'Airy , qui est définie dans l'état de contrainte plane. La fonction de contrainte d'Airy en coordonnées polaires est définie comme suit :

σ_{r} = \frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial θ^{2}}

L	Portée entre l'appui et le ressort d'appui
P_e	Charge critique dans la barre de flambement
P_e	Charge critique de la barre de flambement

Contrainte radiale

σ_{θ} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial θ^{2}}

contrainte tangentielle

τ_{r θ} = - \frac{\partial}{\partial r} (\frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial θ})

Contrainte de cisaillement

La contrainte radiale_r et la contrainte tangentielle_θ à proximité du trou sont les suivantes :

σ_{r} = \frac{σ}{2} (1 - \frac{r^{2}}{R^{2}}) + \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}} - \frac{4 r^{2}}{R^{2}}) \cos (2 θ)

Contrainte radiale

σ_{θ} = \frac{σ}{2} (1 + \frac{r^{2}}{R^{2}}) - \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}}) \cos (2 θ)

contrainte tangentielle

τ_{r θ} = - \frac{σ}{2} (1 + \frac{3 r^{4}}{R^{4}} + \frac{2 r^{2}}{R^{2}}) \sin (2 θ)

Contrainte de cisaillement

Les résultats spécifiques pour les points de test A et B sont indiqués dans le tableau de résultats ci-dessous.

Paramètres de RFEM

Modélisé dans RFEM 5.05 et RFEM 6.01
La taille globale de l'élément est l_EF = 0,005 m
Le raffinement de maillage (circulaire) est utilisé, l_EF = 0,001 m
L'analyse géométriquement linéaire est considérée
Le nombre d'incréments est de 5
L'entité plaque est utilisée

résultats

Point d'essai A	Solution analytique	RFEM5	Ratio	RFEM 6	Ratio
σ_r [MPa]	0,000	2,449	-	2,632	-
σ_θ [MPa]	300,000	300,529	1,002	300,753	1,003
_rθ [MPa]	0,000	-0,002	-	-0,001	-

Point d'essai B	Solution analytique	RFEM5	Ratio	RFEM 6	Ratio
σ_r [MPa]	0,000	-1.753	-	-1.828	-
σ_θ [MPa]	-100.000	-100.216	1,002	-100,398	1,004
_rθ [MPa]	0,000	0,000	-	0,000	-

Les champs de contrainte résultants autour du trou sont illustrés dans les figures suivantes. Dans RFEM 5 et RFEM 6, les valeurs des contraintes_r,σ et_rθ sont_lues à partir des valeurs de_x, σ_y et_xy dans le point et dans les directions appropriés.

02 Plaque avec trou – σ_x

03 Plaque avec trou – σ_y

04 Plaque avec trou – τ_xy

RFEM5
RFEM 6

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