150x

2024-09-13

VE0064 | Толстостенная ёмкость

Описание

Толстостенный сосуд загружается внутренним и внешним давлением. Сосуд с открытыми концами, следовательно, осевого напряжения нет. Проблема моделируется как четверть модели. Определите радиальное смещение внутреннего и внешнего радиуса u_r(r₁), u_r(r₂). Собственный вес не учитывается.

Материал	Упругий	Модуль упругости	E	1.000	МПа
Материал	Упругий	Коэффициент Пуассона	ν	0.250	-
Геометрия		Внутренний радиус	r₁	200.000	мм
Геометрия		Внешний радиус	r₂	300.000	мм
Нагрузка		Внутреннее давление	p₁	60.000	кПа
Нагрузка		Внешнее давление	p₂	10.000	кПа

Толстостенный резервуар

Аналитическое решение

Состояние напряжений в толстостенном сосуде описывается уравнением равновесия

\frac{d σ_{r}}{d r} + \frac{σ_{r} - σ_{t}}{r} = 0

σ_r	Radial stress
σ_t	Tangential stress

Уравнение равновесия для массивного резервуара

Используя уравнения деформаций и закон Гука, получают дифференциальное уравнение второго порядка

\frac{d^{2} u_{r} (r)}{d r^{2}} + \frac{d u_{r} (r)}{d r} - \frac{u_{r} (r)}{r} = 0

Дифференциальное уравнение второго порядка для массивностенного резервуара

Решение приводит к радиальному напряжению σ_r и тангенциальному напряжению σ_t.

σ_{t} (r) = K + \frac{C}{r^{2}},

σ_{r} (r) = K - \frac{C}{r^{2}}

K, C	Real constants

Радиальное и касательное напряжение толстостенного резервуара

Константы K и C получаются с использованием граничных условий.

K = \frac{p_{1} r_{1}^{2} - p_{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}},

C = (p_{1} - p_{2}) \frac{r_{1}^{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}

Константы K и C

Радиальное смещение внутреннего и внешнего радиуса сосуда с открытыми концами u_r(r₁), u_r(r₂) можно определить с помощью следующих уравнений:

u_{r} (r_{1}) = \frac{r_{1}}{E} [σ_{t} (r_{1}) - ν σ_{r} (r_{1})],

u_{r} (r_{2}) = \frac{r_{2}}{E} [σ_{t} (r_{2}) - ν σ_{r} (r_{2})]

Радиальный прогиб внутреннего и внешнего радиуса резервуара с открытым дном

Настройки RFEM

Смоделировано в RFEM 5.06 и RFEM 6.06
Размер элемента l_FE = 2.000 мм
Используется изотропная линейная упругая модель материала

Результаты

Результаты RFEM 6 – общий прогиб

Величина	Аналитическое решение	RFEM 6	Соотношение	RFEM 5	Соотношение
u_r(r₁) [мм]	27.000	26.998	1.000	27.000	1.000
u_r(r₂) [мм]	21.750	21.747	1.000	21.750	1.000

582x

13x

Контрольный пример 000064 | 1

;