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13.09.2024

VE0064 | Réservoir à parois épaisses

Description

Un récipient à paroi épaisse est soumis à une pression intérieure et extérieure. Le récipient est ouvert à ses extrémités ; par conséquent, il n'y a pas de contrainte axiale. Le problème est modélisé comme un modèle quart. Déterminez la déviation radiale du rayon intérieur et extérieur u_r(r₁), u_r(r₂). Le poids propre est négligé.

Matériau	Élastique	Module d'élasticité	E	1.000	MPa
Matériau	Élastique	Coefficient de Poisson	ν	0.250	-
Géométrie		Rayon intérieur	r₁	200.000	mm
Géométrie		Rayon extérieur	r₂	300.000	mm
Charge		Pression intérieure	p₁	60.000	kPa
Charge		Pression extérieure	p₂	10.000	kPa

Réservoir à parois épaisses

Solution analytique

L'état de contrainte du récipient à paroi épaisse est décrit par l'équation d'équilibre

\frac{d σ_{r}}{d r} + \frac{σ_{r} - σ_{t}}{r} = 0

σ_r	Radial stress
σ_t	Tangential stress

Équation d'équilibre pour un réservoir à parois épaisses

En utilisant les équations déformation-déflexion et la loi de Hooke, une équation différentielle du second ordre est obtenue

\frac{d^{2} u_{r} (r)}{d r^{2}} + \frac{d u_{r} (r)}{d r} - \frac{u_{r} (r)}{r} = 0

Équation différentielle du second ordre pour un réservoir à paroi épaisse

La solution conduit à la contrainte radiale σ_r et à la contrainte tangentielle σ_t.

σ_{t} (r) = K + \frac{C}{r^{2}},

σ_{r} (r) = K - \frac{C}{r^{2}}

K, C	Real constants

Contrainte radiale et tangentielle d'un récipient à paroi épaisse

Les constantes K et C sont obtenues en utilisant les conditions aux limites.

K = \frac{p_{1} r_{1}^{2} - p_{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}},

C = (p_{1} - p_{2}) \frac{r_{1}^{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}

Constantes K et C

La déviation radiale du rayon intérieur et du rayon extérieur du récipient ouvert u_r(r₁), u_r(r₂) peut être déterminée en utilisant les équations suivantes :

u_{r} (r_{1}) = \frac{r_{1}}{E} [σ_{t} (r_{1}) - ν σ_{r} (r_{1})],

u_{r} (r_{2}) = \frac{r_{2}}{E} [σ_{t} (r_{2}) - ν σ_{r} (r_{2})]

Déviation radiale du rayon intérieur et extérieur du récipient à extrémité ouverte

Paramètres RFEM

Modélisé dans RFEM 5.06 et RFEM 6.06
La taille de l'élément est l_FE = 2.000 mm
Modèle de matériau isotrope linéaire élastique utilisé

Résultats

Résultats RFEM 6 – Déformation totale

Quantité	Solution analytique	RFEM 6	Rapport	RFEM 5	Rapport
u_r(r₁) [mm]	27.000	26.998	1.000	27.000	1.000
u_r(r₂) [mm]	21.750	21.747	1.000	21.750	1.000

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Exemple de vérification 000064 | 1

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