E-shop

Kontaktovat prodejní tým

Trial verze 90 dní zdarma

Verifikační příklad

Zpět na příklady

150x

009064

13.9.2024

VE0064 | Silnostěnná nádoba

Popis

Silnostěnná nádoba je zatížena vnitřním a vnějším tlakem. Nádoba je otevřená, takže nevzniká normálové napětí. Úloha je modelována jako čtvrtinový model. Určete radiální průhyb vnitřního a vnějšího poloměru u_r(r₁), u_r(r₂). Vlastní tíha je zanedbána.

Materiál	Elastický	Modul pružnosti	E	1.000	MPa
Materiál	Elastický	Poissonův součinitel	ν	0.250	-
Geometrie		Vnitřní poloměr	r₁	200.000	mm
Geometrie		Vnější poloměr	r₂	300.000	mm
Zatížení		Vnitřní tlak	p₁	60.000	kPa
Zatížení		Vnější tlak	p₂	10.000	kPa

Silnostěnná nádoba

Silnostěnná nádoba

Analytické řešení

Stav napětí silnostěnné nádoby je popsán rovnicí rovnováhy

\frac{d σ_{r}}{d r} + \frac{σ_{r} - σ_{t}}{r} = 0

σ_r	Radial stress
σ_t	Tangential stress

Rovnováha pro silnostěnnou nádobu

Pomocí rovnic pro průhyb a Hookova zákona získáme diferenciální rovnici druhého řádu

\frac{d^{2} u_{r} (r)}{d r^{2}} + \frac{d u_{r} (r)}{d r} - \frac{u_{r} (r)}{r} = 0

Diferenciální rovnice druhého řádu pro silnostěnnou nádobu

Řešení vede k radiálnímu napětí σ_r a tangenciálnímu napětí σ_t.

σ_{t} (r) = K + \frac{C}{r^{2}},

σ_{r} (r) = K - \frac{C}{r^{2}}

K, C	Real constants

Radiální a tangenciální napětí silnostěnné nádoby

Konstanty K a C získáme pomocí okrajových podmínek.

K = \frac{p_{1} r_{1}^{2} - p_{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}},

C = (p_{1} - p_{2}) \frac{r_{1}^{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}

Konstanty K a C

Radiální průhyb vnitřního a vnějšího poloměru otevřené nádoby u_r(r₁), u_r(r₂) lze určit pomocí následujících rovnic:

u_{r} (r_{1}) = \frac{r_{1}}{E} [σ_{t} (r_{1}) - ν σ_{r} (r_{1})],

u_{r} (r_{2}) = \frac{r_{2}}{E} [σ_{t} (r_{2}) - ν σ_{r} (r_{2})]

Radiální průhyb vnitřního a vnějšího poloměru otevřené nádoby

Nastavení RFEM

Modelováno v RFEM 5.06 a RFEM 6.06
Velikost prvku je l_FE = 2.000 mm
Izotropní lineárně elastický materiálový model

Výsledky

RFEM 6 výsledky – Celková deformace

RFEM 6 výsledky – Celková deformace

Veličina	Analytické řešení	RFEM 6	Využití	RFEM 5	Využití
u_r(r₁) [mm]	27.000	26.998	1.000	27.000	1.000
u_r(r₂) [mm]	21.750	21.747	1.000	21.750	1.000

Verifikační příklad 000064 | 1

582x

13x

Verifikační příklad 000064 | 1

;