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13. September 2024

VE0064 | Dickwandiger Behälter

Beschreibung

Ein dickwandiger Behälter wird durch Innen- und Außendruck belastet. Der Behälter ist an den Enden offen, sodass keine Axialspannung auftritt. Das Problem wird als Viertel-Modell abgebildet. Ermitteln Sie die radiale Verschiebung des Innen- und Außenradius u_r(r₁), u_r(r₂). Das Eigengewicht wird vernachlässigt.

Material	Elastisch	Elastizitätsmodul	E	1.000	MPa
Material	Elastisch	Poisson-Zahl	ν	0.250	-
Geometrie		Innenradius	r₁	200.000	mm
Geometrie		Außenradius	r₂	300.000	mm
Last		Innendruck	p₁	60.000	kPa
Last		Außendruck	p₂	10.000	kPa

Dickwandiger Behälter

Analytische Lösung

Der Spannungszustand des dickwandigen Behälters wird durch die Gleichgewichtsbedingung beschrieben

\frac{d σ_{r}}{d r} + \frac{σ_{r} - σ_{t}}{r} = 0

σ_r	Radial stress
σ_t	Tangential stress

Gleichgewichtsgleichung für einen dickwandigen Behälter

Unter Verwendung der Verzerrungs-Verschiebungs-Gleichungen und des Hookeschen Gesetzes ergibt sich eine Differentialgleichung zweiter Ordnung.

\frac{d^{2} u_{r} (r)}{d r^{2}} + \frac{d u_{r} (r)}{d r} - \frac{u_{r} (r)}{r} = 0

Differenzgleichung II. Ordnung für einen dickwandigen Behälter

Die Lösung führt zur radialen Spannung σ_r und tangentialen Spannung σ_t.

σ_{t} (r) = K + \frac{C}{r^{2}},

σ_{r} (r) = K - \frac{C}{r^{2}}

K, C	Real constants

Radial- und Tangentialspannung eines dickwandigen Behälters

Konstanten K und C werden unter Verwendung von Randbedingungen ermittelt.

K = \frac{p_{1} r_{1}^{2} - p_{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}},

C = (p_{1} - p_{2}) \frac{r_{1}^{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}

Konstanten K und C

Die radiale Verschiebung des Innen- und Außenradius des an den Enden offenen Behälters u_r(r₁), u_r(r₂) kann mit den folgenden Gleichungen ermittelt werden:

u_{r} (r_{1}) = \frac{r_{1}}{E} [σ_{t} (r_{1}) - ν σ_{r} (r_{1})],

u_{r} (r_{2}) = \frac{r_{2}}{E} [σ_{t} (r_{2}) - ν σ_{r} (r_{2})]

Radiale Durchbiegung des Innen- und Außenradius eines offenen Behälters

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.06 und RFEM 6.06
Die Elementgröße beträgt l_FE = 2.000 mm
Es wird ein isotropes linear-elastisches Materialmodell verwendet.

Ergebnisse

RFEM 6-Ergebnisse – Gesamtdurchbiegung

Anzahl	Analytische Lösung	RFEM 6	Verhältnis	RFEM 5	Verhältnis
u_r(r₁) [mm]	27.000	26.998	1.000	27.000	1.000
u_r(r₂) [mm]	21.750	21.747	1.000	21.750	1.000

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Verifikationsbeispiel 000064 | 1

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