150x

2024-09-13

VE0064 | Grubościenne naczynie

Opis

Grubościenne naczynie jest obciążone ciśnieniem wewnętrznym i zewnętrznym. Naczynie jest otwarte na końcu, więc nie ma naprężenia osiowego. Problem został zamodelowany jako ćwiartka modelu. Określ promieniowe przemieszczenie wewnętrznego i zewnętrznego promienia u_r(r₁), u_r(r₂). Ciężar własny jest pomijany.

Materiał	Elastyczny	Moduł Sprężystości	E	1.000	MPa
Materiał	Elastyczny	Współczynnik Poissona	ν	0.250	-
Geometria		Promień Wewnętrzny	r₁	200.000	mm
Geometria		Promień Zewnętrzny	r₂	300.000	mm
Obciążenie		Ciśnienie Wewnętrzne	p₁	60.000	kPa
Obciążenie		Ciśnienie Zewnętrzne	p₂	10.000	kPa

Zbiornik grubościenny

Rozwiązanie Analityczne

Stan naprężenia grubościennego naczynia opisany jest równaniem równowagi

\frac{d σ_{r}}{d r} + \frac{σ_{r} - σ_{t}}{r} = 0

σ_r	Radial stress
σ_t	Tangential stress

Równanie równowagi dla zbiornika grubościennego

Korzystając z równań odkształcenia-przemieszczenia i Prawa Hooke'a, otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu

\frac{d^{2} u_{r} (r)}{d r^{2}} + \frac{d u_{r} (r)}{d r} - \frac{u_{r} (r)}{r} = 0

Równanie różniczkowe drugiego rzędu dla zbiornika grubościennego

Rozwiązanie prowadzi do naprężeń promieniowych σ_r i naprężeń stycznych σ_t.

σ_{t} (r) = K + \frac{C}{r^{2}},

σ_{r} (r) = K - \frac{C}{r^{2}}

K, C	Real constants

Naprężenia promieniowe i styczne zbiornika grubościennego

Stałe K i C są określane za pomocą warunków brzegowych.

K = \frac{p_{1} r_{1}^{2} - p_{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}},

C = (p_{1} - p_{2}) \frac{r_{1}^{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}

Stałe K i C

Przemieszczenie promieniowe wewnętrznego i zewnętrznego promienia otwartego naczynia u_r(r₁), u_r(r₂) można określić za pomocą następujących równań:

u_{r} (r_{1}) = \frac{r_{1}}{E} [σ_{t} (r_{1}) - ν σ_{r} (r_{1})],

u_{r} (r_{2}) = \frac{r_{2}}{E} [σ_{t} (r_{2}) - ν σ_{r} (r_{2})]

Ugięcie promieniowe wewnętrznego i zewnętrznego promienia zbiornika otwartego

Ustawienia RFEM

Modelowane w RFEM 5.06 i RFEM 6.06
Rozmiar elementu to l_FE = 2.000 mm
Zastosowano izotropowy liniowy model materiału elastycznego

Wyniki

RFEM 6 Wyniki – Ugięcie całkowite

Wielkość	Rozwiązanie Analityczne	RFEM 6	Stosunek	RFEM 5	Stosunek
u_r(r₁) [mm]	27.000	26.998	1.000	27.000	1.000
u_r(r₂) [mm]	21.750	21.747	1.000	21.750	1.000

582x

13x

Przykład weryfikacji 000064 | 1

;