49x

2026-02-20

VE0086 | Изогнутая балка с внеплоскостной нагрузкой

Описание

Четвертькруглый балка с прямоугольным поперечным сечением w × h нагружена внеплоскостной силой F. Не учитывая собственный вес, цель состоит в определении полного прогиба u_z изогнутой балки.

Материал	Изотропный линейно-упругий	Модуль упругости	E	210000.000	МПа
Материал	Изотропный линейно-упругий	Коэффициент Пуассона	ν	0.296	-
Геометрия	Прямоугольное сечение	Радиус	r	1.000	м
		Ширина поперечного сечения	w	25.000	мм
		Высота поперечного сечения	h	50.000	мм
Нагрузка	Внеплоскостная	Сила	F	1.000	кН

Изогнутая балка с нагрузкой вне плоскости

Изогнутая Balka Nagruzannaya Вне Плоскости

Аналитическое решение

Изогнутая балка нагружена изгибающим моментом M_b, крутящим моментом M_t и поперечной силой T. Учитывая следующую схему, эти нагрузки в произвольном сечении равны:

M_{b} = Fa = Frsinφ

M_{t} = Fb = Fr (1 - cosφ)

T = F

Нагрузки, действующие на изогнутую балку

Изогнутая балка с нагрузкой вне плоскости – схема

Прогиб конструкции определяется согласно второму теореме Кастильяно:

u_{z} = \frac{d U}{d F} = \frac{d (U_{b} + U_{t} + U_{s})}{d F},

Вторая теорема Кастильяно

Где полная энергия деформации U состоит из составляющих изгиба (U_b), кручения (U_t) и сдвига (U_s). Используя полярные координаты (ds = r dφ):

U_{b} = \int_{L} \frac{M_{b}^{2} (s)}{2 E I_{y}} d s = \int_{0}^{π / 2} \frac{M_{b}^{2} (φ)}{2 E I_{y}} r d φ

U_{t} = \int_{L} \frac{M_{t}^{2} (s)}{2 G J} d s = \int_{0}^{π / 2} \frac{M_{t}^{2} (φ)}{2 G J} r d φ

U_{s} = \frac{6}{5} \int_{L} \frac{T^{2}}{2 G A} d s = \frac{6}{5} \int_{0}^{π / 2} \frac{T^{2}}{2 G A} r d φ

Энерги деформации

Полный прогиб u_z будет равен:

u_{z} = \frac{3 π F r^{3}}{E w h^{3}} + \frac{1.555 F r^{3}}{G h w^{3}} + \frac{3 π F r}{5 G h w} \approx 38.960 mm

Общее перемещение

Настройки RFEM

Моделирование в RFEM 6.13 и RFEM 5.39
Размер элемента: l_FE = 0.010 м
Изотропный линейно-упругий материал
Теория изгиба плиты по Миндлину

Результаты

Сущность	Теория u_z [мм]	RFEM 6 u_z [мм]	Соотношение [-]	RFEM 5 u_z [мм]	Соотношение [-]
Элемент	38.960	38.973	1.000	38.973	1.000
Пластина, горизонтальная		39.129	1.004	38.642	0.992
Пластина, вертикальная		38.158	0.979	38.117	0.978
Тело		38.703	0.993	38.398	0.986

Модель 000184 | Verification Example 000086 | 1

752x

18x

Контрольный пример 000086 | 1

;