49x

2026-02-20

VE0086 | Belka zakrzywiona z obciążeniem płaszczyznowym

Opis

Belka w kształcie ćwierćkoła o prostokątnym przekroju poprzecznym w × h jest obciążona siłą F działającą poza płaszczyzną. Pomijając ciężar własny, celem jest określenie całkowitego przemieszczenia u_z zakrzywionej belki.

Materiał	Izotropowy Liniowo Sprężysty	Moduł Sprężystości	E	210000.000	MPa
Materiał	Izotropowy Liniowo Sprężysty	Współczynnik Poissona	ν	0.296	-
Geometria	Przekrój Prostokątny	Promień	r	1.000	m
		Szerokość Przekroju Poprzecznego	w	25.000	mm
		Wysokość Przekroju Poprzecznego	h	50.000	mm
Obciążenie	Poza Płaszczyzną	Siła	F	1.000	kN

Belka zakrzywiona z obciążeniem poza płaszczyzną

Rozwiązanie Analityczne

Zakrzywiona belka jest obciążona momentem zginającym M_b, momentem skręcającym M_t i siłą poprzeczną T. Uwzględniając następujące równania, te obciążenia w dowolnym przekroju są równe:

M_{b} = Fa = Frsinφ

M_{t} = Fb = Fr (1 - cosφ)

T = F

Obciążenia działające na zakrzywionej belce

Belka zakrzywiona z obciążeniem z płaszczyzny

Belka zakrzywiona z obciążeniem działającym poza płaszczyzną - Schemat

Przemieszczenie struktury jest określone zgodnie z drugim twierdzeniem Castigliano:

u_{z} = \frac{d U}{d F} = \frac{d (U_{b} + U_{t} + U_{s})}{d F},

Drugie twierdzenie Castigliano

Gdzie całkowita energia odkształcenia U składa się z komponentu zginania (U_b), skręcania (U_t) i ścinania (U_s). Korzystając ze współrzędnych biegunowych (ds = r dφ):

U_{b} = \int_{L} \frac{M_{b}^{2} (s)}{2 E I_{y}} d s = \int_{0}^{π / 2} \frac{M_{b}^{2} (φ)}{2 E I_{y}} r d φ

U_{t} = \int_{L} \frac{M_{t}^{2} (s)}{2 G J} d s = \int_{0}^{π / 2} \frac{M_{t}^{2} (φ)}{2 G J} r d φ

U_{s} = \frac{6}{5} \int_{L} \frac{T^{2}}{2 G A} d s = \frac{6}{5} \int_{0}^{π / 2} \frac{T^{2}}{2 G A} r d φ

Energia odkształcenia

Całkowite przemieszczenie u_z jest wtedy równe:

u_{z} = \frac{3 π F r^{3}}{E w h^{3}} + \frac{1.555 F r^{3}}{G h w^{3}} + \frac{3 π F r}{5 G h w} \approx 38.960 mm

Ugięcie całkowite

Ustawienia RFEM

Modelowane w RFEM 6.13 i RFEM 5.39
Rozmiar elementu: l_FE = 0.010 m
Izotropowy liniowo sprężysty materiał
Teoria zginania płyty Mindlina

Wyniki

Encja	Teoria u_z [mm]	RFEM 6 u_z [mm]	Stosunek [-]	RFEM 5 u_z [mm]	Stosunek [-]
Pręt	38.960	38.973	1.000	38.973	1.000
Płyta, pozioma		39.129	1.004	38.642	0.992
Płyta, pionowa		38.158	0.979	38.117	0.978
Lite		38.703	0.993	38.398	0.986

Model 000184 | Verification Example 000086 | 1

752x

18x

Przykład weryfikacyjny 000086 | 1

;