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2026-02-20

VE0086 | 弯曲梁的平面外荷载

具有矩形截面 w × h 的四分之一圆梁受到面外力 F 的作用。在忽略自重的情况下，目标是确定弯曲梁的总挠度 u_z。

受平面外荷载的曲梁

弯曲梁受到一个弯矩 M_b、扭矩 M_t 和横向力 T。考虑以下方案，这些载荷在任意截面上的等式为：

M_{b} = Fa = Frsinφ

M_{t} = Fb = Fr (1 - cosφ)

T = F

结构的挠度根据 Castigliano 的第二定理确定：

u_{z} = \frac{d U}{d F} = \frac{d (U_{b} + U_{t} + U_{s})}{d F},

其中总应变能 U 由弯曲 (U_b)、扭转 (U_t) 和剪切 (U_s) 组成。使用极坐标 (ds = r dφ)：

U_{b} = \int_{L} \frac{M_{b}^{2} (s)}{2 E I_{y}} d s = \int_{0}^{π / 2} \frac{M_{b}^{2} (φ)}{2 E I_{y}} r d φ

U_{t} = \int_{L} \frac{M_{t}^{2} (s)}{2 G J} d s = \int_{0}^{π / 2} \frac{M_{t}^{2} (φ)}{2 G J} r d φ

U_{s} = \frac{6}{5} \int_{L} \frac{T^{2}}{2 G A} d s = \frac{6}{5} \int_{0}^{π / 2} \frac{T^{2}}{2 G A} r d φ

应变能

总挠度 u_z 等于：

u_{z} = \frac{3 π F r^{3}}{E w h^{3}} + \frac{1.555 F r^{3}}{G h w^{3}} + \frac{3 π F r}{5 G h w} \approx 38.960 mm

总挠度

752x

19x

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