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20.02.2026

VE0086 | Poutre courbée avec charge hors plan

Description

Un faisceau en quart de cercle avec une section transversale rectangulaire w × h est chargé par une force hors plan F. Tout en négligeant le poids propre, l'objectif est de déterminer la déflexion totale u_z du faisceau courbé.

Matériau	Élasticité Linéaire Isotrope	Module d'élasticité	E	210000.000	MPa
Matériau	Élasticité Linéaire Isotrope	Coefficient de Poisson	ν	0.296	-
Géométrie	Section Rectangulaire	Rayon	r	1.000	m
		Largeur de la Section	w	25.000	mm
		Hauteur de la Section	h	50.000	mm
Charge	Hors Plan	Force	F	1.000	kN

Poutre courbée avec charge hors plan

Solution Analytique

Le faisceau courbé est chargé par un moment de flexion M_b, un moment de torsion M_t et par une force transversale T. En considérant le schéma suivant, ces charges à une section quelconque sont égales à:

M_{b} = Fa = Frsinφ

M_{t} = Fb = Fr (1 - cosφ)

T = F

Charges sur poutre courbée

Poutre courbée avec chargement hors-plan | Schéma

La déflexion de la structure est déterminée selon le second théorème de Castigliano:

u_{z} = \frac{d U}{d F} = \frac{d (U_{b} + U_{t} + U_{s})}{d F},

Deuxième théorème de Castigliano

Où l'énergie de déformation totale U est composée des composantes de flexion (U_b), de torsion (U_t) et de cisaillement (U_s). En utilisant les coordonnées polaires (ds = r dφ):

U_{b} = \int_{L} \frac{M_{b}^{2} (s)}{2 E I_{y}} d s = \int_{0}^{π / 2} \frac{M_{b}^{2} (φ)}{2 E I_{y}} r d φ

U_{t} = \int_{L} \frac{M_{t}^{2} (s)}{2 G J} d s = \int_{0}^{π / 2} \frac{M_{t}^{2} (φ)}{2 G J} r d φ

U_{s} = \frac{6}{5} \int_{L} \frac{T^{2}}{2 G A} d s = \frac{6}{5} \int_{0}^{π / 2} \frac{T^{2}}{2 G A} r d φ

Énergie de déformation

La déflexion totale u_z est alors égale à:

u_{z} = \frac{3 π F r^{3}}{E w h^{3}} + \frac{1.555 F r^{3}}{G h w^{3}} + \frac{3 π F r}{5 G h w} \approx 38.960 mm

Flèche totale

Paramètres RFEM

Modélisé dans RFEM 6.13 et RFEM 5.39
Taille de l'élément : l_FE = 0.010 m
Matériau élastique linéaire isotrope
Théorie de la flexion de plaque de Mindlin

Résultats

Entité	Théorie u_z [mm]	RFEM 6 u_z [mm]	Ratio [-]	RFEM 5 u_z [mm]	Ratio [-]
Barre	38.960	38.973	1.000	38.973	1.000
Plaque, horizontale		39.129	1.004	38.642	0.992
Plaque, verticale		38.158	0.979	38.117	0.978
Solide		38.703	0.993	38.398	0.986

Modèle 000184 | Verification Example 000086 | 1

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Exemple de vérification 000086 | 1

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