190x

2025-11-13

VE0101 | Модальный анализ консоли

Описание

Стальная консоль с прямоугольным поперечным сечением полностью закреплена с одной стороны и свободна с другой. Цель данного примера верификации - определить собственные частоты структуры. Проблема описывается следующими параметрами.

Материал	Сталь	Модуль упругости	E	206000.000	МПа
		Коэффициент Пуассона	ν	0.300	-
		Плотность	ρ	7800.000	кг/м³
Геометрия	Консоль	Длина	L	90.000	мм
		Ширина	w	10.000	мм
		Толщина	t	5.000	мм

Модальный анализ консольной балки

Аналитическое решение

Продольные колебания

Собственное продольное колебание тонкого бруса описывается следующей дифференциальной уравнением

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

u	Прогиб в продольном направлении
c	Скорость распространения продольных волн

Дифференциальное уравнение продольных колебаний

c = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

Скорость распространения продольной волны

Решение предполагается в форме u(x,t) = U(x) T(t). Используя эту форму, дифференциальное уравнение может быть переписано следующим образом:

\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} U = 0

ω	Угловая частота

Дифференциальное уравнение

Это дифференциальное уравнение второго порядка с следующим общим решением.

U (x) = C_{1} \sin (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x) + C_{2} \cos (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x)

C₁, C₂

Настоящие константы

Общее решение дифференциального уравнения

Константы C₁ и C₂ могут быть найдены из граничных условий. Отклонение на закрепленной стороне и напряжение на свободной стороне должны быть равны нулю. Волновое уравнение определяется с использованием этих граничных условий.

C_{1} \frac{ω}{c} \cos (\frac{ω}{c} L) = 0

Уравнение волны

Набор угловых частот может быть, очевидно, определен.

ω_{k} = \frac{c}{L} (2 k - 1) \frac{π}{2}, k = 1, 2, 3, \dots

Набор угловых частот

Первая собственная частота в продольном направлении может быть рассчитана.

f_{x 1} = \frac{ω_{1}}{2 π} = \frac{c}{4 L} = 14275.253 H z

Первая собственная частота в продольном направлении

Поперечные колебания

Собственное поперечное колебание тонкого бруса описывается следующим дифференциальным уравнением.

\frac{\partial^{4} v}{\partial x^{4}} + \frac{ρ A}{E I} \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} = 0

A	Площадь сечения

Дифференциальное уравнение поперечного уравнения

Заметьте, что это уравнение должно быть решено для обоих поперечных направлений. Решение предполагается в форме v(x,t) = V(x) T(t). Используя эту форму, дифференциальное уравнение может быть переписано следующим образом:

\frac{d^{4} V}{d x^{4}} - λ^{4} V = 0

Дифференциальное уравнение

Где λ⁴ является подстановкой для следующего выражения.

λ^{4} = \frac{ρ A ω^{2}}{E I}

Замена

Дифференциальное уравнение четвертого порядка имеет следующий общий вид решения.

V (x) = C_{1} \sinh (λ x) + C_{2} \cosh (λ x) + C_{3} \sin (λ x) + C_{4} \cos (λ x)

Общее решение дифференциального уравнения

Константы C₁ до C₄ могут быть найдены из граничных условий. Отклонение и вращение на закрепленной стороне, а также изгибающий момент M и поперечная сила T на свободной стороне должны быть равны нулю. Волновое уравнение для поперечных колебаний определяется с использованием граничных условий.

\cosh (λ L) \cos (λ L) + 1 = 0

Уравнение волн

Это трансцендентное уравнение, и его решение можно найти численно. Собственные частоты могут быть определены.

f_{i} = \frac{1}{2 π} λ_{i}^{2} \sqrt{\frac{E I}{ρ A}}, i = 1, 2, 3,

Частоты поперечных колебаний

Настройки RFEM

Смоделировано в RFEM 6.11 и RFEM 5.08
Глобальный размер элемента l_FE= 0.001 м
Жесткость на сдвиг элементов игнорируется
Используется изотропная линейно-упругая модель материала
Используется объект стержень

Результаты

Собственная частота	Аналитическое решение	RFEM 6	Отношение	RFEM 5 - RF-DYNAM	Отношение
f_x1 [Гц]	14275.253	14275.072	1.000	14275.072	1.000
f_y1 [Гц]	1024.900	1024.778	1.000	1024.820	1.000
f_y2 [Гц]	6422.940	6418.894	0.999	6417.154	0.999
f_y3 [Гц]	17984.417	17960.053	0.999	17960.779	0.999
f_z1 [Гц]	512.450	512.413	1.000	512.495	1.000
f_z2 [Гц]	3211.470	3210.490	1.000	3211.004	1.000
f_z3 [Гц]	8992.208	8986.983	0.999	8988.420	1.000

686x

32x

Контрольный пример 000101 | 1

;