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2025-11-13

VE0101 | Análise modal de consola

Descrição

Uma consola de aço com uma secção transversal retangular é totalmente fixada de um lado e livre do outro. O objetivo deste exemplo de verificação é determinar as frequências naturais da estrutura. O problema é descrito pelos seguintes parâmetros.

Material	Aço	Módulo de Elasticidade	E	206000.000	MPa
		Coeficiente de Poisson	ν	0.300	-
		Densidade	ρ	7800.000	kg/m³
Geometria	Consola	Comprimento	L	90.000	mm
		Largura	w	10.000	mm
		Espessura	t	5.000	mm

Análise modal de consola

Solução Analítica

Oscilações Longitudinais

A oscilação longitudinal natural de uma barra fina é descrita pela seguinte equação diferencial

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

u	Flecha na direção longitudinal
c	Velocidade de propagação de onda longitudinal

Equação diferencial de oscilações longitudinais

c = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

Velocidade de propagação de onda longitudinal

Supõe-se que a solução seja na forma u(x,t) = U(x) T(t). Usando esta forma, a equação diferencial pode ser reescrita da seguinte maneira:

\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} U = 0

ω	Frequência angular

Equação diferencial

Esta é a equação diferencial de segunda ordem com a seguinte solução geral.

U (x) = C_{1} \sin (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x) + C_{2} \cos (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x)

C₁, C₂

Constantes reais

Solução geral da equação diferencial

As constantes C₁ e C₂ podem ser obtidas a partir das condições de contorno. A deflexão na extremidade fixa e a tensão na extremidade livre devem ser zero. A equação de onda é determinada usando estas condições de contorno.

C_{1} \frac{ω}{c} \cos (\frac{ω}{c} L) = 0

Equação da onda

O conjunto de frequências angulares pode então, obviamente, ser determinado.

ω_{k} = \frac{c}{L} (2 k - 1) \frac{π}{2}, k = 1, 2, 3, \dots

Conjunto de frequências angulares

A primeira frequência natural na direção longitudinal pode ser calculada.

f_{x 1} = \frac{ω_{1}}{2 π} = \frac{c}{4 L} = 14275.253 H z

Primeira frequência natural na direção longitudinal

Oscilações Transversais

A oscilação transversal natural de uma barra fina é descrita pela seguinte equação diferencial.

\frac{\partial^{4} v}{\partial x^{4}} + \frac{ρ A}{E I} \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} = 0

A	Área de secção transversal

Equação diferencial da equação transversal

Note que esta equação deve ser resolvida para ambas as direções transversais. Supõe-se que a solução esteja na forma v(x, t) = V(x) T(t). Usando esta forma, a equação diferencial pode ser reescrita da seguinte maneira:

\frac{d^{4} V}{d x^{4}} - λ^{4} V = 0

Equação diferencial

Onde λ⁴ é a substituição para a seguinte expressão.

λ^{4} = \frac{ρ A ω^{2}}{E I}

Substituição

A equação diferencial de quarta ordem tem a seguinte solução geral.

V (x) = C_{1} \sinh (λ x) + C_{2} \cosh (λ x) + C_{3} \sin (λ x) + C_{4} \cos (λ x)

Solução geral da equação diferencial

As constantes C₁ a C₄ podem ser obtidas a partir das condições de contorno. A deflexão e a rotação na extremidade fixa, e o momento fletor M e a força transversal T na extremidade livre, devem ser zero. A equação de onda para as oscilações transversais é determinada usando as condições de contorno.

\cosh (λ L) \cos (λ L) + 1 = 0

Equação da onda

Esta é a equação transcendental, e sua solução pode ser encontrada numericamente. As frequências naturais podem então ser determinadas.

f_{i} = \frac{1}{2 π} λ_{i}^{2} \sqrt{\frac{E I}{ρ A}}, i = 1, 2, 3,

Frequências naturais transversais

Configurações do RFEM

Modelado no RFEM 6.11 e RFEM 5.08
O tamanho global dos elementos é l_FE= 0.001 m
A rigidez ao cisalhamento dos membros é desprezada
Utiliza-se o modelo de material isotrópico linear elástico
É utilizada a entidade de membro

Resultados

Frequência Natural	Solução Analítica	RFEM 6	Razão	RFEM 5 - RF-DYNAM	Razão
f_x1 [Hz]	14275.253	14275.072	1.000	14275.072	1.000
f_y1 [Hz]	1024.900	1024.778	1.000	1024.820	1.000
f_y2 [Hz]	6422.940	6418.894	0.999	6417.154	0.999
f_y3 [Hz]	17984.417	17960.053	0.999	17960.779	0.999
f_z1 [Hz]	512.450	512.413	1.000	512.495	1.000
f_z2 [Hz]	3211.470	3210.490	1.000	3211.004	1.000
f_z3 [Hz]	8992.208	8986.983	0.999	8988.420	1.000

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Exemplo de verificação 000101 | 1

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