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2025-11-13

VE0101 | Analisi modale della mensola

Descrizione

Un mensola in acciaio con sezione trasversale rettangolare è completamente fissata su un lato e libera sull'altro lato. L'obiettivo di questo esempio di verifica è determinare le frequenze naturali della struttura. Il problema è descritto dai seguenti parametri.

Materiale	Acciaio	Modulo di Elasticità	E	206000.000	MPa
		Coefficiente di Poisson	ν	0.300	-
		Densità	ρ	7800.000	kg/m³
Geometria	Mensola	Lunghezza	L	90.000	mm
		Larghezza	w	10.000	mm
		Spessore	t	5.000	mm

Analisi modale di sbalzo

Soluzione Analitica

Oscillazioni Longitudinali

L'oscillazione longitudinale naturale di una barra sottile è descritta dalla seguente equazione differenziale

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

u	Inflessione nella direzione longitudinale
c	Velocità di propagazione delle onde longitudinali

Equazione differenziale delle oscillazioni longitudinali

c = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

Velocità di propagazione delle onde longitudinali

Si suppone che la soluzione sia della forma u(x,t) = U(x) T(t). Utilizzando questa forma, l'equazione differenziale può essere riscritta come segue:

\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} U = 0

ω	Frequenza angolare

Equazione differenziale

Questa è l'equazione differenziale di secondo ordine con la seguente soluzione generale.

U (x) = C_{1} \sin (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x) + C_{2} \cos (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x)

C₁, C₂

Costanti reali

Soluzione generale dell'equazione differenziale

Le costanti C₁ e C₂ possono essere ottenute dalle condizioni al contorno. La deflessione sul lato fisso e lo sforzo sul lato libero devono essere zero. L'equazione d'onda è determinata utilizzando queste condizioni al contorno.

C_{1} \frac{ω}{c} \cos (\frac{ω}{c} L) = 0

Equazione delle onde

L'insieme delle frequenze angolari può quindi, ovviamente, essere determinato.

ω_{k} = \frac{c}{L} (2 k - 1) \frac{π}{2}, k = 1, 2, 3, \dots

Insieme di frequenze angolari

La prima frequenza naturale nella direzione longitudinale può essere calcolata.

f_{x 1} = \frac{ω_{1}}{2 π} = \frac{c}{4 L} = 14275.253 H z

Prima frequenza naturale nella direzione longitudinale

Oscillazioni Trasversali

L'oscillazione trasversale naturale di una barra sottile è descritta dalla seguente equazione differenziale.

\frac{\partial^{4} v}{\partial x^{4}} + \frac{ρ A}{E I} \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} = 0

A	Area di sezione

Equazione differenziale dell'equilibrio trasversale

Si noti che questa equazione deve essere risolta per entrambe le direzioni trasversali. Si suppone che la soluzione sia della forma v(x,t) = V(x) T(t). Utilizzando questa forma, l'equazione differenziale può essere riscritta come segue:

\frac{d^{4} V}{d x^{4}} - λ^{4} V = 0

Equazione differenziale

Dove λ⁴ è la sostituzione per la seguente espressione.

λ^{4} = \frac{ρ A ω^{2}}{E I}

Sostituzione

L'equazione differenziale di quarto ordine ha la seguente soluzione generale>

V (x) = C_{1} \sinh (λ x) + C_{2} \cosh (λ x) + C_{3} \sin (λ x) + C_{4} \cos (λ x)

Soluzione generale dell'equazione differenziale

Le costanti C₁ to C₄ possono essere ottenute dalle condizioni al contorno. La deflessione e la rotazione sul lato fisso, e il momento flettente M e la forza trasversale T sul lato libero, devono essere zero. L'equazione d'onda per le oscillazioni trasversali è determinata utilizzando le condizioni al contorno.

\cosh (λ L) \cos (λ L) + 1 = 0

Equazione delle onde

Questa è l'equazione trascendente, e la sua soluzione può essere trovata numericamente. Le frequenze naturali possono quindi essere determinate.

f_{i} = \frac{1}{2 π} λ_{i}^{2} \sqrt{\frac{E I}{ρ A}}, i = 1, 2, 3,

Frequenze naturali trasversali

Impostazioni RFEM

Modellato in RFEM 6.11 e RFEM 5.08
La dimensione dell'elemento globale è l_FE= 0.001 m
La rigidezza a taglio degli elementi è trascurata
Viene utilizzato un modello materiale elastico isotropo lineare
Viene utilizzata l'entità dell'elemento

Risultati

Frequenza Naturale	Soluzione Analitica	RFEM 6	Rapporto	RFEM 5 - RF-DYNAM	Rapporto
f_x1 [Hz]	14275.253	14275.072	1.000	14275.072	1.000
f_y1 [Hz]	1024.900	1024.778	1.000	1024.820	1.000
f_y2 [Hz]	6422.940	6418.894	0.999	6417.154	0.999
f_y3 [Hz]	17984.417	17960.053	0.999	17960.779	0.999
f_z1 [Hz]	512.450	512.413	1.000	512.495	1.000
f_z2 [Hz]	3211.470	3210.490	1.000	3211.004	1.000
f_z3 [Hz]	8992.208	8986.983	0.999	8988.420	1.000

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Esempio di verifica 000101 | 1

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