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2025-11-13

VE0101 | 悬臂的模态分析

一根矩形截面的钢制悬臂在一侧完全固定，另一侧自由。本验证实例的目标是确定结构的固有频率。问题由以下参数描述。

悬臂结构的模态分析

纵向振动

细杆的自然纵向振动由以下微分方程描述

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

u	纵向挠度
c	纵波传播速度

纵振动微分方程

c = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

纵波传播速度

假设解的形式为 u(x,t) = U(x) T(t)。使用这种形式，微分方程可以重写为：

\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} U = 0

角频率

微分方程

这是一个二阶微分方程，具有以下通解。

U (x) = C_{1} \sin (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x) + C_{2} \cos (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x)

C₁, C₂

实常数

常数 C₁ 和 C₂ 可以从边界条件中获得。固定侧的位移和自由侧的应力必须为零。利用这些边界条件，确定波动方程。

C_{1} \frac{ω}{c} \cos (\frac{ω}{c} L) = 0

波浪方程

显然，可以确定角频率集。

ω_{k} = \frac{c}{L} (2 k - 1) \frac{π}{2}, k = 1, 2, 3, \dots

振动角频率集

可以计算出纵向的第一个固有频率。

f_{x 1} = \frac{ω_{1}}{2 π} = \frac{c}{4 L} = 14275.253 H z

第一阶竖向自频

细杆的自然横向振动由以下微分方程描述。

\frac{\partial^{4} v}{\partial x^{4}} + \frac{ρ A}{E I} \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} = 0

截面面积

请注意，该方程必须同时解对于两个横向方向。假设解的形式为 v(x,t) = V(x) T(t)。使用这种形式，微分方程可以重写为：

\frac{d^{4} V}{d x^{4}} - λ^{4} V = 0

微分方程

其中 λ⁴ 是对以下表达式的替代。

λ^{4} = \frac{ρ A ω^{2}}{E I}

更换

四阶微分方程具有以下通解>

V (x) = C_{1} \sinh (λ x) + C_{2} \cosh (λ x) + C_{3} \sin (λ x) + C_{4} \cos (λ x)

常数 C₁ 到 C₄ 可以从边界条件中获得。固定侧的位移和旋转以及自由侧的弯矩 M 和横向力 T 必须为零。横向振动的波动方程通过边界条件确定。

\cosh (λ L) \cos (λ L) + 1 = 0

波动方程

这是一个超越方程，其解可以通过数值方法找到。随后可以确定固有频率。

f_{i} = \frac{1}{2 π} λ_{i}^{2} \sqrt{\frac{E I}{ρ A}}, i = 1, 2, 3,

横向自振频率

686x

32x

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