190x

13.11.2025

VE0101 | Modální analýza konzolového nosníku

Popis

Ocelový konzolový nosník s obdélníkovým průřezem je na jedné straně pevně uchycen a na druhé straně volný. Cílem tohoto verifikačního příkladu je určit vlastní frekvence konstrukce. Problém je definován následujícími parametry.

Materiál	Ocel	Modul pružnosti	E	206000.000	MPa
		Poissonův součinitel	ν	0.300	-
		Hustota	ρ	7800.000	kg/m³
Geometrie	Konzola	Délka	L	90.000	mm
		Šířka	w	10.000	mm
		Tloušťka	t	5.000	mm

Modální analýza konzoly

Analytické řešení

Podélné kmity

Vlastní podélná oscilace tenké tyče je popsána následující diferenciální rovnicí

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

u	Průhyb v podélném směru
c	Rychlost šíření podélných vln

Diferenciální rovnice podélného kmitání

c = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

Rychlost šíření podélného vlnění

Řešení je uvažováno ve formě u(x,t) = U(x) T(t). V této formě lze diferenciální rovnici přepsat následovně:

\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} U = 0

ω	Úhlová frekvence

Diferenciální rovnice

Jedná se o diferenciální rovnici druhého řádu s následujícím obecným řešením.

U (x) = C_{1} \sin (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x) + C_{2} \cos (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x)

C₁, C₂

Reálné konstanty

Obecné řešení diferenciální rovnice

Konstanty C₁ a C₂ lze získat z okrajových podmínek. Průhyb na pevné straně a napětí na volné straně musí být nulové. Rovnice vlnění se určuje pomocí těchto okrajových podmínek.

C_{1} \frac{ω}{c} \cos (\frac{ω}{c} L) = 0

Rovnice vlnění

Sada úhlových frekvencí pak může být evidentně určena.

ω_{k} = \frac{c}{L} (2 k - 1) \frac{π}{2}, k = 1, 2, 3, \dots

Sada úhlových frekvencí

První vlastní frekvence v podélném směru lze vypočítat.

f_{x 1} = \frac{ω_{1}}{2 π} = \frac{c}{4 L} = 14275.253 H z

První vlastní frekvence v podélném směru

Příčné oscilace

Vlastní příčné oscilace tenké tyče jsou popsány následující diferenciální rovnicí.

\frac{\partial^{4} v}{\partial x^{4}} + \frac{ρ A}{E I} \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} = 0

A	Průřezová plocha

Diferenciální rovnice příčné rovnice

Tato rovnice musí být řešena pro oba příčné směry. Řešení se uvažuje ve formě v(x,t) = V(x) T(t). V této formě lze diferenciální rovnici přepsat následovně:

\frac{d^{4} V}{d x^{4}} - λ^{4} V = 0

Diferenciální rovnice

Kde λ⁴ nahrazuje následující výraz.

λ^{4} = \frac{ρ A ω^{2}}{E I}

Substituce

Diferenciální rovnice čtvrtého řádu má následující obecné řešení>

V (x) = C_{1} \sinh (λ x) + C_{2} \cosh (λ x) + C_{3} \sin (λ x) + C_{4} \cos (λ x)

Obecné řešení diferenciální rovnice

Konstanty C₁ až C₄ lze získat z okrajových podmínek. Průhyb a rotace na pevné straně a ohybový moment M a příčná síla T na volné straně musí být nulové. Rovnice vlnění pro příčné kmitání se určuje pomocí okrajových podmínek.

\cosh (λ L) \cos (λ L) + 1 = 0

Rovnice vlnění

Jedná se o transcendentní rovnici, jejíž řešení lze najít numericky. Následně lze určit vlastní frekvence.

f_{i} = \frac{1}{2 π} λ_{i}^{2} \sqrt{\frac{E I}{ρ A}}, i = 1, 2, 3,

Příčné vlastní frekvence

Nastavení RFEM

Modelováno v RFEM 6.11 a RFEM 5.08
Globální velikost prvku je l_FE= 0.001 m
Smyková tuhost prutů je zanedbatelná
Používá se izotropní lineární elastický materiálový model
Používá se entita prutu

Výsledky

Vlastní frekvence	Analytické řešení	RFEM 6	Poměr	RFEM 5 - RF-DYNAM	Poměr
f_x1 [Hz]	14275.253	14275.072	1.000	14275.072	1.000
f_y1 [Hz]	1024.900	1024.778	1.000	1024.820	1.000
f_y2 [Hz]	6422.940	6418.894	0.999	6417.154	0.999
f_y3 [Hz]	17984.417	17960.053	0.999	17960.779	0.999
f_z1 [Hz]	512.450	512.413	1.000	512.495	1.000
f_z2 [Hz]	3211.470	3210.490	1.000	3211.004	1.000
f_z3 [Hz]	8992.208	8986.983	0.999	8988.420	1.000

686x

32x

Verifikační příklad 000101 | 1

;