191x

2025-11-13

VE0101 | Analiza modalna belki wspornikowej

Opis

Konsola stalowa o przekroju prostokątnym jest całkowicie zamocowana z jednej strony i wolna z drugiej strony. Celem tego przykładu weryfikacyjnego jest określenie częstotliwości własnych konstrukcji. Problem jest opisany przez następujące parametry.

{|class="table-header" |style="background: #BFCFEB" rowspan="3"|Materiał |style="background: #CBDBF2" rowspan="3"|Stal |style="background: #E4F0FB"|Moduł sprężystości |E |206000.000 |MPa |- |style="background: #E4F0FB"|Współczynnik Poissona |ν |0.300 |- |- |style="background: #E4F0FB"|Gęstość |ρ |7800.000 |kg/m³ |- |style="background: #BFCFEB" rowspan="3" |Geometria |style="background: #CBDBF2" rowspan="3"|Konsola |style="background: #E4F0FB"|Długość |L |90.000 |mm |- |style="background: #E4F0FB"|Szerokość |w |10.000 |mm |- |style="background: #E4F0FB"|Grubość |t |5.000 |mm |- }

Analiza modalna konsoli

Rozwiązanie analityczne

Drgania wzdłużne

Naturalne drganie wzdłużne cienkiego pręta jest opisane następującym równaniem różniczkowym

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

u	Ugięcie w kierunku podłużnym
c	Prędkość propagacji fal podłużnych

Równanie różniczkowe drgań podłużnych

c = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

Prędkość propagacji fali podłużnej

Zakłada się, że rozwiązanie ma postać u(x,t) = U(x) T(t). Korzystając z tej formy, równanie różniczkowe można przekształcić w następujący sposób:

\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} U = 0

ω	Częstość kołowa

Równanie różniczkowe

Jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu z następującym ogólnym rozwiązaniem.

U (x) = C_{1} \sin (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x) + C_{2} \cos (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x)

C₁, C₂

Stałe rzeczywiste

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego

Stałe C₁ i C₂ można uzyskać z warunków brzegowych. Ugięcie po stronie zamocowanej i naprężenia po stronie wolnej muszą wynosić zero. Równanie falowe ustala się, stosując te warunki brzegowe.

C_{1} \frac{ω}{c} \cos (\frac{ω}{c} L) = 0

Równanie falowe

Zbiór częstotliwości kątowych można wtedy oczywiście określić.

ω_{k} = \frac{c}{L} (2 k - 1) \frac{π}{2}, k = 1, 2, 3, \dots

Zbiór częstości kątowych

Pierwszą częstotliwość własną w kierunku wzdłużnym można obliczyć.

f_{x 1} = \frac{ω_{1}}{2 π} = \frac{c}{4 L} = 14275.253 H z

Pierwsza częstotliwość drgań własnych w osi podłużnej

Drgania poprzeczne

Naturalne drganie poprzeczne cienkiego pręta jest opisane następującym równaniem różniczkowym.

\frac{\partial^{4} v}{\partial x^{4}} + \frac{ρ A}{E I} \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} = 0

A	Pole przekroju

Równanie różniczkowe równania przechodniego

Należy zauważyć, że równanie to musi być rozwiązane dla obu kierunków poprzecznych. Zakłada się, że rozwiązanie ma postać v(x,t) = V(x) T(t). Korzystając z tej formy, równanie różniczkowe można przekształcić w następujący sposób:

\frac{d^{4} V}{d x^{4}} - λ^{4} V = 0

Równanie różniczkowe

Gdzie λ⁴ jest podstawieniem dla następującego wyrażenia.

λ^{4} = \frac{ρ A ω^{2}}{E I}

Substytucja

Równanie różniczkowe czwartego rzędu ma następujące ogólne rozwiązanie>

V (x) = C_{1} \sinh (λ x) + C_{2} \cosh (λ x) + C_{3} \sin (λ x) + C_{4} \cos (λ x)

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego

Stałe C₁ do C₄ można uzyskać z warunków brzegowych. Ugięcie i obrót po stronie zamocowanej oraz moment zginający M i siła poprzeczna T po stronie wolnej muszą wynosić zero. Równanie falowe dla drgań poprzecznych jest ustalane przy użyciu warunków brzegowych.

\cosh (λ L) \cos (λ L) + 1 = 0

Równanie fali

Jest to równanie transcedentne, którego rozwiązanie można znaleźć metodami numerycznymi. Następnie można określić częstotliwości własne.

f_{i} = \frac{1}{2 π} λ_{i}^{2} \sqrt{\frac{E I}{ρ A}}, i = 1, 2, 3,

Poprzeczne częstotliwości drgań własnych

==Ustawienia RFEM== * Modelowanie w RFEM 6.11 i RFEM 5.08 * Globalny rozmiar elementu to l_FE= 0.001 m * Sztywność na ścinanie członów jest pomijana * Stosuje się izotropowy liniowy model materiałowy sprężysty * Używa się jednostki elementu

Wyniki

{|class="table-header" |style="background: #BFCFEB" |Częstotliwość własna |style="background: #CBDBF2" |Rozwiązanie analityczne |style="background: #CBDBF2" |RFEM 6 |style="background: #CBDBF2" |Stosunek |style="background: #CBDBF2" |RFEM 5 - RF-DYNAM |style="background: #CBDBF2" |Stosunek |- |style="background: #CBDBF2" |f_x1 [Hz] |14275.253 |14275.072 |1.000 |14275.072 |1.000 |- |style="background: #CBDBF2" |f_y1 [Hz] |1024.900 |1024.778 |1.000 |1024.820 |1.000 |- |style="background: #CBDBF2" |f_y2 [Hz] |6422.940 |6418.894 |0.999 |6417.154 |0.999 |- |style="background: #CBDBF2" |f_y3 [Hz] |17984.417 |17960.053 |0.999 |17960.779 |0.999 |- |style="background: #CBDBF2" |f_z1 [Hz] |512.450 |512.413 |1.000 |512.495 |1.000 |- |style="background: #CBDBF2" |f_z2 [Hz] |3211.470 |3210.490 |1.000 |3211.004 |1.000 |- |style="background: #CBDBF2" |f_z3 [Hz] |8992.208 |8986.983 |0.999 |8988.420 |1.000 |- }

686x

32x

Przykład weryfikacyjny 000101 | 1

;