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13. November 2025

VE0101 | Modalanalyse eines Kragträgers

Beschreibung

Ein Kragträger aus Stahl mit rechteckigem Querschnitt ist auf einer Seite vollständig befestigt und auf der anderen Seite frei. Das Ziel dieses Verifikationsbeispiels ist es, die Eigenfrequenzen der Konstruktion zu bestimmen. Das Problem wird durch die folgenden Parameter beschrieben.

Material	Stahl	Elastizitätsmodul	E	206000.000	MPa
		Querdehnzahl	ν	0.300	-
		Dichte	ρ	7800.000	kg/m³
Geometrie	Kragträger	Länge	L	90.000	mm
		Breite	w	10.000	mm
		Dicke	t	5.000	mm

Modalanalyse eines Kragträgers

Analytische Lösung

Längsschwingungen

Die natürliche Längsschwingung eines dünnen Stabs wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

u	Durchbiegung in Längsrichtung
c	Ausbreitungsgeschwindigkeit von Längswellen

Differentialgleichung der Längsschwingungen

c = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

Ausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinalwelle

Die Lösung wird in der Form u(x,t) = U(x) T(t) angenommen. Mit dieser Form kann die Differentialgleichung wie folgt umgeschrieben werden:

\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} U = 0

ω	Winkelfrequenz

Differentialgleichung

Dies ist die Differentialgleichung zweiter Ordnung mit der folgenden allgemeinen Lösung.

U (x) = C_{1} \sin (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x) + C_{2} \cos (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x)

C₁, C₂

Reelle Konstanten

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Die Konstanten C₁ und C₂ können aus den Randbedingungen abgeleitet werden. Die Durchbiegung auf der festen Seite und die Spannung auf der freien Seite müssen null sein. Die Wellengleichung wird anhand dieser Randbedingungen bestimmt.

C_{1} \frac{ω}{c} \cos (\frac{ω}{c} L) = 0

Wellengleichung

Der Satz der Winkelgeschwindigkeiten kann dann natürlich bestimmt werden.

ω_{k} = \frac{c}{L} (2 k - 1) \frac{π}{2}, k = 1, 2, 3, \dots

Satz von Kreisfrequenzen

Die erste Eigenfrequenz in Längsrichtung kann berechnet werden.

f_{x 1} = \frac{ω_{1}}{2 π} = \frac{c}{4 L} = 14275.253 H z

Erste Eigenfrequenz in Längsrichtung

Querschwingungen

Die natürliche Querschwingung eines dünnen Stabes wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben.

\frac{\partial^{4} v}{\partial x^{4}} + \frac{ρ A}{E I} \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} = 0

A	Querschnittsfläche

Differentialgleichung der Transversalgleichung

Beachten Sie, dass diese Gleichung für beide Querrichtungen gelöst werden muss. Die Lösung soll die Form v(x,t) = V(x) T(t) haben. Mit dieser Form kann die Differentialgleichung wie folgt umgeschrieben werden:

\frac{d^{4} V}{d x^{4}} - λ^{4} V = 0

Differentialgleichung

Wobei λ⁴ die Substitution für den folgenden Ausdruck ist.

λ^{4} = \frac{ρ A ω^{2}}{E I}

Substitution

Die Differentialgleichung vierter Ordnung hat die folgende allgemeine Lösung:

V (x) = C_{1} \sinh (λ x) + C_{2} \cosh (λ x) + C_{3} \sin (λ x) + C_{4} \cos (λ x)

Allgemeine Lösung einer Differentialgleichung

Die Konstanten C₁ bis C₄ lassen sich aus den Randbedingungen ableiten. Die Durchbiegung und Drehung auf der festen Seite sowie das Biegemoment M und die Querkraft T auf der freien Seite müssen null sein. Die Wellengleichung für die Querschwingungen wird anhand der Randbedingungen bestimmt.

\cosh (λ L) \cos (λ L) + 1 = 0

Wellengleichung

Dies ist die transzendente Gleichung, deren Lösung numerisch ermittelt werden kann. Anschließend lassen sich die Eigenfrequenzen bestimmen.

f_{i} = \frac{1}{2 π} λ_{i}^{2} \sqrt{\frac{E I}{ρ A}}, i = 1, 2, 3,

Querlaufende Eigenfrequenzen

RFEM-Einstellungen

Modellierung in RFEM 6.11 und RFEM 5.08
Die globale Elementgröße beträgt l_FE= 0,001 m
Die Schubsteifigkeit der Stäbe wird vernachlässigt
Das isotrope linear-elastische Materialmodell wird verwendet
Die Stab-Entität wird verwendet

Ergebnisse

Eigenfrequenz	Analytische Lösung	RFEM 6	Verhältnis	RFEM 5 - RF-DYNAM	Verhältnis
f_x1 [Hz]	14275.253	14275.072	1.000	14275.072	1.000
f_y1 [Hz]	1024.900	1024.778	1.000	1024.820	1.000
f_y2 [Hz]	6422.940	6418.894	0.999	6417.154	0.999
f_y3 [Hz]	17984.417	17960.053	0.999	17960.779	0.999
f_z1 [Hz]	512.450	512.413	1.000	512.495	1.000
f_z2 [Hz]	3211.470	3210.490	1.000	3211.004	1.000
f_z3 [Hz]	8992.208	8986.983	0.999	8988.420	1.000

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Verifikationsbeispiel 000101 | 1

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