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13-11-2025

VE0101 | Análisis modal de voladizo

Descripción

Un voladizo de acero con una sección transversal rectangular está completamente fijado en un lado y libre en el otro lado. El objetivo de este ejemplo de verificación es determinar las frecuencias naturales de la estructura. El problema se describe con los siguientes parámetros.

Material	Acero	Módulo de Elasticidad	E	206000.000	MPa
		Relación de Poisson	ν	0.300	-
		Densidad	ρ	7800.000	kg/m³
Geometría	Voladizo	Longitud	L	90.000	mm
		Ancho	w	10.000	mm
		Espesor	t	5.000	mm

Análisis modal de voladizo

Solución Analítica

Oscilaciones Longitudinales

La oscilación longitudinal natural de una barra delgada se describe mediante la siguiente ecuación diferencial

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

u	Flecha en dirección longitudinal
c	Velocidad de propagación de ondas longitudinales

Ecuación diferencial de oscilaciones longitudinales

c = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

Velocidad de propagación de ondas longitudinales

Se supone que la solución tiene la forma u(x,t) = U(x) T(t). Usando esta forma, la ecuación diferencial se puede reescribir de la siguiente manera:

\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} U = 0

ω	Frecuencia angular

Ecuación diferencial

Esta es la ecuación diferencial de segundo orden con la siguiente solución general.

U (x) = C_{1} \sin (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x) + C_{2} \cos (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x)

C₁, C₂

Constantes reales

Solución general de ecuación diferencial

Las constantes C₁ y C₂ se pueden obtener a partir de las condiciones de contorno. La deflexión en el lado fijo y la tensión en el lado libre deben ser cero. La ecuación de onda se determina usando estas condiciones de contorno.

C_{1} \frac{ω}{c} \cos (\frac{ω}{c} L) = 0

Ecuación de ondas

Entonces, el conjunto de frecuencias angulares se puede determinar claramente.

ω_{k} = \frac{c}{L} (2 k - 1) \frac{π}{2}, k = 1, 2, 3, \dots

Conjunto de frecuencias angulares

Se puede calcular la primera frecuencia natural en la dirección longitudinal.

f_{x 1} = \frac{ω_{1}}{2 π} = \frac{c}{4 L} = 14275.253 H z

Primera frecuencia en dirección longitudinal

Oscilaciones Transversales

La oscilación transversal natural de una barra delgada se describe mediante la siguiente ecuación diferencial.

\frac{\partial^{4} v}{\partial x^{4}} + \frac{ρ A}{E I} \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} = 0

A	Área de sección

Ecuación diferencial de ecuación transversal

Tenga en cuenta que esta ecuación debe resolverse para ambas direcciones transversales. Se supone que la solución tiene la forma v(x,t) = V(x) T(t). Usando esta forma, la ecuación diferencial se puede reescribir de la siguiente manera:

\frac{d^{4} V}{d x^{4}} - λ^{4} V = 0

Ecuación diferencial

Donde λ⁴ es la sustitución de la siguiente expresión.

λ^{4} = \frac{ρ A ω^{2}}{E I}

Sustitución

La ecuación diferencial de cuarto orden tiene la siguiente solución general>

V (x) = C_{1} \sinh (λ x) + C_{2} \cosh (λ x) + C_{3} \sin (λ x) + C_{4} \cos (λ x)

Solución general de la ecuación diferencial

Las constantes C₁ a C₄ se pueden obtener a partir de las condiciones de contorno. La deflexión y la rotación en el lado fijo, y el momento flector M y la fuerza transversal T en el lado libre, deben ser cero. La ecuación de onda para las oscilaciones transversales se determina usando las condiciones de contorno.

\cosh (λ L) \cos (λ L) + 1 = 0

Ecuación de ondas

Esta es la ecuación trascendente, y su solución se puede encontrar numéricamente. Entonces se pueden determinar las frecuencias naturales.

f_{i} = \frac{1}{2 π} λ_{i}^{2} \sqrt{\frac{E I}{ρ A}}, i = 1, 2, 3,

Frecuencias naturales transversales

Configuraciones de RFEM

Modelado en RFEM 6.11 y RFEM 5.08
El tamaño global del elemento es l_FE= 0.001 m
Se descarta la rigidez cortante de los miembros
Se utiliza un modelo de material elástico lineal isotrópico
Se utiliza la entidad de miembro

Resultados

Frecuencia Natural	Solución Analítica	RFEM 6	Proporción	RFEM 5 - RF-DYNAM	Proporción
f_x1 [Hz]	14275.253	14275.072	1.000	14275.072	1.000
f_y1 [Hz]	1024.900	1024.778	1.000	1024.820	1.000
f_y2 [Hz]	6422.940	6418.894	0.999	6417.154	0.999
f_y3 [Hz]	17984.417	17960.053	0.999	17960.779	0.999
f_z1 [Hz]	512.450	512.413	1.000	512.495	1.000
f_z2 [Hz]	3211.470	3210.490	1.000	3211.004	1.000
f_z3 [Hz]	8992.208	8986.983	0.999	8988.420	1.000

686x

32x

Ejemplo de verificación 000101 | 1

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