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Hedi Boukraa, B.Sc.

2023-05-24

VE 1023 | Dimensionamento de uma laje plana de acordo com a norma DIN EN 1992-1-1 com AN: Verificação ao punçoamento

Descrição

O modelo é baseado no exemplo 4 de [1]: Laje com apoio pontual. As forças internas e a armadura longitudinal necessária podem ser encontradas no exemplo de verificação 1022. Neste exemplo, o punçoamento é examinado no eixo B/2.

A armadura de punçoamento necessária é determinada com cálculo manual. Em seguida, os resultados são comparados com os resultados do RFEM.

Exemplo de verificação 1022 | Laje dimensionada segundo a norma DIN EN 1992-1-1 com AN

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Exemplo de verificação 1023 | Laje lisa dimensionada de acordo com a norma DIN EN 1992-1-1 com AN: Verificações ao punçoamento

Solução analítica

A altura efetiva central d_eff resulta do recobrimento de betão e do diâmetro da armadura longitudinal:

d_{eff} = (d_{y} + d_{z}) / 2 = (18.0 + 20.0) / 2 = 19.0 cm

Profundidade efetiva da laje de acordo com a norma DIN EN 1992-1-1, 6.4.2 (1)

O perímetro de controlo básico u₁ é então calculado:

u_{1} = 4 \cdot a + 2 \cdot 2.0 d \cdot π = 4 \cdot 45 + 2 \cdot 2.0 \cdot 19 \cdot π = 418.76 cm

Perímetro de controlo básico no caso de um pilar retangular de acordo com DIN EN 1992-1-1, 6.4.2, Figura 6.13

Com o coeficiente ß=1,10, é calculada uma força de corte a ser suportada no perímetro de controlo:

v_{Ed} = \frac{β \cdot V_{Ed}}{u_{1} \cdot d} = \frac{1.10 \cdot 0.7873 MN}{4.19 m \cdot 0.19 m} = 1.088 MN / m

Tensão de corte máxima segundo a DIN EN 1992-1-1, 6.4.3 (3)

Resistência ao punçoamento da laje sem armadura de corte:

V_{Rd, c} = C_{Rd, c} \cdot k \cdot {(100 \cdot ρ_{l} \cdot f_{ck})}^{1 / 3} + k_{1} \cdot σ_{cp} \geq (v_{\min} + k_{1} \cdot σ_{cp}) = 0.12 \cdot 2.0 \cdot {(100 \cdot 0.0166 \cdot 35)}^{1 / 3} + 0.10 \cdot 0 = 0.929 MN / m^{2} \geq 0.586 MN / m^{2}

where

v_{\min} = (0.0525 / γ_{c}) \cdot k^{3 / 2} \cdot {f_{ck}}^{1 / 2} = (0.0525 / 1.5) \cdot 2 . 0^{3 / 2} \cdot 35^{1 / 2} = 0.586 MN / m^{2}

ρ_{l} = \sqrt{ρ_{ly} \cdot ρ_{lz}} = \sqrt{\frac{31.42 {cm}^{2} / m \cdot 10^{- 4}}{0.18 m} \cdot \frac{31.42 {cm}^{2} / m \cdot 10^{- 4}}{0.20 m}} = 0.0166 \leq 0.02

C_{Rd, c} = 0.18 / γ_{c} = 0.18 / 1.5 = 0.12

k_{1} = 1 + \sqrt{\frac{200 mm}{190 mm}} = 2.02 \leq 2.0

Resistência ao punçoamento da laje sem armadura de corte de acordo com DIN EN 1992-1-1, 6.4.4 (1)

Por isso, é necessária uma armadura de punçoamento.

Valor máximo da resistência ao corte de punçoamento:

v_{Rd, \max} = 1.4 \cdot v_{Rd, c} = 1.4 \cdot 0.929 = 1.300 MN / m^{2} \geq v_{Ed} = 1.088 MN / m^{2}

Valor máximo da resistência ao punçoamento segundo a DIN EN 1992-1-1/NA, 6.4.5 (3)

Determinação da área armada por punçoamento:

V_{Rd, c, out} = C_{Rd, c} \cdot k \cdot {(100 \cdot ρ_{l} \cdot f_{ck})}^{1 / 3} + k_{1} \cdot σ_{cp} \geq (v_{\min} + k_{1} \cdot σ_{cp}) V_{Rd, c} = 0.10 \cdot 2.0 \cdot {(100 \cdot 0.0166 \cdot 35)}^{1 / 3} + 0.10 \cdot 0 = 0.774 MN / m^{2} \geq 0.586 MN / m^{2}

where

C_{Rd, c} = 0.15 / γ_{c} = 0.15 / 1.5 = 0.10

Valor de cálculo da resistência ao corte de acordo com a norma DIN EN 1992-1-1, 6.2.2 (1)

u_{out} = \frac{β \cdot V_{Ed}}{v_{Rd, c, out} \cdot d} = \frac{1.10 \cdot 0.787}{0.774 \cdot 0.19} = 5.889 m

Perímetro exterior de acordo com a norma DIN EN 1992-1-1, 6.4.5 (4)

distância do perímetro exterior à borda da superfície de carga:

a_{out} = (u_{out} - u_{0}) / 2 π = (5.889 - 4 \cdot 0.45) / 2 π = 0.651 m

Distância do perímetro exterior à borda da superfície carregada

O número necessário de linhas de armadura de corte:

n = \frac{a_{out} - 0.5 d - 1.5 d}{0.75 d} + 1 = \frac{0.651 - 0.5 \cdot 0.19 - 1.5 \cdot 0.19}{0.75 \cdot 0.19} + 1 = 2.90 \to 3 rows

Número necessário de linhas de armadura de corte

Com 3 filas de armadura, o espaçamento radial s_r é:

s_{r} = \frac{a_{out} - 0.5 d - 1.5 d}{n - 1} = \frac{0.651 - 0.5 \cdot 0.19 - 1.5 \cdot 0.19}{3 - 1} = 0.135 m

Espaçamento radial dos perímetros da armadura de corte

Armadura por linha:

A_{sw} = \frac{v_{Ed} - 0.75 \cdot v_{Rd, c}}{1.5 \cdot (\frac{d}{s_{r}}) \cdot f_{ywd, ef} \cdot (\frac{1}{u_{1} \cdot d}) \cdot \sin (α)} = \frac{1.088 - 0.75 \cdot 0.929}{1.5 \cdot (\frac{0.190}{0.135}) \cdot 297.5 \cdot (\frac{1}{4.188 \cdot 0.190}) \cdot \sin (90^{\circ})} \cdot 10^{4} = 4.98 {cm}^{2}

Resistência ao punçoamento com armadura de corte de acordo com a norma DIN EN 1992-1-1, 6.4.5 (1)

Isto resulta na seguinte armadura de punçoamento nas linhas de armadura individuais:

Linha de armadura	Distância da borda do pilar	Fator k_sw	Armadura de punçoamento
-	-	-	A_sw *k_sw
1	0,5d=0,095 m	2,5	2,5*4,98cm² =12,45cm²
2	0,085+0,99=0,194 m	1,4	1,4*4,98cm² =6,97cm²
3	0,085+2*0,99=0,293 m	1,0	1,0*4,98cm² =4,98cm²

Resultados

Nas tabelas seguintes, os resultados do RFEM 6 são comparados com a solução analítica.

Verificação de punçoamento
Designação	Variável	unidade	resultado do RFEM	Solução analítica	Relação
Força de corte do dimensionamento	V_Ed	[kN]	787,3	787,3	1,0
Perímetro de controlo	u₁	[m]	4,188	4,188	1,0
Tensão de corte máxima	v_Ed	[MN/m² ]	1,088	1,088	1,0
Resistência ao punçoamento sem armadura de corte	v_Rd,c	[MN/m² ]	0,929	0,929	1,0
Valor máximo da resistência ao punçoamento	v_Rd,máx	[MN/m² ]	1,300	1,300	1,0
Perímetro exterior	U_fora	[m]	5,889	5,889	1,0
Distância do perímetro exterior à borda da superfície de carga	[LinkToImage02]_fora	[m]	0,651	0,651	1,0
Número necessário de linhas de armadura de corte	n	[-]	3	3	1,0
Resistência ao punçoamento com armadura de corte	a_sw	[cm₂ ]	4,98	4,98	1,0
Primeira linha de armadura	A_sw,1	[cm₂ ]	12,46	12,45	1,0
Distância do perímetro exterior à borda da superfície de carga	l_sw,1	[m]	0,095	0,095	1,0
Segunda linha de armadura	A_sw,2	[cm₂ ]	6,98	6,97	1,0
Distância do perímetro exterior à borda da superfície de carga	l_sw,2	[m]	0,194	0,194	1,0
Terceira linha de armadura	A_sw,3	[cm₂ ]	4,98	4,98	1,0
Distância do perímetro exterior à borda da superfície de carga	l_sw,3	[m]	0,293	0,293	1,0

Exemplo de verificação 1023 | Dimensionamento de uma laje plana de acordo com a norma DIN EN 1992-1-1 com AN: Armadura de punçoamento

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Exemplo de verificação 1023 | Laje lisa dimensionada de acordo com a norma DIN EN 1992-1-1 com AN: Verificações ao punçoamento

Referências

Associação Alemã de Engenharia de Estruturas e Betão E. V, exemplos para dimensionamento segundo o Eurocódigo 2. Volume 1: Construção de edifícios, Berlim: Ernst & Sohn 2012, 1º prémio reimpressão corrigida de 1. Edição, 978-3-433-01877-4

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