В следующем примере из сборника Stahlbau-Kalender 2009 [3] будет выполнен расчет однопролетной балки из тонкостенного холодногнутого С-образного профиля при нагружении нормальной силой. С-образное сечение будет смоделировано в SHAPE-THIN, а затем рассчитано в RF-/STEEL Cold-Formed Sections.
Система
Конструктивная система и нагружение показаны на рисунке 01.
Материал
S 355 EN 10025-2
E = 210 000 Н/мм²
G = 80 769 Н/мм²
ν = 0,3
fy = fyb = 355 Н/мм²
γM0 = γM1 = 1,00 (расчет по CEN)
Внешние размеры
Внешние размеры сечения показаны на рисунке 02.
H = 102 мм (высота стенки)
b = 120 мм (ширина полки)
c = 26 мм (длина кромки)
t = 2 мм (толщина стального сердечника)
Номинальные значения ширины
Номинальные значения ширины определяются согласно [1], п. 5.1. Номинальные значения ширины показаны на рисунке 03.
Проверка соотношений ширины к толщине
Проверка соотношения ширины с толщиной производится согласно [1], п. 5.2 (1).
b/t = 120/2 = 60 ≤ 60
c/t = 26/2 = 13 ≤ 50
H/t = 102/2 = 51 ≤ 500
Соотношения ширины с толщиной соблюдены.
Проверка размеров элементов жесткости
Проверка размеров элементов жесткости выполняется согласно [1], п. 5.2 (2).
0,2 ≤ c/b = 26/120 = 0,22 ≤ 0,6
В качестве элементов жесткости можно применить кромки.
Проверка величины угла между элементом жесткости и плоскостным элементом
Угол между элементом жесткости и плоскостным элементом составляет 90° и находится в интервале от 45° до 135°, указанном в [1], п. 5.5.3.2 (1).
Расчет полезной площади сечения
У стальных профилей, не обладающих двойной симметрией, находящихся под действием сжатия и подверженных локальному выпучиванию, положение центра тяжести эффективного сечения смещено по сравнению c сечением брутто. Внешняя сжимающая сила, действующая на сечение брутто центрально, действует на эффективное сечение внецентренно, благодаря чему возникает дополнительный изгибающий момент. Согласно [1] необходимо учитывать дополнительные моменты, возникающие в результате смещения центра тяжести. Поэтому кроме эффективного сечения при простом нагружении сжатием необходимо рассчитать эффективное сечение при простом нагружении изгибом.
Расчет эффективного сечения при простом нагружении сжатием
Согласно [2], п. 4.4 (2), коэффициент равен:
Стенка балки:
Коэффициент потери устойчивости рассчитывается согласно [2], по таблице 4.1:
${\mathrm k}_{\mathrm\sigma}\;=\;4$
Гибкость при потере устойчивости согласно [2], п. 4.4 (2), равна:
Коэффициент гибкости выше, чем предельное значение 0,673 согласно [2], 4.4 (2). Поэтому требуется его уменьшение.
Понижающий коэффициент определяется согласно [2], 4.4 (2) и равен:
Согласно [2], таблица 4.1, полезная высота стенки равна:
Полка с кромочным элементом жесткости:
На первом этапе определяется первоначальное эффективное сечение элемента жесткости при условии, что кромочный элемент жесткости работает как неподвижная опора и при этом σcom, Ed = fyb/γM0.
Полка балки:
Коэффициент потери устойчивости рассчитывается согласно [2], по таблице 4.1:
Гибкость при потере устойчивости согласно [2], п. 4.4 (2), равна:
Коэффициент гибкости выше, чем предельное значение 0,673 согласно [2], 4.4 (2). Поэтому требуется его уменьшение.
Понижающий коэффициент определяется согласно [2], 4.4 (2) и равен:
Полезная ширина полки балки согласно [2], таблица 4.1, равна:
Кромочные элементы жесткости:
Коэффициент потери устойчивости рассчитывается согласно [1], п. 5.5.3.2 (5):
$\frac{{\mathrm b}_{\mathrm p,\mathrm c}}{{\mathrm b}_{\mathrm p}}\;=\;\frac{21,78}{111,56}\;=\;0,195\;\leq\;0,35\\{\mathrm k}_{\mathrm\sigma}\;=\;0,5$
Гибкость при потере устойчивости согласно [2], п. 4.4 (2), равна:
${\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm p}\;=\;\frac{{\mathrm b}_{\mathrm p,\mathrm c}\;/\;\mathrm t}{28,4\;\cdot\;\mathrm\varepsilon\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm k}_{\mathrm\sigma}}}\;=\;\frac{21,78\;/\;2}{28,4\;\cdot\;0,814\;\cdot\;\sqrt{0,5}}\;=\;0,666\\{\overline{\mathrm\lambda}}_{\mathrm p}\;=\;0,666\;\leq\;0,748$
Коэффициент гибкости ниже, чем предельное значение 0,748 согласно [1], п. 4.4 (2). Таким образом, уменьшения не требуется, то есть: ρ = 1,0.
Первоначальное значение полезной ширины равно согласно [1], по уравнению 5.13a:
${\mathrm c}_{\mathrm{eff}}\;=\:\mathrm\rho\;\cdot\;{\mathrm b}_{\mathrm p,\mathrm c}\;=\;1,0\;\cdot\;21,78\;=\;21,78\;\mathrm{mm}$
На втором этапе определяется понижающий коэффициент для потери устойчивости геометрии сечения с применением первоначального полезного сечения и с учетом действия упругой непрерывной пружинной опоры.
Полезные характеристики сечения кромочных элементов жесткости рассчитываются в программе SHAPE-THIN. Кромочные элементы жесткости показаны на рисунке 04.
As = 122,58 mm2
Is = 7.130 mm4
zs = 13,88 мм
Жесткость пружины K кромок жесткости определяется на основе статического расчета целого сечения. Для этого к сечению будет приложена единичная нагрузка u, действующая в центре тяжести полезного элемента жесткости, а затем рассчитана соответствующая деформация δ элемента жесткости. У прямоугольного сечения w/h = t/t = 2/2 мм деформация равна δ = 3,02 мм (Рисунок 05).
Жесткость пружины K на единицу длины можно рассчитать по уравнению 5.9 из [1] следующим образом:
Критическое напряжение кромки жесткости равно cогласно [1], по уравнению 5.15:
Соответствующий коэффициент гибкости равен согласно [1], по уравнению 5.12d:
Понижающий коэффициент для потери устойчивости геометрии сечения рассчитывается согласно [1], п. 5.5.3.1 (7), следующим образом:
Уменьшенная полезная площадь сечения кромочного элемента жесткости с учетом потери устойчивости при изгибе равна согласно [1], уравнение 5.17:
Полезные характеристики сечения при простом нагружении сжатием:
Сечение можно оптимизировать с помощью итеративных вычислений. После двух итераций мы получим следующие полезные значения для сечения:
Площадь Aeff = 4,62 см²
Расстояние до центра тяжести от стенки zs, eff = 42,18 мм
Смещение центра тяжести eN,y = zs - zs,eff = 8,78 мм
Расчет эффективного сечения при простом нагружении изгибом
Стенка балки:
Стенка находится под действием растяжения и, таким образом, полностью эффективна.
Полка с кромочным элементом жесткости:
Im ersten Schritt wird ein erster Ansatz für den wirksamen Querschnitt der Steife mit der Annahme ermittelt, dass die Randsteife als festes Auflager wirkt und dass σcom,Ed = fyb / γM0 ist.
Полка балки:
Коэффициент потери устойчивости рассчитывается согласно [2], по таблице 4.1:
Гибкость при потере устойчивости согласно [2], п. 4.4 (2), равна:
Коэффициент гибкости ниже предельного значения 0,856 согласно [2], п. 4.4 (2). Таким образом, уменьшения не требуется.
Полезные значения ширины равны согласно [2], по таблице 4.1:
Кромочные элементы жесткости:
Коэффициент потери устойчивости рассчитывается согласно [1], п. 5.5.3.2 (5):
Гибкость при потере устойчивости согласно [2], п. 4.4 (2), равна:
Коэффициент гибкости ниже, чем предельное значение 0,748 согласно [1], п. 4.4 (2). Таким образом, уменьшения не требуется, то есть: ρ = 1,0.
Первоначальное значение полезной ширины равно согласно [1], по уравнению 5.13a:
На втором этапе определяется понижающий коэффициент для потери устойчивости геометрии сечения с применением первоначального полезного сечения и с учетом действия упругой непрерывной пружинной опоры.
Полезные характеристики сечения кромочных элементов жесткости рассчитываются в программе SHAPE-THIN. Кромочные элементы жесткости показаны на рисунке 06.
As = 97,92 mm2
Is = 6.271 mm4
zs = 8,59 мм
Жесткость пружины K кромок жесткости определяется на основе статического расчета целого сечения. Для этого к сечению будет приложена единичная нагрузка u, действующая в центре тяжести полезного элемента жесткости, а затем рассчитана соответствующая деформация δ элемента жесткости. У прямоугольного сечения w/h = t/t = 2/2 мм деформация равна δ = 3,4 мм (рисунок 07).
Жесткость пружины K на единицу длины можно рассчитать по уравнению 5.9 из [1] следующим образом:
Критическое напряжение кромки жесткости равно cогласно [1], по уравнению 5.15:
Соответствующий коэффициент гибкости равен согласно [1], по уравнению 5.12d:
Понижающий коэффициент для потери устойчивости геометрии сечения рассчитывается согласно [1], п. 5.5.3.1 (7), следующим образом:
Уменьшенная полезная площадь сечения кромочного элемента жесткости с учетом потери устойчивости при изгибе равна согласно [1], уравнение 5.17:
Полезные характеристики сечения при простом нагружении изгибом:
Все части сечения полностью эффективны, поэтому не требуются итерационные вычисления.
Площадь Aeff = 6,86 см²
Модуль сечения Weff, y = 17,01 см³
Расчет сечения при комбинированном нагружении сжатием и изгибом
Предел прочности при чистом сжатии рассчитывается по [1], п. 6.1.3 (1) следующим образом:
Прочность при чистом изгибе рассчитывается по [1], п. 6.1.4.1 (1) следующим образом:
Дополнительный момент, возникающий в результате смещения центра тяжести, определяется по [1], п. 6.1.9 (2) следующим образом:
Расчет сечения при комбинированном нагружении сжатием и изгибом выполняется по [1], п. 6.1.9 (1), следующим образом:
Расчет выполнен.
Моделирование холодногнутого С-образного профиля в программе SHAPE-THIN
Холодногнутые профили общего типа можно смоделировать в программе SHAPE-THIN. В общих данных нужно активировать флажок «части c/t и полезные характеристики сечения» (Рисунок 08).
Затем во вкладке «части c/t и эффективное сечение» (рисунок 09) диалогового окна «параметры расчета» выберите параметр «EN 1993-1-3 (холодногнутый профиль)».
Эффективное сечение должно быть рассчитано по отдельности при простом нагружении сжатием и простом нагружении изгибом. Поэтому нужно установить флажок на опцию «пренебречь дополнительными изгибающими моментами вследствие смещения центра тяжести эффективного сечения».
В данном примере был выполнен расчет в две итерации, поэтому в SHAPE-THIN зададим также две итерации.
Геометрические условия для применения нормы, указанные в [2], п. 5.2, при необходимости можно проверить. Для этого установите соответствующие флажки.
Сначала необходимо задать элементы сечения. Номинальные значения ширины, как правило, генерируются автоматически по геометрическим условиям, но могут также быть заданы пользователем в таблице «1.7 Номинальные значения ширины по норме EN 1993-1-3» (рисунок 10) или в соответствующем диалоговом окне.
Элементы жесткости затем можно задать в таблице «1.8 Элементы жесткости» или в соответствующем диалоговом окне (рисунок 11).
Кроме того, нужно указать теряющую устойчивость панель в таблице «1.9 Панели» (рисунок 12) или в соответствующем диалоговом окне. Для этого выберите элементы панели. Элементы жесткости, расположенные в панели, идентифицируются автоматически.
Затем в таблице «2.1 Нагружения» зададим нагружение для сжимающей силы и для изгиба (рисунок 13).
После этого зададим внутренние силы в таблице «3.1 Внутренние силы» или в соответствующем диалоговом окне (рисунок 14).
Результаты расчета эффективного сечения можно отобразить с помощью кнопки «Полезные значения ширины» (рисунок 15).
Расчет холодногнутого С-образного профиля в RF-/STEEL Cold-Formed Sections
Холодногнутые профили можно рассчитать по [1] и [2] с помощью расширения модуля RF-/STEEL Cold-Formed Sections.
В общих данных необходимо сначала выбрать стержень и нагружение, которые должны быть рассчитаны. В качестве национального приложения выбрано «CEN» (рисунок 16).
Вы можете просмотреть и, при необходимости, отрегулировать параметры национального приложения во вкладке «Холодногнутые профили (EN 1993-1-3)» одноименного окна (рисунок 17).
В подробных настройках нужно активировать расчет холодногнутых профилей во вкладке «Холодногнутые профили» (рисунок 18).
Выполним только расчет сечения. Для этого необходимо деактивировать флажок «Выполнить расчет на устойчивость» во вкладке «Устойчивость» в подробных настройках (рисунок 19).
После выполнения вычислений в соответствующих выходных таблицах, отобразятся, кроме прочего, полезные характеристики сечения при нагружении осевой силой N, изгибающим моментом My, изгибающим моментом Mz, внутренние силы и общий расчет (рисунок 20).