Учет сейсмических P-Delta норм ASCE 7-22 и NBC 2020 в программе RFEM 6

ASCE 7-22 и эффекты P-Delta

Норма ASCE 7-22 [1], разд. 12.9.1.6 далее ссылается на разд. 12.8.7 [1], в котором говорится, что в случае, если коэффициент устойчивости (θ), рассчитанный по указанному ниже уравнению, меньше или равен 0,10, эффекты P-delta не учитываются.

где
P_x = общая расчетная вертикальная нагрузка на уровне и выше x по п. 12.8.6.1 [1] (все коэффициенты нагрузок меньшие или равные 1,0)

V_x/_Δse = жесткость этажа в уровне x, рассчитанная как расчетный сейсмический сдвиг, V_x, делённый на соответствующий упругий смещение этажа,_Δse

h_sx = высота этажа ниже уровня x

Норма также предписывает, что θ не должно превышать меньшее из значений θ_max, найденное по ниже приведенному уравнению, поскольку конструкция является потенциально неустойчивой и требует переработку.

где
C_x = коэффициент увеличения деформации в таблице 12.2-1

β = отношение требований к сдвигу к расчетной прочности на сдвиг для этажа между уровнями X и x-1 (принимается консервативно равным 1,0, но не менее 1,25/Ω₀ )

Если значение θx меньше чем 0,10, то эффектами P-Delta можно пренебречь. Если θ_икс больше, чем 0,40, тогда требуется новый расчет конструкции, поскольку при экстремальных землетрясениях она будет считаться неустойчивой. Для значений 0,10 ≤ θ_x ≤ 0,40, можно, для учета P-Delta, умножить силы и моменты, вызванные сейсмической нагрузкой на коэффициент усиления (1+θ_x ). К смещениям нет необходимости применять данный коэффициент усиления.

NBC 2020 и эффекты P-Delta

В Сент. 4.1.8.3.8.c нормы NBC 2020 [2], содержится лишь краткое требование о том, что необходимо учитывать эффекты раскачивания из-за взаимодействия гравитационных нагрузок с деформированной конструкцией. Однако комментарий NBC 2015 [3] содержит дополнительное объяснение, подобно норме ASCE 7, согласно которому коэффициент устойчивости (θ_x ) в уровне x должен быть рассчитан по ниже приведенному уравнению.

где

R_o = коэффициент изменения силы, связанный со сверхпрочностью

Δ_mx = максимальный неупругий междуэтажный прогиб

h_s = высота между этажами

Если значение θ_х меньше чем 0,10, то эффекты P-Delta можно не учитывать. Если θ_икс больше, чем 0,40, тогда требуется новый расчет конструкции, поскольку при экстремальных землетрясениях она будет считаться неустойчивой. Для значений 0,10 ≤ θ_x ≤ 0,40, можно, для учета P-Delta, умножить силы и моменты, вызванные сейсмической нагрузкой на коэффициент усиления (1+θ_x ). К смещениям нет необходимости применять данный коэффициент усиления.

Приближенный учет эффектов P-Delta с коэффициентами усиления

Значение коэффициента устойчивости должно быть рассчитано в обоих ортогональных горизонтальных направлениях, чтобы определить, является ли P-Delta проблемой. Требуемый смещение этажа Δ, необходимый для расчета коэффициента устойчивости в ASCE 7-22 и NBC 2020, теперь определяется автоматически в RFEM 6 с помощью аддона Building Design. Каждый уровень этажа будет включать в себя соответствующий смещение этажа в результатах таблицы, как показано на рисунке 01.

Междуэтажные сдвиги

Если в одном или обоих направлениях требуется учет эффектов второго порядка в заданных диапазонах, то в расчете можно легко учесть коэффициент 1,0/(1-θ) из нормы ASCE 7-22 или (1+θ_x ) из NBC 2020. RFEM 6 и аддон Анализ спектра реакций. Все результирующие силы и/или прогибы будут увеличены на заданное значение.

Коэффициент масштаба

Более точный учет эффектов P-Delta с помощью геометрической матрици жесткости

Хотя вторичные эффекты можно оценить с помощью указанных выше коэффициентов усиления, данный подход является более консервативным. Для сценариев, в которых возникают большие смещение этажей или эффекты P-Delta должны быть рассчитаны с помощью более точного подхода, влияние осевых сил можно активировать в аддоне Анализ спектра реакций.

При выполнении динамического расчета типичные нелинейные итерационные расчеты для эффектов второго порядка при учете статического расчета больше не применяются. Задача должна быть линеаризована, что выполняется путем активации геометрической матрицы жесткости во время расчета. При данном подходе предполагается, что вертикальные нагрузки не меняются из-за горизонтальных воздействий, а деформации незначительны по сравнению с габаритами конструкции [2].

Принцип геометрической матрицы жесткости - это эффект жесткости от напряжения. Растягивающие нормальные силы приведут к увеличению изгибной жесткости стержня, в то время как сжимающие нормальные силы приведут к снижению изгибной жесткости. Это можно легко передать на примере троса или тонкого стержня. Когда на стержень действует растягивающая сила, его жесткость при изгибе значительно больше, чем когда на стержень действует сжимающая сила. В случае сжатия, стержень имеет очень небольшую жесткость на изгиб, чтобы выдержать приложенную боковую нагрузку.

Геометрическая матрица жесткости K_g разрабатывается на основе условий статического равновесия.

Для упрощения затем отображаются только степени свободы горизонтального перемещения. Приведенный вывод основан на учете опрокидывающего момента при линейном перемещении. Это упрощение для изгибаемого элемента и точное предположение для элемента фермы. Обратите внимание на то, что матрица зависит только от длины элемента и нормальной силы.

Более точного определения геометрической матрицы жесткости изгибаемых балок можно достичь с помощью кубического смещения или посредством аналитического решения дифференциального уравнения линии изгиба. Более подробная информация о данной теории и выводах предоставляется в публикации Werkle [4].

К матрице жесткости K добавляется геометрическая матрица K_g жесткости, и таким образом, получается модифицированная матрица жесткости K_mod:

K_mod = K + K_g

Это затем в случае сжимающих нормальных сил приводит к снижению жесткости.

Пример модификации геометрической жесткости P-Delta в RFEM 6

Применение снижения жёсткости с использованием геометрической матрицы жесткости для учета эффектов второго порядка (P-Delta) в анализе спектра реакций выполняется на простой консольной конструкции в RFEM 6. Стержень состоит из сечения W 12x26 и материала A992 с I_y = 204 в⁴ и E = 29000 ksi. Высота каждого из (5) этажей составляет 1,5 м, что составляет общую высоту 8 м.

Пренебрегая собственным весом, в загружении 1 применяется постоянная нагрузка 1,5 килофунта: Постоянная и полезная нагрузка 3 килофунта на каждом уровне в ЗГ2: В прямом эфире. Дополнительные параметры в ЗГ2 активируются для автоматического учета 25% полезной нагрузки для сочетания масс.

Дополнительные настройки полезной нагрузки

Расчетная ситуация DS1: Эффективный сейсмический вес зададим для автоматического создания сочетания масс СН1: D + 0,25L. После преобразования массы для дальнейшего сейсмического расчета учитывается в общей сложности 1950 кг на каждом уровне в направлении X.

Эффективный сейсмический вес

Аддон Модальный анализ позволяет определять формы колебаний и эффективные модальные массы конструкции. Мы можем задать начальное состояние, которое будет применять изменение жесткости на основе заданных загружений и сочетаний нагрузок. Задаются два модальных загружения. Первая - это ЗГ3: Модальный - без изменений жесткости для выполнения модального анализа без изменений жесткости.

Для ЗГ4: Модальный - с модификациями жесткости активирована опция учитывать начальное состояние. Загружение или сочетание нагрузки, импортированное в данном случае, должно учитывать самые высокие осевые нагрузки при сжатии на конструкцию. В нашем примере будет сочетаться масса CO1 для аппроксимации эффектов второго порядка с геометрическими изменениями жесткости.

Исходное состояние LC4

В следующей таблице приведены рассчитанные собственные частоты (f)[Гц] и собственные периоды (T)[сек] с учетом и без учета геометрической матрицы жесткости K_g.

Вычисленные частоты, периоды и ускорения

Мультимодальный анализ спектра реакций основывается на собственных частотах конструкции для определения значений ускорения из заданного спектра реакций. На основе данных значений ускорения программа определяет внутренние силы спектра реакций. Пользовательский спектр реакций будет задан для данного примера, как показано ниже. Величины ускорения S_a [фут/с² ], определенные из пользовательского спектра реакций для каждого собственного значения, приведены в таблице выше.

Пользовательский спектр реакций

Чтобы обеспечить правильное присвоение измененных частот, при задании загружения для спектра реакций необходимо выбрать требуемый модальный анализ. Это означает, что если при анализе спектра реакций следует учесть геометрические изменения жесткости, то следует применить соответствующий модальный анализ с ранее заданными изменениями жесткости.

RSA со ссылкой на соответствующий модальный анализ

При приложении сжимающих осевых сил учет геометрической матрицы жесткости приводит к более низким собственным частотам конструкции. Это может привести к более низким значениям ускорения Sa, как показано в данном примере. Одной модификации собственных частот недостаточно для учета теории второго порядка. Фактически, это может привести к меньшим результатам, которые могут быть неправильными. Поэтому важно при расчете внутренних сил и деформаций конструкции также использовать модифицированную матрицу жесткости. В анализе спектра реакций RFEM измененная жесткость из модального анализа автоматически используется для определения результатов анализа спектра реакций, если они выбраны. Деформации, внутренние силы и опорные реакции, полученные при анализе спектра реакций, с геометрической матрицей жесткости и без нее, показаны на рисунке 08.

Сравнение результатов без модификации жесткости (вверху) и с модификацией жесткости (внизу)

Учет геометрической матрицы жесткости приводит к большим деформациям и внутренним силам. Однако результирующие опорные нагрузки немного меньше, если учитывать геометрическую матрицу жесткости.