290x
001877
17.4.2024

Účinky P-Delta a seizmické posouzení podle ASCE 7-22 a NBC 2020

Norma ASCE 7-22 [1], čl. 12.9.1.6 stanoví, kdy by se měly zohlednit účinky P-delta při provádění modální analýzy spektra odezvy pro seizmické posouzení. V NBC 2020 [2], čl. 4.1.8.3.8.c je uveden pouze krátký požadavek na zohlednění účinků počátečního naklonění v důsledku interakce tíhových sil s deformovanou konstrukcí. Proto mohou nastat situace, kdy je třeba při seizmickém posouzení zohlednit účinky druhého řádu, známé také jako P-delta.

ASCE 7-22 a účinky P-Delta

Norma ASCE 7-22 [1], čl. 12.9.1.6 dále odkazuje na čl. 12.8.7 [1], který stanoví, že P-delta není třeba zohlednit, pokud je součinitel stability (θ) stanovený pomocí níže uvedené rovnice roven nebo menší než 0,10.

kde:
Px = celkové svislé návrhové zatížení v úrovni x a nad ní podle čl. 12.8.6.1 [1] (všechny součinitele zatížení se rovnají nebo jsou menší než 1,0)

Vxse = tuhost podlaží v úrovni x, vypočítaná jako seizmický návrhový smyk Vx vydělený příslušným pružným posunem podlaží Δse

hsx = výška podlaží pod uvažovanou úrovní x

Norma dále uvádí, že θ by nemělo překročit menší z θmax, dané níže uvedenou rovnicí, protože konstrukce je potenciálně nebezpečná a měla by být přepracována.

kde:
Cd = součinitel zvětšení deformace podle tabulky 12.2-1

β = poměr smykové náročnosti k návrhové smykové únosnosti podlaží mezi podlažími X a x-1 (konzervativně 1,0, ale ne méně než 1,25/Ω0)

Pokud je 0,10 ≤ θ ≤ θmax , měla by se všechna posunutí a síly na prutu vynásobit součinitelem 1,0/(1-θ). Případně lze účinky P-Delta zahrnout do automatické analýzy, kde stále platí omezení θmax.

NBC 2020 a účinky P-Delta

V čl. 4.1.8.3.8.c NBC 2020 [2] je uveden pouze krátký požadavek na zohlednění účinků počátečního naklonění v důsledku interakce tíhových sil s deformovanou konstrukcí. Komentář k NBC 2015 [3] však obsahuje podobná vysvětlení jako norma ASCE 7, podle které se má součinitel stability (θx) v úrovni x vypočítat pomocí níže uvedené rovnice.

kde:

Ro = modifikační součinitel síly vztažený k navýšení pevnosti

Δmx = maximální nepružný mezipatrový průhyb

hs = výška patra

Pokud je θx menší než 0,10, lze účinky P-delta ignorovat. Pokud je θx větší než 0,40, měla by být konstrukce přepracována, protože při extrémních zemětřesení není považována za bezpečnou. Pro 0,10 ≤ θx ≤ 0,40 lze síly a momenty vyvolané zemětřesením vynásobit součinitelem zesílení (1+θx), a zohlednil tak účinky P-delta. Tento faktor zvětšení nemusí být použit u posunů.

Přibližné zohlednění účinků P-Delta se součiniteli zvětšení

Hodnotu součinitele stability je třeba spočítat v obou ortogonálních vodorovných směrech, aby bylo možné určit, zda P-Delta představuje problém. Posun podlaží Δ nutný pro výpočet součinitele stability v normách ASCE 7-22 a NBC 2020 je nyní v programu RFEM 6 s addonem Model budovy zadáván automaticky. Pro každé podlaží se v tabulce zobrazí příslušný posun podlaží, jak je znázorněno na obrázku 1.

Pokud jeden nebo oba směry vyžadují zohlednění účinků druhého řádu v daných rozsazích, lze snadno zohlednit součinitel 1,0/(1-θ) z ASCE 7-22 nebo (1+θx) z NBC 2020 v programu RFEM 6 a addonu Analýza spektra odezvy. Všechny výsledné síly a/nebo výchylky se vynásobí nastavenou hodnotou.

Přesnější zohlednění účinků P-Delta pomocí geometrické matice tuhosti

Ačkoli lze sekundární účinky odhadnout pomocí výše uvedených součinitelů zesílení, jedná se o konzervativnější přístup. Pro případy, kdy dochází k velkým posunům podlaží nebo je třeba spočítat účinky P-delta přesnějším postupem, lze v addonu Analýza spektra odezvy aktivovat vliv normálových sil.

Při dynamické analýze již nelze použít typické nelineární iterační výpočty pro účinky druhého řádu při zohlednění statické analýzy. Problém musí být linearizován, což se provádí aktivací geometrické matice tuhosti během analýzy. Při tomto přístupu se předpokládá, že svislá zatížení se v důsledku vodorovných účinků nemění a že deformace jsou ve srovnání s celkovými rozměry konstrukce malé [2].

Koncept geometrické matice tuhosti je účinek napěťového zpevnění. Tahové normálové síly vedou ke zvýšené ohybové tuhosti prutu, zatímco tlakové normálové síly vedou ke snížené ohybové tuhosti. To lze snadno přiblížit na příkladu lana nebo štíhlé tyče. Pokud na prut působí tahová síla, je ohybová tuhost výrazně větší než při působení tlakové síly. V případě tlaku má prut velmi malou nebo vůbec žádnou ohybovou tuhost, aby unesl působící boční zatížení.

Geometrickou matici tuhosti Kg lze odvodit z podmínek statické rovnováhy.

Pro zjednodušení se zobrazí pouze stupně volnosti vodorovného posunu. Uvedené odvození je založeno na použití klopícího momentu v důsledku účinku lineárního posunu. Jedná se o zjednodušení pro ohybový prvek a přesný předpoklad pro příhradový prvek. Všimněte si, že matice je závislá pouze na délce prvku a normálové síle.

Přesnější stanovení geometrické matice tuhosti pro ohybové nosníky lze provést pomocí metody kubického posunu nebo pomocí analytického řešení diferenciální rovnice ohybové čáry. Další informace k teorii a odvození naleznete ve Werkle [4].

Geometrická matice tuhosti Kg se přičte k matici tuhosti systému K a získá se upravená matice tuhosti Kmod:

Kmod = K + Kg

V případě tlakových normálových sil tak dochází ke snížení tuhosti.

Příklad úpravy geometrické tuhosti P-Delta v programu RFEM 6

Použití redukce tuhosti pomocí geometrické matice tuhosti pro zohlednění účinků druhého řádu (P-Delta) při analýze spektra odezvy bylo provedeno v programu RFEM 6 na jednoduché konzolové konstrukci. Prut má průřez W 12x26 a materiál A992 s Iy = 204 in4 a E = 29000 ksi. Každé z (5) pater má výšku 5 ft, celková výška je 25 ft.

Při zanedbání vlastní tíhy se v každém patře v ZS1: Stálé použije stálé zatížení 1,5 kips a užitné zatížení 3 kips pro každé patro v ZS2: Živé. V sekci Další nastavení v ZS2 se aktivuje automatické zohlednění 25 % užitného zatížení pro hmotovou kombinaci.

Návrhová situace NS1: Zadáním účinné seizmické tíhy se automaticky vytvoří hmotová kombinace KZ1: D + 0,25L. Po přepočtu hmot se pro další seizmickou analýzu uvažuje v každém patře ve směru X celkem 2250.3 lbs.

Addon Modální analýza spočítá vlastní tvary a účinné modální hmoty konstrukce. Přitom lze definovat počáteční stav pro zohlednění změn tuhosti na základě zatěžovacích stavů a kombinací zatížení. Zadáme dva zatěžovací stavy pro modální analýzu. První je ZS3: Modální - bez úprav tuhosti pro provedení modální analýzy bez úprav tuhosti.

Pro ZS4: Modální - se změnami tuhosti je aktivována možnost Uvážit počáteční stav. Zde importovaný zatěžovací stav nebo kombinace zatížení by měl zohlednit nejvyšší tlaková normálová zatížení na konstrukci. Pro tento příklad použijeme hmotovou kombinaci KZ1 pro aproximaci účinků druhého řádu s úpravami geometrické tuhosti.

V následující tabulce jsou uvedeny vypočítané vlastní frekvence (f) [Hz] a vlastní periody (T) [sec] s uvažovanou geometrickou maticí tuhosti Kg a bez ní.

Multimodální analýza spektra odezvy vychází z vlastních frekvencí konstrukce pro stanovení hodnot zrychlení z definovaného spektra odezvy. Na základě těchto hodnot zrychlení program stanoví vnitřní síly ze spektra odezvy. Pro tento příklad je zadáno uživatelsky definované spektrum odezvy, jak je znázorněno níže. Hodnoty zrychlení Sa [ft/s2] stanovené z uživatelsky definovaného spektra odezvy pro každé vlastní číslo jsou uvedeny v tabulce výše.

Aby bylo zajištěno správné přiřazení upravených frekvencí, je třeba při definování zatěžovacího stavu spektra odezvy vybrat požadovanou modální analýzu. To znamená, že pokud má analýza spektra odezvy zohlednit změny geometrické tuhosti, musí se použít příslušná modální analýza s již definovanými změnami tuhosti.

Při zohlednění tlakových normálových sil vede zohlednění geometrické matice tuhosti k nižším vlastním frekvencím konstrukce. To může vést k nižším hodnotám zrychlení Sa, jak vidíme v našem příkladu. Samotná úprava vlastních frekvencí nestačí pro zohlednění teorie druhého řádu. Ve skutečnosti to může vést k nižším výsledkům, které mohou být nesprávné. Proto je důležité použít upravenou matici tuhosti také při výpočtu vnitřních sil a deformací konstrukce. Při analýze spektra odezvy v programu RFEM se upravená tuhost z modální analýzy automaticky použije pro stanovení výsledků analýzy spektra odezvy. Deformace, vnitřní síly a podporové reakce stanovené analýzou spektra odezvy s geometrickou maticí tuhosti a bez ní jsou znázorněny na obrázku 8.

Zohlednění geometrické matice tuhosti vede k větším deformacím a vnitřním silám. Při zohlednění geometrické matice tuhosti jsou ovšem výsledná zatížení na podporách o něco menší.


Autor

Amy Heilig je ředitelkou americké pobočky ve Filadelfii v Pensylvánii. Poskytuje také obchodní a technickou podporu a aktivně se podílí na vývoji programů Dlubal šitých na míru pro severoamerický trh.

Reference
  1. ASCE/SEI 7-22, Minimální návrhová zatížení a související kritéria pro budovy a jiné konstrukce. (2022). Americká společnost stavebních inženýrů.
  2. National Research Council of Canada. (2020). Národní stavební zákon Kanady (sv. 1). Ottawa, ON, Kanada.
  3. Structural commentaries (User's guide - NBC 2015: part 4 of division B)
  4. Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik, 3. Auflage. Wiesbaden: Vieweg & Sohn, 2008
  5. Edward L. Wilson. Trojrozměrná statická a dynamická analýza konstrukcí. Computer and Structures, Inc. Berkeley, Kalifornie, USA, vydání = 3rd, 2002.