Účinky P-Delta a seizmické posouzení podle ASCE 7-22 a NBC 2020

ASCE 7-22 a účinky P-Delta

Norma ASCE 7-22 [1], čl. 12.9.1.6 dále odkazuje na čl. 12.8.7 [1], který stanoví, že P-delta není třeba zohlednit, pokud je součinitel stability (θ) stanovený pomocí níže uvedené rovnice roven nebo menší než 0,10.

kde:
P_x = celkové svislé návrhové zatížení v úrovni x a nad ní podle čl. 12.8.6.1 [1] (všechny součinitele zatížení se rovnají nebo jsou menší než 1,0)

V_x/Δ_se = tuhost podlaží v úrovni x, vypočítaná jako seizmický návrhový smyk V_x vydělený příslušným pružným posunem podlaží Δ_se

h_sx = výška podlaží pod uvažovanou úrovní x

Norma dále uvádí, že θ by nemělo překročit menší z θ_max, dané níže uvedenou rovnicí, protože konstrukce je potenciálně nebezpečná a měla by být přepracována.

kde:
C_x = součinitel zesílení průhybu v tabulce 12.2-1

β = poměr smykové náročnosti k návrhové smykové únosnosti podlaží mezi podlažími X a x-1 (konzervativně 1,0, ale ne méně než 1,25/Ω₀)

Pokud je θx menší než 0,10, lze účinky P-delta ignorovat. Pokud je θ_x větší než 0,40, měla by být konstrukce přepracována, protože při extrémních zemětřesení není považována za bezpečnou. Pro 0,10 ≤ θ_x ≤ 0,40 lze síly a momenty vyvolané zemětřesením vynásobit součinitelem zesílení (1+θ_x), a zohlednil tak účinky P-delta. Tento faktor zvětšení nemusí být použit u posunů.

NBC 2020 a účinky P-Delta

V čl. 4.1.8.3.8.c NBC 2020 [2] je uveden pouze krátký požadavek na zohlednění účinků počátečního naklonění v důsledku interakce tíhových sil s deformovanou konstrukcí. Komentář k NBC 2015 [3] však obsahuje podobná vysvětlení jako norma ASCE 7, podle které se má součinitel stability (θ_x) v úrovni x vypočítat pomocí níže uvedené rovnice.

kde:

R_o = modifikační součinitel síly vztažený k navýšení pevnosti

Δ_mx = maximální nepružný mezipatrový průhyb

h_s = výška patra

Pokud je θ_x menší než 0,10, lze účinky P-delta ignorovat. Pokud je θ_x větší než 0,40, měla by být konstrukce přepracována, protože při extrémních zemětřesení není považována za bezpečnou. Pro 0,10 ≤ θ_x ≤ 0,40 lze síly a momenty vyvolané zemětřesením vynásobit součinitelem zesílení (1+θ_x), a zohlednil tak účinky P-delta. Tento faktor zvětšení nemusí být použit u posunů.

Přibližné zohlednění účinků P-Delta se součiniteli zvětšení

Hodnotu součinitele stability je třeba spočítat v obou ortogonálních vodorovných směrech, aby bylo možné určit, zda P-Delta představuje problém. Posun podlaží Δ nutný pro výpočet součinitele stability v normách ASCE 7-22 a NBC 2020 je nyní v programu RFEM 6 s addonem Model budovy zadáván automaticky. Pro každé podlaží se v tabulce zobrazí příslušný posun podlaží, jak je znázorněno na obrázku 1.

Mezipatrové posuny

Pokud jeden nebo oba směry vyžadují zohlednění účinků druhého řádu v daných rozsazích, lze snadno zohlednit součinitel 1,0/(1-θ) z ASCE 7-22 nebo (1+θ_x) z NBC 2020 v programu RFEM 6 a addonu Analýza spektra odezvy. Všechny výsledné síly a/nebo výchylky se vynásobí nastavenou hodnotou.

Měřítko

Přesnější zohlednění účinků P-Delta pomocí geometrické matice tuhosti

Ačkoli lze sekundární účinky odhadnout pomocí výše uvedených součinitelů zesílení, jedná se o konzervativnější přístup. Pro případy, kdy dochází k velkým posunům podlaží nebo je třeba spočítat účinky P-delta přesnějším postupem, lze v addonu Analýza spektra odezvy aktivovat vliv normálových sil.

Při dynamické analýze již nelze použít typické nelineární iterační výpočty pro účinky druhého řádu při zohlednění statické analýzy. Problém musí být linearizován, což se provádí aktivací geometrické matice tuhosti během analýzy. Při tomto přístupu se předpokládá, že svislá zatížení se v důsledku vodorovných účinků nemění a že deformace jsou ve srovnání s celkovými rozměry konstrukce malé [2].

Koncept geometrické matice tuhosti je účinek napěťového zpevnění. Tahové normálové síly vedou ke zvýšené ohybové tuhosti prutu, zatímco tlakové normálové síly vedou ke snížené ohybové tuhosti. To lze snadno přiblížit na příkladu lana nebo štíhlé tyče. Pokud na prut působí tahová síla, je ohybová tuhost výrazně větší než při působení tlakové síly. V případě tlaku má prut velmi malou nebo vůbec žádnou ohybovou tuhost, aby unesl působící boční zatížení.

Geometrickou matici tuhosti K_g lze odvodit z podmínek statické rovnováhy.

Pro zjednodušení se zobrazí pouze stupně volnosti vodorovného posunu. Uvedené odvození je založeno na použití klopícího momentu v důsledku účinku lineárního posunu. Jedná se o zjednodušení pro ohýbaný prvek a přesný předpoklad pro příhradový prvek. Všimněte si, že matice je závislá pouze na délce prvku a normálové síle.

Přesnější stanovení geometrické matice tuhosti pro ohybové nosníky lze provést pomocí metody kubického posunu nebo pomocí analytického řešení diferenciální rovnice ohybové čáry. Další informace k teorii a odvození poskytuje Werkle [4].

Geometrické matice tuhosti_{Kg se přičte k matici tuhosti systému K, a tak dostaneme upravenou matici tuhosti Kmod:}

K_mod = K + K_g

V případě tlakových osových sil tak dochází ke snížení tuhosti.

Příklad úpravy geometrické tuhosti P-Delta v programu RFEM 6

Použití redukce tuhosti pomocí geometrické matice tuhosti pro zohlednění účinků druhého řádu (P-Delta) při analýze spektra odezvy se provádí v programu RFEM 6 na jednoduché konzolové konstrukci. Prut je průřez W 12x26 a materiál A992 s I_y = 204 in⁴ a E = 29000 ksi. Každá z (5) výškových úrovní podlaží je 1,5 m, celková výška 7 m.

Při zanedbání vlastní tíhy se v každé úrovni pod ZS 1 použije vlastní tíha 1,5 kips: Vlastní a užitné zatížení 3 kips v každé úrovni pod ZS2: Živě. V sekci Další nastavení v ZS2 se aktivuje automatické zohlednění 25 % užitného zatížení pro kombinaci hmot.

Další nastavení pro užitné zatížení

Návrhová situace DS1: Zadáním účinné seizmické tíhy se automaticky vytvoří kombinace hmot KZ1: D + 0,25L. Po přepočtu hmot se pro další seizmickou analýzu uvažuje v každém podlaží ve směru X celkem 6000 kg.

Účinná seizmická hmotnost

Addon Modální analýza umožňuje stanovit vlastní tvary a účinné modální hmoty konstrukce. Je možné zohlednit počáteční stav, v němž se provede úprava tuhosti na základě definovaných zatěžovacích stavů a kombinací zatížení. Zadáme dva zatěžovací stavy pro modální analýzu. První je ZS3: Modální - bez úprav tuhosti pro provedení modální analýzy bez úprav tuhosti.

Pro ZS4: Modální - se změnami tuhosti je aktivována možnost Uvážit počáteční stav. Zde importovaný zatěžovací stav nebo kombinace zatížení by měl zohlednit nejvyšší tlaková osová zatížení na konstrukci. Pro tento příklad použijeme kombinaci hmot KZ1 pro aproximaci účinků druhého řádu s úpravami geometrické tuhosti.

ZS4 Počáteční stav

V následující tabulce jsou uvedeny vypočítané vlastní frekvence (_f )[Hz] a vlastní periody (T)[sec] s uvažovanou geometrickou maticí tuhosti Kg a bez ní.

Vypočítané frekvence, periody a zrychlení

Multimodální analýza spektra odezvy vychází z vlastních frekvencí konstrukce pro stanovení hodnot zrychlení z definovaného spektra odezvy. Na základě těchto hodnot zrychlení program stanoví spektrum vnitřních sil. Pro tento příklad je definováno uživatelsky definované spektrum odezvy, jak je znázorněno níže. Hodnoty zrychlení S_a [ft/s² ] stanovené z uživatelsky definovaného spektra odezvy pro každé vlastní číslo jsou uvedeny v tabulce výše.

Uživatelsky definované spektrum odezvy

Aby bylo zajištěno správné přiřazení upravených frekvencí, je třeba při definování zatěžovacího stavu spektra odezvy vybrat požadovanou modální analýzu. To znamená, že pokud by analýza spektra odezvy měla zohlednit změny geometrické tuhosti, měla by se použít příslušná modální analýza s dříve definovanými změnami tuhosti.

RSA odkazující na příslušnou modální analýzu

Při zohlednění tlakových normálových sil vede zohlednění geometrické matice tuhosti k nižším vlastním frekvencím konstrukce. To může vést k nižším hodnotám zrychlení Sa, jak vidíme v našem příkladu. Samotná úprava vlastních frekvencí nestačí pro zohlednění teorie druhého řádu. Ve skutečnosti to může vést k menším výsledkům, které mohou být nesprávné. Proto je důležité použít upravenou matici tuhosti také při výpočtu vnitřních sil a deformací konstrukce. Při analýze spektra odezvy v programu RFEM se upravená tuhost z modální analýzy automaticky použije pro stanovení výsledků analýzy spektra odezvy. Deformace, vnitřní síly a podporové reakce stanovené analýzou spektra odezvy s maticí geometrické tuhosti a bez ní jsou znázorněny na obr. 08.

Porovnání výsledků bez změny tuhosti (nahoře) a se změnou tuhosti (dole)

Zohlednění geometrické matice tuhosti vede k větším deformacím a vnitřním silám. Při zohlednění geometrické matice tuhosti jsou ovšem výsledná zatížení na podporách o něco menší.