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2024-04-17

Considerazioni sismica P-Delta di ASCE 7-22 e NBC 2020 in RFEM 6

La norma ASCE 7-22 [1], cap. 12.9.1.6 specifica quando gli effetti P-delta dovrebbero essere considerati quando si esegue un'analisi con spettro di risposta modale per la progettazione sismica. In NBC 2020 [2], Sent. 4.1.8.3.8.c fornisce solo un breve requisito che gli effetti di oscillazione dovuti all'interazione dei carichi gravitazionali con la struttura deformata dovrebbero essere considerati. Pertanto, ci possono essere situazioni in cui gli effetti del secondo ordine, noti anche come P-delta, devono essere considerati quando si esegue un'analisi sismica.

ASCE 7-22 e effetti P-Delta

Norma ASCE 7-22 [1], sez. 12.9.1.6 si riferisce ulteriormente al cap. 12.8.7 [1], che afferma che P-delta non deve essere considerato quando il coefficiente di stabilità (θ) determinato dall'equazione seguente è uguale o inferiore a 0.10.

Dove,
Px = carico di progetto verticale totale al e sopra il livello x per cap. 12.8.6.1 [1] (tutti i coefficienti di carico uguali o inferiori a 1.0)

Vxse = rigidezza del piano al livello x, calcolata come il taglio sismico di progetto, Vx, divisa per la corrispondente deriva elastica del piano, Δse

h sx = altezza della piano al di sotto del livello x

La norma continua ad affermare che θ non dovrebbe superare il minore di θmax, dato dall'equazione seguente, poiché la struttura è potenzialmente pericolosa e dovrebbe essere riprogettata.

Dove,
Cd = coefficiente di amplificazione dell'inflessione nella Tabella 12.2-1

β = rapporto tra la domanda a taglio e la capacità a taglio di progetto per il piano tra i livelli x e x-1 (preso in modo conservativo come 1.0, ma non inferiore a 1.25/Ω0 )

Quando 0.10 < θ ≤ θmax, è consentito per gli spostamenti e le forze delle aste dovrebbe essere moltiplicato per un coefficiente di 1.0/(1-θ). In alternativa, gli effetti P-delta possono essere inclusi in un'analisi automatizzata, dove le limitazioni θmax sono ancora applicabili.

NBC 2020 e P-Delta Effects

In inviato 4.1.8.3.8.c della NBC 2020 [2], solo un breve requisito è dato che gli effetti di oscillazione dovuti all'interazione dei carichi gravitazionali con la struttura deformata dovrebbero essere considerati. Tuttavia, il Commento NBC 2015 [3] fornisce ulteriori spiegazioni simili alla norma ASCE 7 in cui il coefficiente di stabilità (θx ) al livello x dovrebbe essere calcolato con l'equazione di seguito.

Dove,

Ro = coefficiente di modifica relativo alla sovraresistenza

Δmx = inflessione anelastica massima dell'interpiano

h s = altezza superfici interne

Quando θx è inferiore a 0,10, gli effetti P-delta possono essere ignorati. Quando θx è maggiore di 0,40, la struttura dovrebbe essere riprogettata in quanto considerata non sicura durante i terremoti estremi. Per 0,10 ≤ θx ≤ 0,40, le forze e i momenti indotti dal sisma possono essere moltiplicati per un coefficiente di amplificazione di (1+θx ) per tenere conto di P-delta. Questo coefficiente di amplificazione non deve essere applicato agli spostamenti.

Considerazione approssimativa degli effetti P-Delta con coefficienti di amplificazione

Il valore del coefficiente di stabilità dovrebbe essere calcolato in entrambe le direzioni orizzontali ortogonali per determinare se P-delta è un problema. Il drift del piano richiesto, Δ, necessario per calcolare il coefficiente di stabilità sia in ASCE 7-22 che in NBC 2020, è ora fornito automaticamente in RFEM 6 con l'add-on Verifica edifici. Ogni livello del piano includerà la deriva del piano pertinente nell'output dei risultati della tabella, come mostrato nella Figura 01.

Se una o entrambe le direzioni richiedono che gli effetti del secondo ordine siano considerati all'interno degli intervalli dati, il coefficiente 1.0/(1-θ) da ASCE 7-22 o (1+θx ) da NBC 2020 può essere facilmente considerato in RFEM 6 e l'add-on Analisi con spettro di risposta. Tutte le forze e/o le inflessioni risultanti saranno amplificate del valore impostato.

Considerazione più precisa degli effetti P-Delta con la matrice di rigidezza geometrica

Sebbene gli effetti secondari possano essere stimati con i coefficienti di amplificazione sopra, questo è un approccio più conservativo. Per gli scenari in cui si verificano grandi derive del piano o gli effetti P-delta devono essere calcolati con un approccio più preciso, l'influenza delle forze assiali può essere attivata nell'add-on Analisi dello spettro di risposta.

Quando si esegue un'analisi dinamica, i calcoli iterativi non lineari tipici per gli effetti del secondo ordine quando si considera un'analisi statica non sono più applicabili. Il problema deve essere linearizzato, che viene eseguito attivando la matrice di rigidezza geometrica durante l'analisi. Con questo approccio, si presume che i carichi verticali non cambino a causa degli effetti orizzontali e che le deformazioni siano piccole rispetto alle dimensioni complessive della struttura [2].

Il concetto alla base della matrice di rigidezza geometrica è l'effetto di irrigidimento delle tensioni. Le forze assiali di trazione porteranno ad una maggiore rigidezza flessionale di un'asta mentre le forze assiali di compressione porteranno ad una rigidezza flessionale ridotta. Questo può essere facilmente trasportato con l'esempio di un cavo o di un'asta sottile. Quando l'asta subisce una forza di trazione, la rigidezza flessionale è significativamente maggiore rispetto a quando l'asta subisce una forza di compressione. Nel caso di compressione, l'asta ha una rigidezza flessionale minima o nulla per resistere a un carico laterale applicato.

La matrice di rigidezza geometrica K'''g''' può essere derivata dalle condizioni di equilibrio statico.

Per semplificazione, vengono visualizzati solo i gradi di libertà dello spostamento orizzontale. La derivazione mostrata si basa sull'approccio del momento ribaltante dovuto all'applicazione dello spostamento lineare. Questa è una semplificazione per l'elemento di flessione e un'ipotesi accurata per l'elemento di travatura reticolare. Si noti come la matrice dipenda solo dalla lunghezza dell'elemento e dalla forza assiale.

Una determinazione più precisa della matrice di rigidezza geometrica per le travi flettenti può essere ottenuta utilizzando l'approccio dello spostamento cubico o la soluzione analitica dell'equazione differenziale della linea di flessione. Ulteriori informazioni sulla teoria e sulle derivazioni sono fornite da Werkle [4].

La matrice di rigidezza geometrica Kg viene aggiunta alla matrice di rigidezza del sistema K , e quindi si ottiene la matrice di rigidezza modificata Kmod :

Kmod = K + Kg

Nel caso di forze normali di compressione, questo porta di conseguenza alla riduzione della rigidezza.

Esempio di modifica della rigidezza geometrica P-Delta in RFEM 6

L'applicazione della riduzione della rigidezza utilizzando la matrice di rigidezza geometrica per considerare gli effetti del secondo ordine (P-Delta) in un'analisi con spettro di risposta viene eseguita con una semplice struttura a sbalzo in RFEM 6. L'asta è una sezione trasversale W 12x26 e materiale A992 con Iy = 204 in4 ed E = 29000 ksi. Ciascuno dei (5) livelli di altezza del piano è di 1,5 m per un'altezza totale di 8 m.

Trascurando il peso proprio, viene applicato un carico permanente di 1,5 kip ad ogni livello in CC 1: Un carico permanente e un carico variabile di 3 kip ad ogni livello in LC2: Dal vivo. Le impostazioni aggiuntive in LC2 sono attivate per considerare automaticamente il 25% del carico variabile per la combinazione di massa.

La situazione di progetto DS1: Il peso sismico efficace è definito per creare automaticamente la combinazione di massa CO1: D + 0,25L. Dopo la conversione della massa, un totale di 2250,3 libbre a ciascun livello sono considerati nella direzione X per un'ulteriore analisi sismica.

L'add-on Analisi modale calcolerà le forme modali e le masse modali efficaci di una struttura. È possibile considerare uno stato iniziale, che applicherà una modifica di rigidezza in base a casi di carico definiti e combinazioni di carico. Sono definiti due casi di carico dell'analisi modale. Il primo è LC3: Modale - senza variazioni di rigidezza per eseguire l'analisi modale senza modifiche di rigidezza.

Per LC4: Modale - con variazioni di rigidezza, l'opzione considera lo stato iniziale è attivata. Il caso di carico o la combinazione di carico qui importata dovrebbe considerare i carichi assiali di compressione più elevati sulla struttura. Per questo esempio, la combinazione di massa CO1 viene utilizzata per approssimare gli effetti del secondo ordine con le modifiche della rigidezza geometrica.

La tabella seguente mostra le frequenze naturali calcolate (f) [Hz] e i periodi naturali (T) [sec] con e senza la matrice di rigidezza geometrica Kg considerata.

L'analisi dello spettro di risposta multimodale si riferisce alle frequenze naturali della struttura per determinare i valori di accelerazione dallo spettro di risposta definito. Sulla base di questi valori di accelerazione, il programma determina le forze interne dello spettro di risposta. Per questo esempio è definito uno spettro di risposta definito dall'utente, mostrato di seguito. I valori di accelerazione Sa [ft/s2 ] determinati dallo spettro di risposta definito dall'utente per ciascun autovalore sono elencati nella tabella sopra.

Per garantire la corretta assegnazione delle frequenze modificate, è necessario selezionare l'analisi modale desiderata quando si definisce un caso di carico con spettro di risposta. Ciò significa che, se l'analisi con spettro di risposta deve considerare le variazioni di rigidezza geometrica, si dovrebbe fare riferimento all'analisi modale pertinente con le modifiche di rigidezza precedentemente definite.

Quando si applicano le forze assiali di compressione, la considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta a frequenze naturali più basse della struttura. Ciò può causare valori di accelerazione Sa, come mostrato in questo esempio. La modifica delle frequenze naturali da sola non è sufficiente per considerare la teoria del secondo ordine. In effetti, questo può portare a risultati più piccoli, che possono essere errati. Pertanto, è importante utilizzare anche la matrice di rigidezza modificata quando si calcolano le forze interne e gli spostamenti generalizzati della struttura. Nell'analisi con spettro di risposta di RFEM, la rigidezza modificata dall'analisi modale viene automaticamente utilizzata per determinare i risultati dell'analisi con spettro di risposta quando selezionata. Le deformazioni, le forze interne e le reazioni vincolari determinate nell'analisi con spettro di risposta, con e senza la matrice di rigidezza geometrica, sono mostrate nella Figura 08.

La considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta a spostamenti generalizzati e forze interne maggiori. Tuttavia, i carichi dei vincoli risultanti sono leggermente inferiori quando si considera la matrice di rigidezza geometrica.


Autore

Amy Heilig è l'amministratore delegato del nostro ufficio negli Stati Uniti con sede a Filadelfia, in Pennsylvania. Offre anche supporto tecnico e commerciale, contribuendo attivamente allo sviluppo di programmi Dlubal Software su misura per il mercato nordamericano.

Bibliografia
  1. ASCE/SEI 7-22, Carichi minimi di progetto e criteri associati per edifici e altre strutture. (2022). Società americana degli ingegneri civili.
  2. Consiglio nazionale delle ricerche del Canada. (2020). Codice edilizio nazionale del Canada (vol. 1). Ottawa, ON, Canada.
  3. Structural commentaries (User's guide - NBC 2015: part 4 of division B)
  4. Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik, 3. Auflage. Wiesbaden: Vieweg & Sohn, 2008
  5. Edward L. Wilson. Analisi statica e dinamica tridimensionale di strutture. Computer and Structures, Inc. Berkeley, USA.