436x
001877
2024-04-17

ASCE 7-22 i NBC 2020 Sejsmiczne uwagi P-Delta w RFEM 6

Norma ASCE 7-22 [1], rozdz. 12.9.1.6 określa, kiedy efekty P-delta powinny być uwzględniane podczas przeprowadzania analizy modalnego spektrum odpowiedzi dla obliczeń sejsmicznych. W NBC 2020 [2], Wys. 4.1.8.3.8.c jedynie w niewielkim stopniu wymaga uwzględnienia przechyłów spowodowanych interakcją obciążeń grawitacyjnych z konstrukcją odkształconą. Z tego względu podczas przeprowadzania analizy sejsmicznej mogą wystąpić sytuacje, w których efekty drugiego rzędu, znane również jako P-delta, muszą zostać uwzględnione.

ASCE 7-22 i P-Delta Effects

ASCE 7-22 Norma [1], rozdz. 12.9.1.6 odnosi się do rozdz. 12.8.7 [1], zgodnie z którym uwzględnianie P-delta nie jest wymagane, jeżeli współczynnik stateczności (θ) określony za pomocą poniższego równania jest równy lub mniejszy niż 0,10.

Gdzie,
Px = całkowite pionowe obciążenie obliczeniowe na poziomie i powyżej x na sekcję. 12.8.6.1 [1] (wszystkie współczynniki obciążenia równe lub mniejsze niż 1.0)

Vxse = sztywność kondygnacji na poziomie x, obliczona jako iloraz sejsmicznego ścinania Vx dzielonego przez sprężysty przemieszczenie kondygnacjise

hsx = wysokość kondygnacji poniżej poziomu x

Norma dalej stanowi, że θ nie powinno przekraczać mniejszej z wartości θmax, podanej za pomocą poniższego równania, ponieważ konstrukcja jest potencjalnie niebezpieczna i powinna zostać przeprojektowana.

Gdzie,
Cd = współczynnik wzmocnienia ugięcia w Tablicy 12.2-1

β = stosunek zapotrzebowania na ścinanie do obliczeniowej nośności na ścinanie dla kondygnacji między poziomami x i x-1 (przyjęty konserwatywnie jako 1,0, ale nie mniej niż 1,25/Ω0 )

Jeżeli 0,10 < θ ≤ θmax, wartość dopuszczalną dla przemieszczeń i sił w prętach należy pomnożyć przez współczynnik 1,0/(1-θ). Alternatywnie, efekty P-delta można uwzględnić w analizie automatycznej, tam gdzie nadal obowiązują ograniczenia θmax.

NBC 2020 i efekty P-Delta

W Wysłane. 4.1.8.3.8.c NBC 2020 [2], jedynie krótki wymóg, aby uwzględnić efekty przechyłowe wynikające z interakcji obciążeń grawitacyjnych z odkształconą konstrukcją. Komentarz do NBC 2015 [3] zawiera jednak dalsze wyjaśnienia, podobnie jak w normie ASCE 7, w której współczynnik stateczności (θx ) na poziomie x należy obliczać przy użyciu poniższego równania.

Gdzie,

Ro = współczynnik modyfikacji związany z rezerwą nośności

Δmx = maksymalne niesprężyste ugięcie międzyrzędowe

hs = wysokość międzykondygnacyjna

Jeżeli θx jest mniejsze niż 0,10, efekty P-delta można zignorować. Jeżeli θx jest większe niż 0,40, konstrukcję należy przeprojektować, ponieważ jest uznawana za niebezpieczną podczas ekstremalnych trzęsień ziemi. Dla 0,10 ≤ θx ≤ 0,40, siły i momenty wywołane trzęsieniem ziemi można pomnożyć przez współczynnik (1+θx ), aby uwzględnić P-delta. Współczynnik ten nie musi być stosowany do przemieszczeń.

Przybliżone uwzględnienie efektów P-Delta ze współczynnikami amplifikacji

Wartość współczynnika stateczności należy obliczyć w obu ortogonalnych kierunkach poziomych, aby określić, czy parametr P-delta stanowi problem. Wymagany strop kondygnacji, Δ, niezbędny do obliczenia współczynnika stateczności zarówno w ASCE 7-22, jak i NBC 2020, jest teraz podawana automatycznie w programie RFEM 6 z rozszerzeniem Projektowanie budowlane. Dla każdego poziomu kondygnacji w tabeli wyników zostanie uwzględniony odpowiedni ślizg kondygnacji, jak pokazano na Rysunku 01.

Jeżeli jeden lub oba kierunki wymagają uwzględnienia efektów drugiego rzędu w podanych zakresach, można łatwo uwzględnić współczynnik 1,0/(1-θ) z ASCE 7-22 lub (1+θx ) z NBC 2020. RFEM 6 i rozszerzenie Analiza spektrum odpowiedzi. Wszystkie wypadkowe siły i/lub ugięcia zostaną zwiększone o zadaną wartość.

Dokładniejsze uwzględnienie efektów P-Delta dzięki geometrycznej macierzy sztywności

Chociaż efekty wtórne można oszacować za pomocą powyższych współczynników, jest to bardziej konserwatywne podejście. W scenariuszach, w których występują duże kondygnacje, lub konieczne jest obliczenie efektów P-delta z dokładniejszą metodą, wpływ sił osiowych można aktywować w rozszerzeniu Analiza spektrum odpowiedzi.

Podczas przeprowadzania analizy dynamicznej typowe nieliniowe obliczenia iteracyjne dla efektów drugiego rzędu w przypadku analizy statycznej nie są już stosowane. Problem musi zostać zlinearyzowany, co jest realizowane poprzez aktywację macierzy sztywności geometrycznej podczas analizy. Dzięki temu podejściu zakłada się, że obciążenia pionowe nie zmieniają się pod wpływem efektów poziomych, a odkształcenia są niewielkie w porównaniu z całkowitymi wymiarami konstrukcji [2].

Ideą macierzy sztywności geometrycznej jest efekt usztywnienia naprężeń. Rozciągające siły osiowe prowadzą do zwiększenia sztywności pręta na zginanie, a osiowe siły ściskające do zmniejszenia sztywności na zginanie. Można to łatwo przedstawić na przykładzie kabla lub smukłego pręta. W przypadku działania siły rozciągającej sztywność na zginanie jest znacznie większa niż w przypadku działania siły ściskającej. W przypadku ściskania, pręt ma bardzo małą sztywność na zginanie, aby wytrzymać przyłożone obciążenie boczne.

Geometryczną macierz sztywności K'''g''' można wyprowadzić z warunków równowagi statycznej.

Dla uproszczenia wyświetlane są tylko stopnie swobody przemieszczenia poziomego. Pokazana pochodna jest oparta na podejściu momentu krytycznego wynikającego z zastosowania liniowego przemieszczenia. Jest to uproszczenie dla elementu zginanego i dokładne założenie dla elementu kratownicy. Zwróć uwagę, że macierz zależy tylko od długości elementu i siły osiowej.

Bardziej precyzyjne wyznaczenie macierzy sztywności geometrycznej dla belek zginanych można uzyskać, stosując podejście przemieszczeń sześciennych lub poprzez analityczne rozwiązanie równania różniczkowego linii zginania. Więcej informacji na temat teorii i pochodnych można znaleźć u Werkle'a [4].

Geometryczna macierz sztywności Kg zostaje dodana do macierzy sztywności układu K , a tym samym otrzymuje się zmodyfikowaną macierz sztywności Kmod :

Kmod = K + Kg

W przypadku ściskania sił normalnych prowadzi to w konsekwencji do zmniejszenia sztywności.

Przykład modyfikacji sztywności geometrycznej P-Delta w RFEM 6

W programie RFEM 6 zastosowano redukcję sztywności z wykorzystaniem geometrycznej macierzy sztywności do uwzględnienia efektów drugiego rzędu (P-Delta) w analizie spektrum odpowiedzi. Pręt ma przekrój W 12x26 i materiał A992 o Iy = 204 in4 i E = 29000 ksi. Każdy z (5) poziomów kondygnacji ma wysokość 5 stóp, co daje całkowitą wysokość 25 stóp.

Pomijając ciężar własny, w KO 1: Obciążenie zmienne oraz stałe 3 kN na każdym poziomie w ramach PO2: Na żywo. Dodatkowe ustawienia w PO2 są aktywowane w celu automatycznego uwzględnienia 25% obciążenia zmiennego dla kombinacji mas.

Sytuacja obliczeniowa DS1: Efektywna masa sejsmiczna jest zdefiniowana w celu automatycznego tworzenia kombinacji mas KO1: D + 0,25L. Po przeliczeniu mas, uwzględniane jest łącznie 1000 kg na każdym poziomie w kierunku X do dalszej analizy sejsmicznej.

Rozszerzenie Analiza modalna obliczy kształty drgań oraz efektywne masy modalne konstrukcji. Możliwe jest uwzględnienie stanu początkowego, który spowoduje zastosowanie modyfikacji sztywności na podstawie zdefiniowanych przypadków obciążeń i kombinacji obciążeń. Zdefiniowane są dwa przypadki obciążeń analizy modalnej. Pierwszym z nich jest PO3: Modalna – bez modyfikacji sztywności, aby przeprowadzić analizę modalną bez modyfikacji sztywności.

Dla PO4: Modalne – z modyfikacjami sztywności, opcja Uwzględnij stan początkowy jest aktywowana. Importowany przypadek obciążenia lub kombinacja obciążeń powinna uwzględniać największe ściskające obciążenia osiowe konstrukcji. W tym przykładzie zastosowano kombinację mas KO1 w celu przybliżenia efektów drugiego rzędu przy użyciu modyfikacji sztywności geometrycznej.

Poniższa tabela przedstawia obliczone częstotliwości drgań własnych (f) [Hz] i okresy drgań własnych (T) [s] z uwzględnieniem macierzy sztywności geometrycznej Kg i bez niej.

Multimodalna analiza spektrum odpowiedzi odnosi się do częstotliwości drgań własnych konstrukcji w celu określenia wartości przyspieszenia na podstawie zdefiniowanego spektrum odpowiedzi. Na podstawie tych wartości przyspieszenia program określa siły wewnętrzne spektrum odpowiedzi. W tym przykładzie zdefiniowano spektrum odpowiedzi zdefiniowane przez użytkownika, jak pokazano poniżej. Wartości przyspieszenia Sa [ft/s2 ] wyznaczone na podstawie zdefiniowanego przez użytkownika spektrum odpowiedzi dla każdej wartości własnej są wymienione w powyższej tabeli.

Aby zapewnić prawidłowe przypisanie zmodyfikowanych częstotliwości, żądaną analizę modalną należy wybrać podczas definiowania przypadku obciążenia spektrum odpowiedzi. Oznacza to, że jeżeli analiza spektrum odpowiedzi ma uwzględniać zmiany sztywności geometrycznej, należy odnieść się do odpowiedniej analizy modalnej z wcześniej zdefiniowanymi zmianami sztywności.

W przypadku stosowania osiowych sił ściskających uwzględnienie macierzy sztywności geometrycznej prowadzi do niższych częstotliwości drgań własnych konstrukcji. Jak widać na tym przykładzie, może to powodować niższe wartości przyspieszenia Sa. Sama modyfikacja częstotliwości drgań własnych nie jest wystarczająca do uwzględnienia teorii drugiego rzędu. W rzeczywistości może to prowadzić do mniejszych wyników, które mogą być nieprawidłowe. Dlatego ważne jest, aby do obliczania sił wewnętrznych i odkształceń w konstrukcji stosować zmodyfikowaną macierz sztywności. W przypadku analizy spektrum odpowiedzi w programie RFEM zmodyfikowana sztywność z analizy modalnej jest automatycznie stosowana do określenia wyników analizy spektrum odpowiedzi. Odkształcenia, siły wewnętrzne i reakcje podporowe wyznaczone w wyniku analizy spektrum odpowiedzi, zi bez macierzy sztywności geometrycznej, pokazano na rysunku 08.

Uwzględnienie macierzy sztywności geometrycznej prowadzi do większych odkształceń i sił wewnętrznych. Wynikające z tego obciążenia podporowe są jednak nieco mniejsze, jeśli wziąć pod uwagę macierz sztywności geometrycznej.


Autor

Amy Heilig jest Prezesem naszego biura w Filadelfii. Zajmuje się również sprzedażą i wsparciem technicznym, jednocześnie aktywnie przyczyniając się do rozwoju programów firmy Dlubal Software, dostosowanych do potrzeb rynku północnoamerykańskiego.

Odniesienia
  1. ASCE/SEI 7-22, Minimalne obciążenia obliczeniowe i związane z nimi kryteria dla budynków i innych konstrukcji. (2022). Amerykańskie Stowarzyszenie Inżynierów Budownictwa.
  2. National Research Council of Canada. (2020). Krajowe przepisy budowlane (t. 1). Ottawa, ON, Kanada.
  3. Structural commentaries (User's guide - NBC 2015: part 4 of division B)
  4. Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik, 3. Auflage. Wiesbaden: Vieweg & Sohn, 2008
  5. Edwarda L. Wilsona. Trójwymiarowa statyczna i dynamiczna analiza konstrukcji. Computer and Structures, Inc. Berkeley, USA.