Norme ASCE 7-22 et effets P-Delta
Norme ASCE 7-22 [1], section 12.9.1.6 se réfère à la section 12,8.7 [1], qui indique que P-delta n'a pas à être pris en compte lorsque le coefficient de stabilité (θ) déterminé par l'équation ci-dessous est égal ou inférieur à 0,10.
| Px | Charge de calcul verticale totale sur et au-dessus de l'étage x selon la section 12.8.6.1 (tous les facteurs de charge égaux ou inférieurs à 1,0) |
| Vx/Δse | Rigidité de l'étage au niveau x, calculée comme le cisaillement de calcul sismique Vx, divisé par le déplacement élastique correspondant de l'étage, Δe |
| hsx | Hauteur de l'étage sous l'étage x |
La norme rappelle que θ ne doit pas dépasser la plus petite valeur θmax donnée dans l’équation ci-dessous, car la structure serait alors potentiellement dangereuse et devrait être recalculée.
| Cd | Facteur d'augmentation de la flèche dans le Tableau 12.2-1 |
| β | Rapport de la demande au cisaillement par rapport à la résistance au cisaillement de l'étage entre les étages x et x-1 (pris de manière conservatrice comme 1,0, mais pas moins de 1,25/Ω0 ) |
Lorsque 0,10 < θ ≤ θmax, les déplacements et les efforts de barre doivent être multipliés par un facteur de 1,0/(1-θ). Les effets P-delta peuvent également être inclus dans une analyse automatisée, où les limitations θmax sont toujours applicables.
Norme CNB 2020 et effets P-Delta
Dans la clause 4.1.8.3.8.c du NBC 2020 [2], seule une brève exigence est donnée pour la considération des effets de vibration dus à l'interaction entre les charges de gravité et la structure déformée. Le commentaire de la norme CNB 2015 [3] contient cependant des explications similaires à la norme ASCE 7, selon laquelle le coefficient de stabilité (θx ) de l'étage x devrait être calculé avec l'équation ci-dessous.
| #formula@001475# | Portion du poids propre pondéré par le facteur, plus la charge d'exploitation au niveau de l'étage x |
| #formula@001476# | Somme des forces latérales de l'analyse de sismicité agissant au niveau de l'étage x ou au-dessus |
| Ro | Facteur de modification associé à la sur-résistance |
| Δmx | Flèche inélastique maximale entre les étages |
| hs | Hauteur entre les étages |
Lorsque θx est inférieur à 0,10, les effets P-delta peuvent être ignorés. Lorsque θx est supérieur à 0,40, la structure doit être recalculée car elle est estimée dangereuse en cas de séismes majeurs. Lorsque 0,10 ≤ θx ≤ 0,40, les forces et les moments dus à un séisme peuvent être multipliés par un facteur d’amplification de (1+θx ) pour considérer P-delta. Il n’est pas nécessaire d'appliquer ce facteur d’amplification aux déplacements.
Considération approximative des effets P-Delta avec les facteurs d’amplification
La valeur du coefficient de stabilité doit être calculée dans les deux directions horizontales orthogonales afin de déterminer si P-delta est un problème. Le déplacement entre étages requis Δ, nécessaire pour calculer le coefficient de stabilité dans l'ASCE 7-22 et la NBC 2020, est désormais donné automatiquement dans RFEM 6 à l'aide du module complémentaire Vérification du bâtiment. Chaque niveau d'étage inclura le déplacement d'étage correspondant dans la sortie des résultats du tableau, comme le montre la Figure 01.
Si l'influence de la théorie du second ordre doit être considérée dans les plages spécifiées pour une ou les deux directions, le facteur 1,0/(1-θ) de la norme ASCE 7-22 ou (1+θx ) de la norme NBC 2020 peut être utilisé dans RFEM 6 et le module complémentaire Analyse du spectre de réponse. Toutes les forces et/ou flèches résultantes sont amplifiées par la valeur paramétrée.
Considération plus précise des effets P-Delta avec la matrice de rigidité géométrique
Bien que les effets secondaires puissent être estimés à l’aide des facteurs d’amplification ci-dessus, cette approche est plus conservatrice. Si des déplacements importants d'étage se produisent ou si les effets P-delta doivent être calculés avec plus de précision, l'influence des efforts normaux peut être activée dans le module complémentaire Analyse du spectre de réponse.
Lorsqu’une analyse dynamique est effectuée, les calculs itératifs non linéaires habituels pour les effets dus à la théorie du second ordre ne sont plus applicables si une analyse statique est considérée. Le problème doit être linéarisé en activant la matrice de rigidité géométrique pendant l’analyse. Dans cette approche, il est supposé que les charges verticales ne changent pas à cause des effets horizontaux et que les déformations sont limitées au regard des dimensions globales de la structure {%}#Refer [2]]].
Cette matrice de rigidité géométrique s’appuie sur le concept de l’effet de raidissement des contraintes. Les efforts de traction axiaux entraînent une augmentation de la rigidité en flexion d'une barre, tandis que les efforts de compression axiaux conduisent à une réduction de la rigidité en flexion. Ces efforts peuvent être facilement transmis à l’aide d’un câble ou d’une tige fine, par exemple. Si la barre est soumise à un effort de traction, la rigidité en flexion est significativement plus élevée que si la barre est soumise à un effort de compression. Lorsque la barre est comprimée, sa rigidité en flexion est très faible voire nulle afin de supporter une charge latérale appliquée.
La matrice de rigidité géométrique Kg peut être déduite des conditions d'équilibre statique.
Par souci de simplification, seuls les degrés de liberté des déplacements horizontaux sont affichés. La dérivation indiquée s’appuie sur l’approche du moment de basculement basée sur une approche linéaire des déplacements. Il s’agit d’une simplification de l’élément en flexion, et d’une hypothèse exacte pour l’élément treillis. Notez que la matrice dépend uniquement de la longueur de l’élément et de l’effort normal.
La matrice de rigidité géométrique pour les poutres en flexion peut être déterminée avec plus de précision à l’aide d’une approche cubique des déplacements ou de la solution analytique de l’équation différentielle de la ligne en flexion. De plus amples informations sur la théorie et les dérivations sont fournies par Werle [4].
La matrice de rigidité géométrique Kg est ajoutée à la matrice de rigidité K, ce qui permet d’obtenir la matrice de rigidité modifiée Kmod :
Kmod = K + Kg
Dans le cas d’efforts normaux de compression, la rigidité est donc réduite.
Exemple de modification de rigidité géométrique P-Delta dans RFEM 6
La réduction de la rigidité à l’aide de la matrice de rigidité géométrique pour considérer les effets du second ordre (P-Delta) dans une analyse du spectre de réponse est effectuée à l’aide d’une structure en porte-à-faux simple dans RFEM 6. La barre est une section W 12x26 et un matériau A992 avec Iy = 204 in4 et E = 29000 ksi. Chacun des (5) niveaux de hauteur des étages mesure 1,5 m pour une hauteur totale de 7,5 m.
En négligeant le poids propre, une charge permanente de 1,5 kip est appliquée à chaque niveau sous le CC 1 : Poids propre et une charge d’exploitation de 3 kip sur chaque niveau sous CC2 : Charge d’exploitation. Les paramètres supplémentaires sous CC2 sont activés pour considérer automatiquement 25 % de la charge d’exploitation pour la combinaison de masses.
Situation de projet SP1 : La charge sismique efficace est définie pour la création automatique de la combinaison de masse CO1 : D + 0,25L. Après la conversion de masse, un total de 1020,7 kg est considéré à chaque niveau dans la direction X pour une analyse sismique ultérieure.
Le module complémentaire Analyse modale calcule les modes propres et les masses modales efficaces d'une structure. Il est possible de considérer un état initial, qui appliquera une modification de rigidité basée sur des cas de charge et des combinaisons de charges définis. Deux cas de charge d’analyse modale sont définis. Le premier est le CC3 : Modal – Sans modifications de rigidité pour effectuer l’analyse modale sans modification de rigidité.
Pour le CC4 : Modal – avec modifications de rigidité, l’option considérer l’état initial est activée. Le cas de charge ou la combinaison de charges importée ici doivent considérer les charges de compression axiale les plus élevées sur la structure. Dans cet exemple, la combinaison de masse CO1 est utilisée pour approximer les effets du second ordre avec les modifications de rigidité géométriques.
Le tableau suivant affiche les fréquences propres calculées (f)[Hz] et les périodes propres (T)[sec] avec et sans la matrice de rigidité géométrique Kg considérée.
L’analyse du spectre de réponse multimodal se réfère aux fréquences propres de la structure pour déterminer les valeurs d’accélération à partir du spectre de réponse défini. À partir de ces valeurs d’accélération, le logiciel détermine les efforts internes du spectre de réponse. Un spectre de réponse défini par l’utilisateur est défini pour cet exemple, ci-dessous. Les valeurs d’accélération Sa [ft/s2] déterminées à partir du spectre de réponse défini par l’utilisateur pour chaque valeur propre sont listées dans le tableau ci-dessus.
L’analyse modale souhaitée doit être sélectionnée lors de la définition du cas de charge du spectre de réponse afin de garantir l’assignation correcte des fréquences modifiées. Cela signifie que si l’analyse du spectre de réponse doit prendre en compte les modifications de rigidité géométriques, l’analyse modale appropriée avec les modifications de rigidité définies précédemment doit être référencée.
La considération de la matrice de rigidité géométrique engendre des fréquences propres de la structure plus faibles lors de l'application d’efforts normaux de compression. Cela peut entraîner des valeurs d’accélération Sa plus faibles, comme le montre cet exemple. La modification des fréquences propres n’est pas suffisante pour considérer la théorie du second ordre. En fait, cela peut conduire à des résultats plus petits, ce qui peut être incorrect. Il est donc important d’utiliser la matrice de rigidité modifiée lors du calcul des efforts internes et des déformations de la structure. Dans l’analyse du spectre de réponse dans RFEM, la rigidité modifiée de l’analyse modale est automatiquement utilisée pour déterminer les résultats de l’analyse du spectre de réponse lorsqu'elle est sélectionnée. Les déformations, les efforts internes et les réactions d'appui déterminées dans l'analyse du spectre de réponse avec et sans la matrice de rigidité géométrique sont indiquées sur la Figure 08.
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La considération de la matrice de rigidité géométrique engendre des déformations et des efforts internes plus importants. Les charges d’appui résultantes sont cependant légèrement plus faibles si la matrice de rigidité géométrique est considérée.
