122x

002071

2026-08-12

От аналитической кривой ползучести через реологическую модель к зависящему от времени деформационному состоянию

В этой статье на упрощенном примере наглядно рассматриваются теоретические основы и реализация зависящего от времени анализа ползучести в RFEM 6.

Введение

Если элемент конструкции подвергается длительному воздействию постоянной нагрузки (напряжение \(\sigma = \text{константа}\)), то, помимо мгновенной упругой деформации, возникает дополнительная, зависящая от времени деформация ползучести \(\varepsilon(t)\). Это особенно актуально для элементов конструкций из бетона и древесины. Данный эффект можно упрощенно учесть путем уменьшения модуля упругости. Для гораздо более точного анализа, однако, следует выполнять пошаговый расчет по времени с использованием реологической модели, в данном случае модели цепочки Кельвина. Благодаря этому можно учесть эффекты перераспределения в статической системе и нелинейность материала. За счет пересчета жёсткости на каждом приращении времени возможен более реалистичный анализ несущей способности, включая, например, моделирование стадий строительства и их взаимного влияния. Дополнительную информацию можно найти по следующим ссылкам:

Описание модели и определение коэффициента ползучести по Еврокоду 2

Для сравнения и демонстрации возможностей анализа в RFEM 6 была создана тривиальная модель. Она состоит из защемленной стойки длиной 1 м с прямоугольным поперечным сечением и размером стороны 100 мм. В качестве материала был выбран бетон C25/30. Нагрузка прикладывается в виде сжимающей силы 100 кН в верхней части стойки. Модель показана на рисунке ниже и может быть загружена по прилагаемой ссылке.

Аналитическая кривая ползучести взята из EN 1992-1-1, Приложение B, и может быть рассчитана по следующей формуле. Она показывает отношение деформации ползучести к упругой деформации.

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}} = φ_{0} \cdot {(\frac{t - t_{0}}{β_{H} + (t - t_{0})})}^{0, 3}

φ(t,t0)	Коэффициент ползучести
εcr	Ползучая деформация
εel	Упругая деформация
εc(t)	Деформация бетона с течением времени
εc0	Мгновенная деформация бетона
φ0	Ползучесть
βH	Коэффициент для учёта относительной влажности воздуха и эффективной толщины элемента

Коэффициент ползучести

Общая деформация в любой момент времени может быть рассчитана по следующей формуле.

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	Деформация бетона во времени
εc0	Мгновенная деформация бетона
φ(t,t0)	Ползучесть
σ0	Напряжение (константа)
Ecm	Средний модуль упругости бетона

Полная деформация (коэффициент ползучести)

В RFEM 6 в диалоговом окне "Редактировать материал" на вкладке "Зависящие от времени характеристики" можно проследить расчет с промежуточными значениями и проверить его в логарифмически распределенных контрольных точках для выбранного поперечного сечения или толщины. Дополнительные возможности влияния и визуализации доступны через опцию "Расширенные зависящие от времени характеристики бетона" в диалоговых окнах "Редактировать поперечное сечение" и "Редактировать толщину". В следующей ссылке на руководство это рассматривается более подробно, а на последующем рисунке показаны значения для используемого здесь поперечного сечения.

Online-руководства RFEM 6 | Анализ, зависящий от времени (TDA) | Ввод | Материал

KB 2071 | Зависящие от времени характеристики в диалоговом окне материала

KB 2071 | Зависящие от времени параметры в диалоге материала

Реологическая модель

Модель цепочки Кельвина

Для зависящего от времени расчета ползучести в RFEM 6 в качестве реологической модели реализована модель цепочки Кельвина. В этой цепочке Кельвина элементы Кельвина-Фойгта соединяются последовательно со свободной пружиной E₀ и дополнительным свободным демпфером η_∞. Свободная пружина отвечает за мгновенную деформацию, которая соответствует результату обычного статического анализа. От свободного демпфера, который приводил бы к бесконечно возрастающей доле деформации, отказываются из-за его нерелевантности для типичных строительных материалов. Элемент Кельвина-Фойгта состоит из параллельно соединенных пружинного и демпферного элементов. Схематично это показано на следующем рисунке:

Обобщенная модель цепочки Кельвина-Фойгта

Общая функция ползучести цепочки Кельвина получается путем суммирования долей последовательно соединенных элементов. Она описывает деформационное поведение по отношению к действующему напряжению с течением времени. Таким образом, элементы Кельвина-Фойгта имеют две настраиваемые переменные: жёсткость E_k и так называемое время запаздывания 𝜏_k. Последнее, в свою очередь, определяется как динамическая вязкость, деленная на жёсткость.

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	Деформация
t	Время
σ	Напряжение
E0	Модуль упругости свободной пружины (мгновенное удлинение)
k	Текущий элемент
n	Количество элементов
Ek	Модуль упругости текущего элемента
e	число Эйлера
τk=ηk/Ek	Время ретардации текущего элемента
η∞	Динамическая вязкость свободного демпфера (ньютоновское течение)

Обобщенная модель Кельвина-Фойгта - Общая деформация

Аппроксимация аналитического поведения ползучести

Аппроксимация элементов Кельвина-Фойгта выполняется с помощью подгонки путем минимизации квадратичной разности их долей коэффициента ползучести по сравнению с аналитическим решением.

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	Весовой коэффициент (ограничения: больше 0 и в сумме должен быть равен 1)
i	Приращение времени
m	Количество приращений времени
φ(ti)	Коэффициент ползучести в момент времени i
φ∞	Ползучесть (бесконечная)
k	Текущий Элемент
n	Количество элементов
e	Число Эйлера
ti	Время в момент времени i
τk=ηk/Ek	Время задержки текущего элемента

Корректировка коэффициента ползучести по ряду Прони

Для наглядной визуализации этого с помощью скрипта была выполнена подгонка методом наименьших квадратов для различного числа элементов цепочки Кельвина. На следующем рисунке слева показано сравнение цепочек Кельвина с 1, 3, 5 и 10 элементами с аналитической функцией ползучести и контрольными точками, взятыми из RFEM 6. Как здесь видно, увеличение числа элементов также приводит к уменьшению максимального отклонения. С этим, естественно, связано и увеличение вычислительных затрат. Достаточная точность была достигнута уже с 5 элементами Кельвина-Фойгта без специального взвешивания.

KB 2071 | Коэффициент ползучести во времени

Времена запаздывания при этом можно упрощенно рассматривать как момент времени, начиная с которого соответствующий элемент вносит вклад в поведение ползучести. Следующая таблица показывает это для цепочки Кельвина с 5 элементами в сочетании с долями конечного коэффициента ползучести от отдельных элементов. Коэффициент ползучести при этом можно оценить по следующей формуле.

φ_{a p p} (t) = \sum_{k = 1}^{n} φ_{k} \cdot (1 - e^{- (t - t_{0}) / τ_{k}})

φ(app)	Приближенное значение коэффициента ползучести на момент времени t
φk	Коэффициент ползучести элемента k
k	Текущий элемент
n	Количество элементов
e	Число Эйлера
ti	Текущее время
t0	Время до начала нагрузки
τk=ηk/Ek	Время запаздывания текущего элемента

Приближенный коэффициент ползучести

Времена запаздывания, жёсткости и доли коэффициента ползучести цепочки Кельвина с 5 элементами
№	τ_k [д]	E_k [МПа]	φ_k [—]	Доля [%]
1	0,05	107 683	0,2879	8,7
2	0,77	101 086	0,3067	9,3
3	8,52	49 094	0,6314	19,1
4	86,83	24 862	1,2469	37,6
5	759,2	36 940	0,8392	25,3
Сумма	—	—	3,3121	100,0

Пошаговый расчет ползучести по времени

Анализ ползучести в рассматриваемом здесь примере проводился путем деления на 10 линейно распределенных приращений времени. Таким образом, состояние рассчитывается каждые 1823,5 дня. На первом шаге мгновенная деформация определяется равной 0,323. За ним следует первое приращение времени от 28 дней (начало нагружения) до дня 1851,5. На следующем рисунке показано сравнение пошагового расчета с помощью RFEM и аналитического решения с левой стороны. На правой диаграмме, по аналогии с предыдущим рисунком, показаны доли деформаций для цепочки Кельвина с 5 элементами, накопленные итогом.

KB 2071 | Кривая деформаций во времени

В следующей таблице представлены результаты пошагового расчета по времени. По аналогии с упрощенным линейным подходом к ползучести через снижение модуля упругости, в этом простом примере также можно определить эффективный модуль упругости для каждого приращения времени. Таким образом, на первом шаге, из-за логарифмического характера лежащей в основе функции, уже получается снижение примерно на 76%. Снижение с конечным коэффициентом ползучести 3,349 приводит к уменьшению на 77% до 7126 МПа.

E_{c, e f f, t} = \frac{σ}{ε (t)} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (t, t_{0})}

Ec,eff,t	Эффективный модуль упругости бетона
Ecm	Средний модуль упругости бетона
φ(t,t0)	Коэффициент ползучести на момент времени t, отнесённый к начальному времени

Эффективный модуль упругости

Деформация с течением времени
Шаг	t [д]	Δt [д]	ε [‰]	Δε [‰]	E_eff [МПа]	ΔE_eff [МПа]
0	28.0	0.0	0.323	0.000	30999	0
1	1851.5	1823.5	1.356	1.034	7373	-23626
2	3674.9	1823.4	1.381	0.025	7241	-132
3	5498.4	1823.5	1.391	0.010	7190	-51
4	7321.8	1823.4	1.396	0.005	7166	-24
5	9145.3	1823.5	1.398	0.002	7154	-12
6	10968.7	1823.4	1.399	0.001	7146	-8
7	12792.1	1823.4	1.400	0.001	7142	-4
8	14615.6	1823.5	1.401	0.001	7138	-4
9	16439.0	1823.4	1.402	0.001	7134	-3
10	18262.5	1823.5	1.402	0.001	7131	-3

Заключительные замечания

В этом упрощенном примере пошаговый расчет по времени с подходом линейной ползучести через снижение модуля упругости не показывает различий. Однако это нельзя считать общим правилом. Например, только при прямом пошаговом учете с использованием подхода реологической модели можно корректно учесть нелинейное поведение материала и взаимодействие элементов конструкции, а также изменяющиеся условия нагружения и стадии строительства.

Автор

Марк работает в Product Engineering с акцентом на геотехнику и дополнительно оказывает поддержку в Customer Support. Свой профессиональный опыт он целенаправленно применяет при решении сложных вопросов.

Ссылки

;