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Dr. rer. nat. Marc Gebhardt

2026-08-12

Dal diagramma analitico di scorrimento viscoso, attraverso il modello reologico, allo stato di deformazione dipendente dal tempo

In questo articolo, utilizzando un esempio semplificato, verranno illustrati i fondamenti teorici e l'implementazione dell'analisi time history della viscosità in RFEM 6.

Introduzione

Se una componente costruttiva è sollecitata permanentemente con un carico costante (tensione \(\sigma = \text{costante}\)), oltre alla deformazione elastica istantanea si verifica una deformazione viscosa aggiuntiva dipendente dal tempo \(\varepsilon(t)\). Ciò è rilevante soprattutto per componenti in calcestruzzo e legno. La considerazione di questo effetto può avvenire in modo semplificato tramite una riduzione del modulo di elasticità. Per una considerazione molto più precisa, tuttavia, dovrebbe essere eseguito un calcolo incrementale nel tempo mediante l'uso di un modello reologico, in questo caso il modello a catena di Kelvin. In questo modo, è possibile considerare effetti di ridistribuzione nel sistema statico e non linearità del materiale. Attraverso il ricalcolo della rigidezza in ogni incremento di tempo, è quindi analizzabile un comportamento strutturale più realistico e, ad esempio, la rappresentazione delle fasi costruttive e la loro influenza reciproca. Ulteriori informazioni sono disponibili nei seguenti link:

Descrizione del modello e determinazione del coefficiente di viscosità secondo Eurocodice 2

Per il confronto e la rappresentazione delle possibilità di analisi in RFEM 6, è stato creato un modello banale. Questo è costituito da un pilastro incastrato lungo 1 m con una sezione rettangolare e una lunghezza del lato di 100 mm. Come materiale è stato scelto un C25/30. Il carico è applicato tramite una forza di compressione di 100 kN alla testa del pilastro. Il modello è mostrato nella figura seguente e può essere scaricato tramite il link fornito.

La curva di viscosità analitica è tratta dall'appendice B della EN 1992-1-1 e può essere calcolata secondo la formula seguente. Essa indica il rapporto tra la deformazione viscosa e la deformazione elastica.

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}} = φ_{0} \cdot {(\frac{t - t_{0}}{β_{H} + (t - t_{0})})}^{0, 3}

φ(t,t0)	Coefficiente di scorrimento viscoso
εcr	Deformazione da scorrimento viscoso
εel	Deformazione elastica
εc(t)	Deformazione del calcestruzzo nel tempo
εc0	Deformazione immediata del calcestruzzo
φ0	Grundzahl des Kriechens
βH	Coefficiente per la considerazione dell'umidità relativa dell'aria e dello spessore efficace del componente

Coefficiente di scorrimento viscoso

La deformazione totale in un momento qualsiasi può essere calcolata secondo la formula seguente.

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	Deformazione del calcestruzzo nel tempo
εc0	Estraazione immediata del calcestruzzo
φ(t,t0)	Coefficiente di viscosità
σ0	Tensione (costante)
Ecm	Modulo di elasticità medio del calcestruzzo

Deformazione totale (coefficiente di scorrimento viscoso)

In RFEM 6, nella finestra di dialogo "Modifica materiale", nella scheda "Proprietà dipendenti dal tempo", il calcolo con valori intermedi può essere ripercorso e verificato per la sezione o lo spessore selezionati in punti di controllo distribuiti logaritmicamente. Un'ulteriore influenza e visualizzazione è disponibile tramite l'opzione "Proprietà dipendenti dal tempo avanzate del calcestruzzo" nelle finestre di dialogo "Modifica sezione" e "Modifica spessore". Il seguente link al manuale approfondisce questo aspetto e nell'immagine successiva sono mostrati i valori della sezione qui utilizzata.

Online manuals RFEM 6 | Analisi time history | Input | Materiale

KB 2071 | Valori caratteristici tempo-dipendenti nella finestra di dialogo del materiale

Proprietà dipendenti dal tempo nella finestra di dialogo Materiale

Modello reologico

Il modello a catena di Kelvin

Per il calcolo dipendente dal tempo del comportamento viscoso, in RFEM 6 è implementato il modello a catena di Kelvin come modello reologico. In questa catena di Kelvin, gli elementi di Kelvin-Voigt sono collegati in serie con una molla libera E₀ e uno smorzatore libero opzionale η_∞. La molla libera è responsabile della deformazione istantanea, che corrisponde al risultato di un'analisi statica normale. Lo smorzatore libero, che porterebbe a una quota di deformazione crescente all'infinito, viene omesso a causa della rilevanza per i materiali tipici dell'ingegneria civile. Un elemento di Kelvin-Voigt è costituito da un elemento molla e un elemento smorzatore collegati in parallelo. Questo è mostrato schematicamente nella figura seguente:

Modello a catena di Kelvin-Voigt generalizzato

Modello generalizzato a catena di Kelvin-Voigt

La funzione di viscosità totale della catena di Kelvin risulta dalla somma dei contributi degli elementi collegati in serie. Essa descrive il comportamento deformativo in relazione alla tensione agente nel tempo. Gli elementi di Kelvin-Voigt possiedono quindi due variabili regolabili: La rigidezza E_k e il cosiddetto tempo di ritardo 𝜏_k. Questo, a sua volta, risulta dalla viscosità dinamica divisa per la rigidezza.

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	Deformazione
t	Tempo
σ	Tensione
E0	Modulo di elasticità della molla libera (deformazione immediata)
k	Elemento attuale
n	Numero di elementi
Ek	Modulo di elasticità dell'elemento corrente
e	Numero di Eulero
τk=ηk/Ek	Tempo di ritardo dell'elemento corrente
η∞	Viscosità dinamica dello smorzatore libero (flusso newtoniano)

Modello di catena di Kelvin generalizzato - Deformazione totale

Adattamento al comportamento viscoso analitico

L'adattamento degli elementi di Kelvin-Voigt avviene tramite un fit mediante la minimizzazione della differenza quadratica delle loro quote del coefficiente di viscosità rispetto alla soluzione analitica.

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	Fattore di peso (condizioni secondarie: maggiore di 0 e la loro Somma deve risultare 1)
i	Incrementi di tempo
m	Numero di incrementi di tempo
φ(ti)	Rapporto di scorrimento viscoso al tempo i
φ∞	coefficiente di viscosità (infinito)
k	Elemento corrente
n	Numero di elementi
e	Numero di Eulero
ti	Tempo al tempo i
τk=ηk/Ek	Tempo di ritardo dell'elemento corrente

Adattamento Numero Scorrimento Viscoso Serie Prony

Per rappresentarlo visivamente, è stato eseguito un adattamento ai minimi quadrati per diversi numeri di elementi della catena di Kelvin tramite uno script. La figura seguente mostra a sinistra il confronto delle catene di Kelvin con 1, 3, 5 e 10 elementi con la funzione di viscosità analitica e i punti di controllo prelevati da RFEM 6. Come si può vedere qui, un aumento del numero di elementi porta anche a una riduzione della deviazione massima. Questo comporta naturalmente anche un maggiore onere computazionale. Una precisione sufficiente è stata raggiunta già con 5 elementi di Kelvin-Voigt senza una ponderazione particolare.

KB 2071 | Coefficiente di scorrimento viscoso nel tempo

I tempi di ritardo possono essere considerati in modo semplificato come il momento a partire dal quale l'elemento associato fornisce un contributo al comportamento viscoso. La tabella seguente lo mostra per la catena di Kelvin a 5 elementi in combinazione con le quote del coefficiente di viscosità finale dalle parti dei singoli elementi. Il coefficiente di viscosità può essere qui stimato secondo la formula seguente.

φ_{a p p} (t) = \sum_{k = 1}^{n} φ_{k} \cdot (1 - e^{- (t - t_{0}) / τ_{k}})

φ(app)	Coefficiente di scorrimento viscoso approssimato al tempo t
φk	Coefficiente di scorrimento viscoso dell'elemento k
k	Elemento corrente
n	Numero di elementi
e	Numero di Eulero
ti	Tempo attuale
t0	Tempo di inizio del carico
τk=ηk/Ek	Tempo di ritardo dell'elemento corrente

Coefficiente di scorrimento viscoso approssimato

Tempi di ritardo, Rigidezze e Quote del coefficiente di viscosità della catena di Kelvin a 5 elementi
N.	τ_k [d]	E_k [MPa]	φ_k [—]	Quota [%]
1	0,05	107 683	0,2879	8,7
2	0,77	101 086	0,3067	9,3
3	8,52	49 094	0,6314	19,1
4	86,83	24 862	1,2469	37,6
5	759,2	36 940	0,8392	25,3
Somma	—	—	3,3121	100,0

Calcolo incrementale nel tempo del comportamento viscoso

L'analisi del comportamento viscoso è avvenuta nell'esempio qui trattato mediante suddivisione in 10 incrementi di tempo distribuiti linearmente. Così, ogni 1823,5 giorni viene calcolato uno stato. Nel primo passo, la deformazione istantanea è determinata a 0,323. Segue il primo incremento di tempo da 28 giorni (inizio del carico) fino al giorno 1851,5. La figura seguente mostra a sinistra il confronto del calcolo incrementale mediante RFEM e della soluzione analitica. Nel diagramma a destra, in analogia alla figura precedente, sono rappresentate impilate le quote di deformazione per una catena di Kelvin a 5 elementi.

KB 2071 | Curva delle deformazioni nel tempo

Nella tabella seguente sono mostrati i risultati del calcolo incrementale nel tempo. In analogia all'approccio lineare semplificato del comportamento viscoso tramite la riduzione del modulo di elasticità, in questo semplice esempio è possibile determinare anche un modulo di elasticità efficace per ogni incremento di tempo. Così, nel primo passo, a causa del carattere logaritmico della funzione di base, si avrebbe già una riduzione di circa il 76%. La riduzione con il coefficiente di viscosità finale di 3,349 porta a una riduzione del 77 % a 7126 MPa.

E_{c, e f f, t} = \frac{σ}{ε (t)} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (t, t_{0})}

Ec,eff,t	Modulo di elasticità effettivo del calcestruzzo
Ecm	Modulo di elasticità medio del calcestruzzo
φ(t,t0)	Coefficiente di viscosità al tempo t, riferito al tempo iniziale

Modulo di elasticità effettivo

Deformazione nel tempo
Passo	t [d]	Δt [d]	ε [‰]	Δε [‰]	E_eff [MPa]	ΔE_eff [MPa]
0	28.0	0.0	0.323	0.000	30999	0
1	1851.5	1823.5	1.356	1.034	7373	-23626
2	3674.9	1823.4	1.381	0.025	7241	-132
3	5498.4	1823.5	1.391	0.010	7190	-51
4	7321.8	1823.4	1.396	0.005	7166	-24
5	9145.3	1823.5	1.398	0.002	7154	-12
6	10968.7	1823.4	1.399	0.001	7146	-8
7	12792.1	1823.4	1.400	0.001	7142	-4
8	14615.6	1823.5	1.401	0.001	7138	-4
9	16439.0	1823.4	1.402	0.001	7134	-3
10	18262.5	1823.5	1.402	0.001	7131	-3

Osservazioni conclusive

In questo esempio semplificato, il calcolo incrementale nel tempo con l'approccio della viscosità lineare tramite la riduzione del modulo di elasticità non mostra alcuna differenza. Tuttavia, questo non può essere assunto in generale. Per esempio, solo con una considerazione incrementale diretta tramite l'approccio di un modello reologico, è possibile considerare correttamente il comportamento non lineare del materiale, l'interazione dei componenti strutturali, così come stati di carico e fasi costruttive variati.

Autore

Marc lavora nel reparto Product Engineering con particolare attenzione all’ingegneria geotecnica e fornisce inoltre supporto ai clienti. Grazie alle sue competenze tecniche, affronta e risolve problematiche complesse.

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