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Dr. rer. nat. Marc Gebhardt

2026-08-12

Da curva de fluência analítica, passando pelo modelo reológico, até o estado de deformação dependente do tempo

Neste artigo, serão abordados os fundamentos teóricos e a implementação da análise em função do tempo da fluência no RFEM 6, utilizando um exemplo simplificado.

Introdução

Se um componente estrutural for submetido permanentemente a uma carga constante (tensão \(\sigma = \text{constante}\)), ocorre, além da deformação elástica imediata, uma deformação lenta adicional ao longo do tempo \(\varepsilon(t)\). Isto é particularmente relevante para componentes estruturais de betão e madeira. A consideração deste efeito pode ser feita de forma simplificada através da redução do módulo de elasticidade. No entanto, para uma análise muito mais precisa, deve ser realizado um cálculo incremental no tempo utilizando um modelo reológico, neste caso o modelo de cadeia de Kelvin. Desta forma, podem ser considerados efeitos de redistribuição no sistema estrutural e não linearidades do material. Através do recálculo da rigidez em cada incremento de tempo, é possível analisar um comportamento estrutural mais realista e, por exemplo, a representação de estados de construção e a sua influência mútua. Mais informações podem ser encontradas nos links seguintes:

Descrição do modelo e determinação do coeficiente de fluência de acordo com o Eurocódigo 2

Para comparação e apresentação das possibilidades de análise no RFEM 6, foi criado um modelo trivial. Este consiste num pilar encastrado de 1 m de comprimento com uma secção transversal retangular e um comprimento de aresta de 100 mm. Foi escolhido como material o C25/30. O carregamento é aplicado por uma força de compressão de 100 kN no topo do pilar. O modelo é apresentado na figura seguinte e pode ser descarregado através do link disponibilizado.

A curva de fluência analítica é retirada do Anexo B da EN 1992-1-1 e pode ser calculada de acordo com a fórmula seguinte. E indica a relação entre a deformação lenta e a deformação elástica.

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}} = φ_{0} \cdot {(\frac{t - t_{0}}{β_{H} + (t - t_{0})})}^{0, 3}

φ(t,t0)	Coeficiente de fluência
εcr	Deformação por fluência
εel	Deformação elástica
εc(t)	Deformação do betão ao longo do tempo
εc0	Deformação imediata do betão
φ0	Grundzahl des Kriechens
βH	Coeficiente para considerar a umidade relativa do ar e a espessura efetiva do componente

Coeficiente de fluência

A deformação total num instante arbitrário pode ser calculada de acordo com a fórmula seguinte.

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	Deformação do betão ao longo do tempo
εc0	Deformação imediata do betão
φ(t,t0)	Coeficiente de fluência
σ0	Tensão (constante)
Ecm	Módulo de elasticidade médio do betão

Deformação total (coeficiente de fluência)

No RFEM 6, no diálogo "Editar material", no separador "Propriedades dependentes do tempo", o cálculo pode ser acompanhado com valores intermédios e verificado para a secção transversal ou espessura selecionada em pontos de controlo distribuídos logaritmicamente. Uma influência e visualização adicionais estão disponíveis através da opção "Propriedades avançadas do betão dependentes do tempo" nos diálogos "Editar secção transversal" e "Editar espessura". O link seguinte para o manual aborda este aspeto em mais detalhe e a figura seguinte mostra os valores da secção transversal aqui utilizada.

Manuais online do RFEM 6 | Análise em função do tempo (TDA) | Entrada | Material

KB 2071 | Propriedades dependentes do tempo na caixa de diálogo de material

KB 2071 | Propriedades dependentes do tempo na caixa de diálogo do material

Modelo reológico

O modelo de cadeia de Kelvin

Para o cálculo do comportamento de fluência dependente do tempo, está implementado no RFEM 6 o modelo de cadeia de Kelvin como modelo reológico. Nesta cadeia de Kelvin, elementos de Kelvin-Voigt são ligados em série com uma mola livre E₀ e um amortecedor livre opcional η_∞. A mola livre é responsável pela deformação imediata, que corresponde ao resultado de uma análise estática normal. O amortecedor livre, que levaria a uma componente de deformação que continuaria a aumentar infinitamente, é dispensado devido à sua relevância para os materiais típicos na construção civil. Um elemento de Kelvin-Voigt consiste, neste caso, num elemento de mola e num elemento de amortecedor, que estão ligados em paralelo. Isto é mostrado esquematicamente na figura seguinte:

Modelo generalizado em cadeia de Kelvin-Voigt

Modelo Generalizado de Cadeia Kelvin-Voigt

A função de fluência total da cadeia de Kelvin resulta da soma das contribuições dos elementos ligados em série. Ela descreve o comportamento de deformação em relação à tensão atuante ao longo do tempo. Os elementos de Kelvin-Voigt possuem, portanto, duas variáveis ajustáveis: A rigidez E_k e o chamado tempo de retardação 𝜏_k. Este, por sua vez, resulta da viscosidade dinâmica dividida pela rigidez.

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	Deformação
t	Tempo
σ	Tensão
E0	Módulo de elasticidade da mola livre (deformação imediata)
k	Elemento atual
n	Número de elementos
Ek	Módulo de elasticidade do elemento atual
e	Número de Euler
τk=ηk/Ek	Tempo de retardação do elemento atual
η∞	Viscosidade dinâmica do amortecedor livre (fluxo newtoniano)

Modelo generalizado de cadeia de Kelvin – Função de fluência total (complacência de fluência)

Ajuste ao comportamento de fluência analítico

O ajuste dos elementos de Kelvin-Voigt é realizado através de um ajuste por mínimos quadrados, minimizando a diferença quadrática das suas contribuições para o coeficiente de fluência em comparação com a solução analítica.

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	Fator de ponderação (condições secundárias: maior que 0 e a sua soma têm de ser igual a 1)
i	Incrementos de tempo
m	Número de incrementos de tempo
φ(ti)	Coeficiente de fluência no instante i
φ∞	Coeficiente de fluência (infinito)
k	Elemento atual
n	Número de elementos
e	Número de Euler
ti	Tempo no tempo i
τk=ηk/Ek	Tempo de retardação do elemento atual

Adaptação da série de Prony do coeficiente de fluência

Para visualizar isto, foi realizado um ajuste por mínimos quadrados usando um script para diferentes números de elementos da cadeia de Kelvin. A figura seguinte mostra, à esquerda, a comparação das cadeias de Kelvin com 1, 3, 5 e 10 elementos com a função de fluência analítica e os pontos de controlo retirados do RFEM 6. Como se pode ver aqui, um aumento do número de elementos também leva a uma redução do desvio máximo. Naturalmente, isto também implica um maior esforço computacional. Uma precisão suficiente pôde ser alcançada já com 5 elementos de Kelvin-Voigt sem ponderação especial.

Coeficiente de fluência ao longo do tempo

Os tempos de retardação podem ser considerados, de forma simplificada, como o instante a partir do qual o elemento correspondente contribui para o comportamento de fluência. A tabela seguinte mostra isto para a cadeia de Kelvin com 5 elementos, em combinação com as contribuições para o coeficiente de fluência final das parcelas dos elementos individuais. O coeficiente de fluência pode ser estimado de acordo com a seguinte fórmula.

φ_{a p p} (t) = \sum_{k = 1}^{n} φ_{k} \cdot (1 - e^{- (t - t_{0}) / τ_{k}})

φ(app)	Coeficiente de fluência aproximado no tempo t
φk	Coeficiente de fluência do elemento k
k	Elemento atual
n	Número de elementos
e	número de Euler
ti	Tempo atual
t0	Tempo para o início da carga
τk=ηk/Ek	Tempo de retardação do elemento atual

Coeficiente de fluência aproximado

Tempos de retardação, rigidezes e parcelas do coeficiente de fluência da cadeia de Kelvin com 5 elementos
N.º	τ_k [d]	E_k [MPa]	φ_k [—]	Parcela [%]
1	0,05	107 683	0,2879	8,7
2	0,77	101 086	0,3067	9,3
3	8,52	49 094	0,6314	19,1
4	86,83	24 862	1,2469	37,6
5	759,2	36 940	0,8392	25,3
Soma	—	—	3,3121	100,0

Cálculo incremental no tempo do comportamento de fluência

A análise do comportamento de fluência foi realizada no exemplo aqui tratado através da divisão em 10 incrementos de tempo distribuídos linearmente. Assim, é calculado um estado a cada 1823,5 dias. No primeiro passo, a deformação imediata é determinada como sendo 0,323. Segue-se o primeiro incremento de tempo de 28 dias (início do carregamento) até ao dia 1851,5. A figura seguinte mostra à esquerda a comparação do cálculo incremental usando o RFEM com a solução analítica. No diagrama à direita, as componentes de deformação para uma cadeia de Kelvin com 5 elementos são representadas de forma empilhada, analogamente à figura anterior.

Curva de deformação ao longo do tempo

Na tabela seguinte, são apresentados os resultados do cálculo incremental no tempo. Analogamente a uma abordagem linear simplificada do comportamento de fluência através da redução do módulo de elasticidade, também se pode determinar, neste exemplo simples, um módulo de elasticidade efetivo por incremento de tempo. Assim, no primeiro passo, devido ao caráter logarítmico da função subjacente, resulta já uma redução de cerca de 76%. A redução com o coeficiente de fluência final de 3,349 leva a uma redução de 77% para 7126 MPa.

E_{c, e f f, t} = \frac{σ}{ε (t)} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (t, t_{0})}

Ec,eff,t	Módulo de elasticidade efetivo do betão
Ecm	Módulo de elasticidade médio do betão
φ(t,t0)	Coeficiente de fluência no tempo t, referido ao tempo inicial

Módulo de elasticidade efetivo

Deformação ao longo do tempo
Passo	t [d]	Δt [d]	ε [‰]	Δε [‰]	E_eff [MPa]	ΔE_eff [MPa]
0	28.0	0.0	0.323	0.000	30999	0
1	1851.5	1823.5	1.356	1.034	7373	-23626
2	3674.9	1823.4	1.381	0.025	7241	-132
3	5498.4	1823.5	1.391	0.010	7190	-51
4	7321.8	1823.4	1.396	0.005	7166	-24
5	9145.3	1823.5	1.398	0.002	7154	-12
6	10968.7	1823.4	1.399	0.001	7146	-8
7	12792.1	1823.4	1.400	0.001	7142	-4
8	14615.6	1823.5	1.401	0.001	7138	-4
9	16439.0	1823.4	1.402	0.001	7134	-3
10	18262.5	1823.5	1.402	0.001	7131	-3

Observações finais

Neste exemplo simplificado, o cálculo incremental no tempo com a abordagem da fluência linear através da redução do módulo de elasticidade não mostra diferença. No entanto, isto não pode ser assumido como regra geral. Por exemplo, apenas com uma consideração incremental direta usando a abordagem de um modelo reológico é possível considerar corretamente o comportamento não linear do material e a interação de componentes estruturais, bem como estados de carga e estados de construção alterados.

Autor

Marc trabalha na área de engenharia de produto, com especialização em geotecnia, e ajuda no apoio ao cliente. A sua experiência profissional é aplicada de forma específica na resolução de questões complexas.

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